13とは？

分子構造リファレンス

物質名

アルミニウム

英語名

Aluminium

元素記号

13

原子番号

13

分子量

26.981539

発見年

1825年

原子半径（Å）

1.43

融点（℃）

660.4

沸点（℃）

2486

密度（g/cm³）

2.69

比熱（cal/g ℃）

0.215

イオン化エネルギー（eV）

5.986

電子親和力（eV）

0.46

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短編小説作品名辞典

13

作者大原まり子

収載図書血
出版社早川書房
刊行年月1997.9

収載図書血―吸血鬼にまつわる八つの物語
出版社早川書房
刊行年月2000.6
シリーズ名ハヤカワ文庫JA

収載図書超・恋・愛
出版社光文社
刊行年月2001.10
シリーズ名光文社文庫

13

作者リン・ディン

収載図書血液と石鹸
出版社早川書房
刊行年月2008.9
シリーズ名ハヤカワepiブック・プラネット

ウィキペディア

13

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/10/12 09:44 UTC 版)

12 ← 13 → 14
素因数分解	13 （素数）
二進法	1101
六進法	21
八進法	15
十二進法	11
十六進法	D
十八進法	D
二十進法	D
ローマ数字	XIII
漢数字	十三
大字	拾参
算木

13（十三、じゅうさん、とおあまりみつ）は自然数、また整数において、12の次で14の前の数である。英語では thirteen（サーティン、サーティーン）と表記される。西洋を中心に「13 = 忌み数」という認識が強いことから、様々な効果を狙って作品のタイトルなどに使用されることも多い。なお、英語の序数詞では 13th (thirteenth) と表記される。19 (nineteen) まで続く英語の語尾 “-teen”（ティーン）の始まりとなる。ラテン語での表記は tredecim （トレーデキム）。

性質

• 13は6番目の素数である。1つ前は11、次は17。
  • ソフィー・ジェルマン素数でも安全素数でもない最小の素数である。
  • 最初の完全数番目の素数である。次は107。
  • 約数の和は14。
• 11 と 13 は3番目の双子素数である。1つ前は(5, 7)、次は(17, 19)。
• 7 と 13 は2番目のセクシー素数である。1つ前は(5, 11)、次は(11, 17)。
• (5, 7, 11, 13) 、(11, 13, 17, 19) はそれぞれ1番目、2番目の四つ子素数である。次は(101, 103, 107, 109)。
• p = 13 のときの 2^p − 1 で表される 2¹³ − 1 = 8191 は5番目のメルセンヌ素数である。1つ前は7、次は17。
  • 2^p − 1 が素数であるためには p は素数でなければならない。
• 7番目のフィボナッチ数である。1つ前は8、次は21。
  • 4番目のフィボナッチ素数である。1つ前は5、次は89。
• 6番目のトリボナッチ数である。1つ前は7、次は24。
  • トリボナッチ数が素数になる3番目の数である。1つ前は7、次は149。
• 13# + 1 = 2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 + 1 = 30031 = 59 × 509
  • n# + 1 の形で合成数を生む最小の n である（n# は素数階乗、つまり n 以下の素数の総乗）。
• 1/13 = 0.076923… (下線部は循環節で長さは6)
  • 13は素数であるが999999の約数なので、1/13 は巡回数にならない。
    • 巡回数にならない5番目の素数である。1つ前は11、次は31。(オンライン整数列大辞典の数列 A186641)
• 10進数表記において桁を入れ替えても素数となる最小のエマープである。(13 ←→ 31)次は17。
• 1 と 3 を使った最小の素数である。次は31。ただし単独使用を可とするなら1つ前は11。(オンライン整数列大辞典の数列 A020451)
  • 13…3 の形の最小の素数である。次は1333333333333333。(オンライン整数列大辞典の数列 A093671)
  • 1…13 の形の最小の素数である。次は113。(オンライン整数列大辞典の数列 A093011)
• 13² = 169 → 961 = 31²
  • 平方した数を逆順に並び替えた数も平方数となる2番目の数である。1つ前は12、次は21。(オンライン整数列大辞典の数列 A035123)
  • このような性質をもつ最小の素数である。次は31。
  • 13² = 169、14² = 196
    • 連続した整数の平方数の数字が同じ組み合わせになる最小の数である。次は157。(オンライン整数列大辞典の数列 A072841)
    • 連続した整数の平方数の数字が同じ組み合わせになる最小の素数である。次は157。(オンライン整数列大辞典の数列 A175519)
• 13! = 6227020800
• 13 = 3⁰ + 3¹ + 3²
  • a = 3 のときの a⁰ + a¹ + a² の値とみたとき1つ前は7、次は21。
    • a⁰ + a¹ + a² の形で表される2番目のフィボナッチ数である。1つ前は3、次は21。
    • a⁰ + a¹ + a² の形で表される3番目の素数である。1つ前は7、次は31。
  • 3の累乗和とみたとき1つ前は4、次は40。
• 各位の和が13となるハーシャッド数の最小は247、1000までに5個、10000までに36個ある。
• 13, 14, 15 の3連続整数の3辺でできる三角形の面積が整数 (84) となる2番目の組である。1つ前は 3, 4, 5 、次は 51, 52, 53 。
• 2番目の六芒星数である。1つ前は1、次は37。
• 約数の和が13になる数は1個ある。(9) 約数の和1個で表せる7番目の数である。1つ前は8、次は14。
  • 約数の和が奇数になる4番目の奇数である。1つ前は7、次は15。
• 各位の和が4になる2番目の数である。1つ前は4、次は22。
  • 各位の和が4になる数で素数になる最小の数である。次は31。(オンライン整数列大辞典の数列 A062339)
  • 奇数という条件をつけると各位の和が4になる最小の数である。
• 各位の積が3になる2番目の数である。1つ前は3、次は31。(オンライン整数列大辞典の数列 A034050)
  • 各位の積が3になる数で素数になる2番目の数である。1つ前は3、次は31。(オンライン整数列大辞典の数列 A107689)
• 13番目の三角数は91で2桁の最大数になる。いいかえると自然数を1から13まで加えていくと2桁最大数になる。1つ前は3、次は44。(オンライン整数列大辞典の数列 A095863)
• 13 = 3 × 2² + 1
  • 4番目のプロス数である。1つ前は9、次は17。
  • 3番目のプロス素数である。1つ前は5、次は17。
• 13 = 2² + 3²
  • 異なる2つの平方数の和で表せる3番目の数である。1つ前は10、次は17。(オンライン整数列大辞典の数列 A004431)
  • n = 2 のときの n² + (n + 1)² の値とみたとき1つ前は5、次は25。(オンライン整数列大辞典の数列 A001844)
  • n² + (n + 1)² で表せる2番目の素数である。1つ前は5、次は41。(オンライン整数列大辞典の数列 A027862)
  • 3番目の中心つき四角数である。1つ前は5、次は25。
  • n から始まる n 連続整数の平方和で表せる数である。1つ前は1、次は50。(オンライン整数列大辞典の数列 A050410)

基本的な計算のリスト

乗法

x	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22
$13\times x$	13	26	39	52	65	78	91	104	117	130	143	156	169	182	195	208	221	234	247	260	273	286
x	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33	34	35	36	37	38	39	40	41	42
$13\times x$	299	312	325	338	351	364	377	390	403	416	429	442	455	468	481	494	507	520	533	546

その他 13 に関連すること

• 13 の接頭辞：tredec（拉）、triskaideca または triskaideka（希）
• 13倍をトリーデキュプル (tredecuple) という。
• 英語でパン屋の1ダース (Baker's dozen) は、13 を表す表現。
• 英語では 13 から 19 までの数には語尾に“teen”（ティーン）が付く。そのため、10代の若者を「ティーンズ」「ティーンエイジャー」と呼ぶこともある。また、独語も同様に 13 から 19 までの数には語尾に“zehn”(10) が付く。
• UTC+13は、キリバスの一部やサモア、トンガなどで採用されている標準時である。
• 13時は日本における時刻の24時間表記（24時制）で使用され、午後1時を指す。
• カイコガの幼虫の体節数は13である。
• 13は、E24系列の標準数（寸法を選ぶ際の工業規格による基準値）。
• バーコード規格であるEANの国コード13は、アメリカ合衆国、カナダ。
• EAN規格における「標準バーコード」は13桁の数字で構成される。
• JIS X 0401、ISO 3166-2:JPの都道府県コードの 13 は東京都。すなわち都道府県コードの番号順に都道府県を配列したとき、13番目は東京都。
• トランプの各スートは13枚ずつ。また、13のカードはキング (K)。
• 麻雀の手牌の枚数は通常13枚。また、么九牌は13種類。全て集めると十三么九（国士無双）という役になる。手役の合計が13翻以上で数え役満とするルールもある。ほかにもローカル役満役として十三不塔という役がある。
• 囲碁ではしばしば十三路盤が使われる。
• 日本の刑法では、性的同意年齢が13歳とされており、13歳未満の児童への性行為は合意の上でも性犯罪と見なされる。実際には淫行条例により18歳未満の児童への性行為が禁止されている場合が多い。
• 日本のテレビ業界では、13週（＝91日≒約3箇月）を1クールと呼ぶ。そのため、ドラマやアニメなどは13話を単位として作られることが多い。
• ボクシングの世界王座連続防衛日本記録は具志堅用高の13度。
• 十三角形

13番目のもの

元素・惑星

• 第13族元素をホウ素族元素という。
• 原子番号13の元素は、アルミニウム (Al)。
• 小惑星番号13番の小惑星はエゲリアである。

歴史上の人物

• 第13代天皇は、成務天皇。
• 第13代内閣総理大臣は、桂太郎。
• 通算して第13代の征夷大将軍は、久明親王（鎌倉幕府第8代将軍）。
• 鎌倉幕府第13代執権は、北条基時。
• 室町幕府第13代将軍は、足利義輝。
• 江戸幕府第13代将軍は、徳川家定。
• 大相撲第13代横綱は、鬼面山谷五郎。
• アメリカ合衆国第13代大統領は、ミラード・フィルモア。
• 殷朝第13代帝は、祖乙。
• 周朝第13代王は、平王。
• ルイ13世は、ブルボン朝第2代フランス国王。
• アルフォンソ13世は、ボルボン朝第二次復古における同朝としては9人目のスペイン国王。
• ダライ・ラマ13世は、第13代のダライ・ラマ。
• 第13代ローマ教皇はエレウテルス（在位：175年 - 189年）である。
• グレゴリウス13世は、第226代ローマ教皇。
• レオ13世は、第256代ローマ教皇。

その他

• 年始から13日目は1月13日。
• イスラム教のクルアーンにおける第13番目のスーラは雷電である。
• タロットの大アルカナで XIII は、死神。
• 易占の六十四卦で第13番目の卦は、天火同人。
• 13th Generation（第13世代）は、アメリカ合衆国において概ねジェネレーションXに該当する。同国の独立前より20年ごとに世代を区切った場合、「13番目の世代」に該当することから。
• 第十三国立銀行は1877年に鴻池家が開業した国立銀行。後に鴻池銀行に転換、さらに他銀行との合併により三和銀行→現・三菱UFJ銀行となっている。
• 音楽
  • 交響曲第13番
  • ピアノソナタ第13番
  • 弦楽四重奏曲第13番
• 憲法、法律の13条
  • アメリカ合衆国憲法修正第13条は同憲法の修正条項で、奴隷制を廃止しまたこれを継続すること、さらに「犯罪を犯した者」を制限のある例外付きとして自発的ではない隷属を禁じている。
  • 日本国憲法第13条は同憲法第3章の条文の1つで、個人の尊重（尊厳）、幸福追求権及び公共の福祉について規定。
  • 日本の刑法第13条は、禁錮について規定している。
  • 日本の民法第13条は、保佐人の権限の範囲（同意を有する行為）等について規定している。
• 鉄道、道路の13号線
  • 日本の一般国道13号は、福島県福島市から秋田県秋田市までを結ぶ。
  • 阪神高速13号東大阪線
  • 東京メトロ副都心線 - 計画当初、営団（現・東京メトロ）13号線。
• 軍隊関連の第13
  • 各国の第13軍
  • 各国の第13師団
  • 各国の第13旅団
  • 大日本帝国陸軍第13方面軍
  • 第13連隊
    • 大日本帝国陸軍歩兵第13連隊
    • 陸上自衛隊
      • 第13普通科連隊
      • 第13特科隊
      • 第13後方支援隊
    • フランス陸軍第13工兵連隊

宗教・風習・文化

• 忌み数: 西洋では 13 が忌み数とされている（『13 (忌み数) 』を参照）。なお、キリスト教圏でも忌み数としない地域が存在する。
  • 上記のことに関連して、日本で使用される駐留軍の車のナンバープレートには、下2桁13の番号は払い出されない（希望番号を除く）。野球のメジャーリーグでは、背番号13はアレックス・ロドリゲスを初めとして中南米出身の選手を中心によく用いられている。
  • 作品のタイトルや作中において、不吉さやダークさ、トリッキーさを象徴する数字として使用されることが多い。また、北欧神話やキリスト教の俗説などから「（13人目の）招かれざる客」という意味合いもある。
  • 日本における忌み数4と9を足すと13になる。上述した十三塚や十三重塔における「13」という数は死者を象徴しているとする説がある一方、これらの存在を以て吉数とする見方もある。
  • 中国の広東語圏では一般的に13は吉数である。これは十三の諧音が「實生」（実るという意）のためである。
  • ヨーロッパの国の中でも、イタリアでは13はラッキーナンバーとなっている。
  • アメリカ合衆国においても建国時の州数が13（独立十三州）であるため、かつては吉数とされていた。同国では国旗の縞の数の他、1ドル紙幣の裏面や国章にも13の数に因んだものが多く見受けられる。
• ユネスコの世界文化遺産に登録された、レオナルド・ダ・ヴィンチが描いた絵画『最後の晩餐』には13人が描かれている。
• マヤ文明の代表的な長期暦は13バクトゥンを一つのサイクルとしている。また、より小さい暦ではツォルキン暦における係数を13までとするなど、マヤにとって13は特別な数の一つである。
• ユダヤ教において13は聖数とされる。
• 十三仏（十三佛）は、日本で考えられた冥界の審理に関わる13の仏。
  • これに関連した霊場・巡礼行として伊予十三仏霊場、おおさか十三仏霊場、大和十三仏霊場、京都十三仏霊場などがある。
• 十三塚は、日本各地にある民間信仰による土木構造物。
  • 大阪 - 奈良の十三峠および俊徳街道・十三街道の名称はこれに由来する。
• 十三重塔
  • 談山神社（旧・多武峯妙楽寺）にある多重塔で、国の重要文化財に指定されている。現在の塔は1532年（享禄5年）の再建だが、世界で唯一現存する木造十三重塔である。
  • この他、石造の十三重塔は浮島十三重塔など複数現存しており、このうち国の重要文化財に指定されているのは18塔である。
• 諏訪大社上社の古文献の中で、神社（神名）を十三所にまとめた記述がある。後に中・下の各々十三所が追加され全部で三十九所となるが、本来の最初の十三所を「上の十三所」という。なお、十三は1年の12ヶ月に閏月を足した数とされる。
• 十三箇所巡礼
  • 相模国十三社（巡り）は旧相模国延喜式内社の13社、およびその巡礼行。なお、式内社の数が13の旧令制国としては他に淡路国がある。
  • 信濃国十三社巡りは、旧信濃国の13の神社における巡礼行。
• 神社の名称
  • 十三神社は、和歌山県海草郡紀美野町に鎮座する神社。当社および摂社二社の本殿（計三社殿）が国の重要文化財に指定されている。
  • 十三騎神社は、秋田県南秋田郡五城目町に鎮座する神社。
  • 十三社神社は、東京都新島村本村（新島）に鎮座する伊豆諸島最大規模の神社。
  • 十三所社は、山梨県南アルプス市上今諏訪に鎮座する神社。諏訪大社上社の摂末社、上・中・下の十三所社に由来する（上社を模して勧請した）ものと考えられる。
  • 十三戎神社（とみえびすじんじゃ）は、大阪市淀川区十三東に鎮座する神津神社の境内社（摂社）。
• 十三回忌は、没後、12年目の祥月命日。
• 結婚13周年記念日は、レース婚式。
• 旧暦9月13日の月見を十三夜、この夜の月を豆名月または栗名月という。

• サツマイモの売り言葉として、「栗より美味い十三里」がある。「栗」は九里、「より」が四里にかかっており、足すと十三里になる。由来などの詳細は「サツマイモ#文化」を参照。
• くし屋の名称として東京や京都に「十三や」がある。くしの語呂合わせである数字の九四は「苦死」に通じて縁起がよくないため、足して十三としている。
• 京都周辺など関西を中心とした一部地域では、子供が数え年で13歳になると「十三詣り」という祝い事をする。
• 沖縄県では、子供が数え年で13歳になると家族や周囲が「十三祝い」という祝い事をする。生年祝い（トゥシビー）の一つ。

13 に関する名称

地名

• 十三湖（じゅうさんこ）は、青森県にある湖。
  • 十三湊は、中世から近世にかけて十三湖周辺にあった湊。湖の西岸に残されている十三湊遺跡に当たる。
  • 道の駅十三湖高原は、国道339号における青森県五所川原市の道の駅。
  • 十三村は、青森県にかつてあった村（1955年の合併により廃止）。
  • 十三は、青森県五所川原市の大字。
• 十三（じゅうそう）は、大阪市北部の淀川区にある地名。→阪急電鉄十三駅

  主に十三駅の西側、十三本町一丁目を中心とした繁華街を指す。十三東など周辺の住宅地を含む場合もある。

  • 十三信用金庫は、十三本町に本店を置いていた信用金庫。現在の北おおさか信用金庫。
  • 十三戎神社（とみえびすじんじゃ）は十三東に鎮座する神津神社の境内社（摂社）で、今宮戎神社より勧請されたもの。毎年1月には「十三戎祭」が催されている。
  • 道路の名称として十三筋、十三バイパス、橋の名称として十三大橋、新十三大橋などがある。鉄道関係では十三線も参照。
• 十三日町は、青森県八戸市にある地名。
• 十三塚原は、鹿児島県に広がる台地。
• 十三浜村は、宮城県にかつてあった村（1955年の合併により廃止）、現在の石巻市北上町十三浜。
• 十三峠は、大阪府八尾市と奈良県生駒郡平群町の境にある峠。上述の通り、峠付近に現存する十三塚に由来。
• 十三本木峠は、岩手県二戸郡一戸町南部の峠。

作品

タイトル

• 『サーティーン あの頃欲しかった愛のこと』は、原題が“Thirteen”のアメリカ映画。
• 『13日の金曜日』は、アメリカのホラー映画。
• 『十三人の刺客』は、1963年と2010年に公開された時代劇日本映画。
• 『レベル・サーティーン』(LEVEL THIRTEEN)は、2006年に公開されたタイのホラー映画。
• 『サーティーン・ボーイ 僕は札束中学生』は、TBS系列で放送されたテレビドラマ。
• 『サーティーン』は、イギリスのロックバンド、ティーンエイジ・ファンクラブの1993年のアルバム。
• 『13』は、イギリスのロックバンド、ブラーの1999年のアルバム。
• 『13』は、アメリカのミュージシャン、ブライアン・セッツァーの2006年のアルバム。
• 『This is Thirteen』は、カナダのヘヴィメタルバンド、アンヴィルの2007年のアルバム。
• 『13 (サーティーン)』は、日本のロックバンド、SADSのアルバム。
• 『サーティーン』は、アメリカのヘヴィメタルバンド、メガデスの2011年のアルバム。
• 『13』は、イングランドのヘヴィメタルバンド、ブラック・サバスの2013年のアルバム。
• 『ゴルゴ13』は、さいとう・たかをの劇画およびその主人公。
• 『XIII サーティーン〜大統領を殺した男〜』は日本のゲームソフト。
• 『十三支演義 〜偃月三国伝〜』は日本のゲームソフト。「三国志」をテーマにした恋愛アドベンチャーゲーム。
• 『13階段』は高野和明の長編ミステリー小説、およびこれを題材にした映画作品。
• 『十三番目のアリス』は伏見つかさ著（イラスト：シコルスキー）のライトノベル作品。
• 『パラドックス13』は東野圭吾のSFサバイバル小説。
• 『十三の呪』は三津田信三のホラー小説。
• 『十三回忌』は小島正樹の推理小説。
• 『13歳のハローワーク』は村上龍の書籍。また、これを題材にしたゲームやドラマ作品がある。

作品内に登場

• 「十三妹」は、中国・清代末期に書かれた武侠小説『児女英雄伝』の登場人物、およびこの人物を題材とした作品。
• 「第13独立部隊」は、アニメ『機動戦士ガンダム』に登場する架空の部隊。
• 「13th Racing」は、ゲーム『リッジレーサー』シリーズに登場する架空の車名。
• 十三騎士団
  • 「聖槍十三騎士団」はアダルトゲーム『Dies irae -Also sprach Zarathustra-』に登場する架空の敵組織（軍団）。
  • 「ローマ正教十三騎士団」は鎌池和馬のライトノベル『とある魔術の禁書目録』及び、これを原作としたアニメ・漫画作品に登場する架空の宗教組織「ローマ正教」内の騎士団。

人名

日本の人名に、十三（「じゅうぞう」など）もしくは一三（「かずみ」「いちぞう」など）がある。

• 伊丹十三（いたみ・じゅうぞう）は『タンポポ』(1985) や『マルサの女』(1987) の映画監督。
• 田中十三（たなか・じゅうぞう）は撮影技師、「日本キネマ撮影所」（双ヶ丘撮影所）を設立した。
• 高橋一三（たかはし・かずみ）は、元プロ野球選手。アニメ『巨人の星』において、主人公星飛雄馬の巨人入団以降におけるピッチングフォームのモデルにもなった。
• 小林一三（こばやし・いちぞう）は阪急電鉄をはじめとする阪急東宝グループ（現・阪急阪神東宝グループ）の創業者として知られる実業家。
• 一三（いちぞう）は日本の俳優・タレント、以前は本名の屋宮一三で活動していた。
• ペンネームとして所十三（ところ・じゅうぞう）、やまさき十三（じゅうぞう、本名に由来）、海野十三（うんの・じゅうざ、または じゅうぞう）などがある。

鉄道関連

• 十三里信号場（旧・十三里駅）は、北海道夕張市紅葉山にある信号場。
• 十三号街駅は、中国遼寧省瀋陽市鉄西区の駅。

その他

• 13トリソミーは、13番染色体における染色体異常の一種。
• 横浜ブルク13は、横浜市中区の桜木町駅近くにあるヒューリックみなとみらいの映画館（ティ・ジョイ運営）。開業時点で13スクリーンを持つ。
• 株式会社十三は損害保険事業、不動産開発・管理事業、カーリース事業を行う会社。1980年、日産火災海上保険の専属代理店として創業。
• 十三の窓があり「十三窓席」と俗称される小堀遠州作の茶室「擁翠亭」が、京都市にある。
• 「Afro13」は、佐々木智広が結成した劇団。
• 明の十三陵は、中国・明代の皇帝、后妃の陵墓群。
• 広東十三行は、中国・清代の広州において外国貿易を独占した商人団。
• 十三勢は、中国武術の一つである太極拳の基本武功。
• 十三年戦争は、1454年からの13年間にプロシア連合とドイツ騎士団国の間で行われた戦争。
• 十三翼の戦いは、モンゴル帝国の祖チンギス・ハーンとジャムカの戦い。
• 13年ゼミは、アメリカ合衆国東部に生息する周期ゼミ。13年周期で発生し4種存在する。
• アポロ13号は月への途上にトラブルを起こしたが、奇跡的に地球に生還した。
• 十三号型巡洋戦艦は、起工前に全隻建造中止となった大日本帝国海軍の巡洋戦艦。
• 伊号第十三潜水艦は、大日本帝国海軍の潜水艦。
• X-13は、アメリカの垂直離着陸 (VTOL) 実験機。
• 各種のC13

十三個一組で数えるもの

• 十三星座：十二星座に蛇使い座を加えた星座。また、占星術において「十三星座占い」が使用されることもある。
• 十三経：易・書・詩・周礼・儀礼・礼記・春秋左氏伝・春秋公羊伝・春秋穀梁伝・論語・孝経・爾雅・孟子
• 日本の自動車十三大メーカー：トヨタ・日産・ホンダ・三菱・マツダ・スバル・スズキ・ダイハツ・光岡・日野・いすゞ・三菱ふそう・UDトラックス

行政区画・植民地

• 13植民地→独立十三州：アメリカ合衆国の独立時の州。それに因んで、アメリカ合衆国の国旗の縞は13本となっている。
• 十三道制：李氏朝鮮の地方行政区画。13道による構成はその後の大韓帝国、日本統治時代にも引き継がれた。

宗派・教派

• 中国十三宗：中国で栄えた仏教における13宗派の総称。
• 十三宗五十六派：宗教団体法施行（1940年）以前で、日本における仏教の成立に大きく関わる大本の宗派。
• 神道十三派：明治時代から1945年の宗教団体法廃止までにおける日本政府公認の神道教派13派。

13人によるもの

• アッシリア十三士：キリスト教信仰強化のため6世紀にメソポタミアからグルジアに派遣された13人の修道士。
• 十三人の合議制：鎌倉時代初期における有力御家人十三人による合議制。
• 吉田13人衆：内閣総理大臣・吉田茂の主力側近グループ13人を指す。

符号位置

記号	Unicode	JIS X 0213	文字参照	名称
⑬	U+246C	1-13-13	⑬ ⑬	CIRCLED DIGIT THIRTEEN
⒀	U+2480	-	⒀ ⒀	PARENTHESIZED DIGIT THIRTEEN
⒔	U+2494	-	⒔ ⒔	DIGIT THIRTEEN FULL STOP
⓭	U+24ED	1-12-13	⓭ ⓭	DOUBLE CIRCLED DIGIT THIRTEEN

関連項目

• 数に関する記事の一覧
  • 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
  • 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
  • 13 26 39 52 65 78 91 104 117 130
• 西暦13年 紀元前13年 1913年 2013年 13世紀 - 平成13年 昭和13年 大正13年 明治13年 - 1月3日
• 13月（13の月の暦、Undecimber）
• 名数一覧

2桁までの自然数

(0)	1	2	3	4	5	6	7	8	9
10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
20	21	22	23	24	25	26	27	28	29
30	31	32	33	34	35	36	37	38	39
40	41	42	43	44	45	46	47	48	49
50	51	52	53	54	55	56	57	58	59
60	61	62	63	64	65	66	67	68	69
70	71	72	73	74	75	76	77	78	79
80	81	82	83	84	85	86	87	88	89
90	91	92	93	94	95	96	97	98	99
斜体で表した数は素数である。

1/3

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/10/07 18:22 UTC 版)

1/3（3分の1、さんぶんのいち）は、0 と 1 の間にある有理数の一つで、3 の逆数である。

数学的性質

• 1 ÷ 3 に等しい。
• 二進法では 0.01…、三進法では 0.1、六進法では 0.2、十進法では 0.333…、十二進法では 0.4、十六進法では 0.555…、二十進法では 0.6D6D… と表記される（下線部はそれぞれの循環節）。
• ${\sqrt[{3}]{x}}$ は $x^{\frac {1}{3}}$ のことである。
• 底面積 S、高さ h の角錐や円錐の体積 V は、V = 1/3Sh で求められる。
• 級数 1 − 2 + 4 − 8 + …, 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯, 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯ はそれぞれ、1/3 に収束するとも考えられている。

その他 1/3 に関すること

• 十進法では、循環小数になる自然数の逆数としては最大の数となるため、「割り切れない数」の例としてよく用いられる。
  • 一方で、六進法や十二進法では、3が約数に含まれるため、割り切れる数になる。
• 中国数学および和算では、小半または少半と呼ぶ。
• 野球で投球回 1/3 とは、「1アウトを取った」という意味である。
• 日本国憲法第56条第1項では「両議院は、各々その総議員の三分の一以上の出席がなければ、議事を開き議決することができない。」と規定している。
• アスパルテームの商品「パルスイート」は使用量が1/3で砂糖と同程度の甘さになる。
• 柔軟剤の商品名に「ソフラン1/3」（1987年にライオンが発売。現・ふんわりソフラン）、ハミング1/3（花王が発売。現・ハミング。ソフラン1/3に対抗するために発売された。）があった。いずれも従来の柔軟剤を3倍に濃縮した物で、容器のスペースを取らないため人気商品となった。
• 固定資産税では、住宅用地の課税標準において、住宅の敷地で住宅1戸につき200平方メートルを超え、住宅の床面積の10倍までの部分（一般住宅用地）については、課税標準を登録価格の 1/3 とする特例が設けられている。
• 黙示録のラッパ吹きは、第一から第六が世界の1/3を滅ぼしていく。
• 『1/3の純情な感情』は、SIAM SHADEの1997年のシングル。
• 『サンブンノイチ』は、木下半太による小説。及び小説を基に品川ヒロシによって映画化された作品。
• 新約聖書のヨハネの黙示録には15ヶ所に「三分の一」という表現がある。
  • 第一の天使がラッパを吹いた。すると、血の混じった雹と火とが生じ、地上に投げ入れられた。地上の三分の一が焼け、木々の三分の一が焼け、すべての青草も焼けてしまった。第二の天使がラッパを吹いた。すると、火で燃えている大きな山のようなものが、海に投げ入れられた。海の三分の一が血に変わり、また、被造物で海に住む生き物の三分の一は死に、船という船の三分の一が壊された。第三の天使がラッパを吹いた。すると、松明のように燃えている大きな星が、天から落ちて来て、川という川の三分の一と、その水源の上に落ちた。この星の名は「苦よもぎ」といい、水の三分の一が苦よもぎのように苦くなって、そのために多くの人が死んだ。第四の天使がラッパを吹いた。すると、太陽の三分の一、月の三分の一、星という星の三分の一が損なわれたので、それぞれ三分の一が暗くなって、昼はその光の三分の一を失い、夜も同じようになった。(ヨハネの黙示録 8章 7節～12節)
  • 四人の天使は、人間の三分の一を殺すために解き放された。この天使たちは、その年、その月、その日、その時間のために用意されていたのである。(ヨハネの黙示録 9章 15節)
  • その口から吐く火と煙と硫黄、この三つの災いで人間の三分の一が殺された。(ヨハネの黙示録 9章 18節)
  • 竜の尾は、天の星の三分の一を掃き寄せて、地上に投げつけた。そして、竜は子を産もうとしている女の前に立ちはだかり、産んだら、その子を食べてしまおうとしていた。(ヨハネの黙示録 12章 4節)

符号位置

記号	Unicode	JIS X 0213	文字参照	名称
⅓	U+2153	1-7-88	⅓ ⅓	3分の1

正の数と負の数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/10/03 19:58 UTC 版)

数学における正の数（せいのすう、英: positive number; 正数）は、0より大きい実数を言う。対照的に、負の数（ふのすう、英: negative number）は、0より小さい実数である。（とくに初等数学・算術や初等数論などの）文脈によっては、（暗黙の了解のもと）特に断りなく、より限定的な範囲の正の有理数や正の整数という意味で単に「正の数」と呼んでいる場合がある（負の数も同様）。

定義

数学において負数はマイナス記号を数字の前につけて表されるが、簿記などでは数字を赤くしたり三角形を数字の前に付けることによって表すこともある。

零は増減の無い状態であるため、正でも負でもない。負でない数 (non-negative number) とは零より小さくない、つまり零または正の実数である。正でない数 (non-positive number) とは零より大きくない、つまり零または負の実数である。

注意

複素数の体系で考えている場合、そのうち実数についてのみ正負を論じ、虚数は正でも負でもないとされる。例えば「正の数」と言えば、それが実数であることを暗黙のうちに含意するが、明確化のために「正の実数」と言うこともできる。

一般に順序体において、零元より大きな元を正の元、零元より小さな元を負の元という（後述）。順序体ではない体、例えば複素数体、有限体、p 進数体においては、四則演算と両立する正負の概念を定義することができない。

負の数

負の整数は、方程式 x − y = z がどんな x と y に対しても、z に関する方程式として意味をもつように自然数の体系を拡張して得られるものだと考えられる。このような負の整数の捉え方と同様にして、負の有理数や負の実数も得られる。

負数は、温度のように目盛り上で零より低くなる値を記述するのに有用である。簿記においても、負債の表現に使用できる。簿記において、負債はしばしば赤い数字（赤字）や三角形を前に付けた数字によって表す。

負でない数

負でない数は非負（ひふ）であるといわれる。 ゼロに等しいかそれより大きい（すなわち正であるかゼロである）実数を、非負実数（ひふじっすう）という。非負実数は負でない。実数は、負の実数か、非負実数のいずれかである。 非負実数のうち整数となるものを非負整数（ひふせいすう）という。

関数

符号関数

定義域が実数であり、正数に対して1を、負数に対して−1を、ゼロに対して0を返す関数 sgn(x) を定義できる。この関数は符号関数と呼ばれることがある。

$\operatorname {sgn} (x)=\left\{{\begin{matrix}-1&:x<0\\\;0&:x=0\\\;1&:x>0\end{matrix}}\right.$

このとき（x=0の場合を除き）以下の式が得られる。

$\operatorname {sgn} (x)={\frac {x}{|x|}}={\frac {|x|}{x}}={\frac {d{|x|}}{d{x}}}=2H(x)-1.$

ここで |x| は x の絶対値であり、H(x) はヘヴィサイドの階段関数である。微分法も参照。

複素符号関数

定義域が複素数であり、正数に対して1を、負数に対して-1を、ゼロに対して0を返す csgn(x) を定義できる 。この関数は複素符号関数と呼ばれることがある。

$\operatorname {csgn} (x)=\left\{{\begin{matrix}-1&:x<0\\\;0&:x=0\\\;1&:x>0\end{matrix}}\right.$

複素数の大小は以下のように解釈する。

${\begin{cases}x>0\iff \operatorname {Re} (x)>0\vee (\operatorname {Re} (x)=0\land \operatorname {Im} (x)>0)\\x<0\iff \operatorname {Re} (x)<0\vee (\operatorname {Re} (x)=0\land \operatorname {Im} (x)<0)\\\end{cases}}$

符号付き数の算術演算

加算と減算

数列は、零・正数・負数の三種類が組み合わさって構成されており、基準点が零、基準点から増えている分が正数、基準点から減っている分が負数となる。

従って、加算と減算では、負数は負債であり、正数は収益であると考えることができる。同じく、時間や世代の距離を数える場合にも、零は現在や自分、負数は過去や年上（親や祖父母など）、正数は未来や年下（子供や孫など）であると考えることもできる。

負数を加えることは、対応する正数を減ずることになる。逆に、負数を減ずることは、対応する正数を加えることになる。

9 − 5 = 4

（9歳年下の人物と5歳年下の人物は、4歳離れている。）

7 − (−2) = 9

（7歳年下の人物と2歳年上の人物は、9歳離れている。）

−4 + 12 = 8

（4歳年上の人物から12歳年下の人物は、自分の8歳年下である。）

5 + (−3) = 5 − 3 = 2

（¥5を持っていて¥3を借りたら、純資産は¥2である）

–2 + (−5) = −2 − 5 = −7

減算と負符号の概念の混乱を避けるため、負符号を上付きで書く場合もある（ただし、会計では負符号を△で表現する）。

⁻2 + ⁻5 = ⁻2 − 5 = ⁻7

△2 + △5 = △2 − 5 = △7

正数をより小さな正数から減ずると、結果は負となる。

4 − 6 = −2

（¥4を持っていて¥6を使ったら、負債¥2が残る）

正数を任意の負数から引くと、結果は負となる。

−3 − 6 = −9

（負債が¥3あってさらに¥6を使ったら、負債は¥9となる）

負数を減ずることは、対応する正数を加えることと等価である。

5 − (−2) = 5 + 2 = 7

（純資産¥5を持っていて負債を¥2減らしたら、新たな純資産は¥7となる）

別の例

−8 − (−3) = −5

（負債が¥8あって負債を¥3減らしたら、まだ¥5の負債が残る）

乗算

負数を掛けることは、正負の方向を逆転させることになる。負数に正数を掛けると、積は負数のままとなる。しかし、負数に負数を掛けると、積は正数となる。

(−20) × 3 = −60

（負債¥20を3倍にすれば、負債¥60になる。）

(−40) × (−2) = 80

（後方へ毎時40km進む車は、2時間前には現在地から前方へ80kmの位置にいた。）

これを理解する方法の1つは、正数による乗算を、加算の繰り返しと見なすことである。3 × 2 は各グループが2を含む3つのグループと考える。したがって、3 × 2 = 2 + 2 + 2 = 6 であり、当然 −2 × 3 = (−2) + (−2) + (−2) = −6 である。

負数による乗算も、加算の繰り返しと見なすことができる。例えば、3 × −2は各グループが−2を含む3つのグループと考えられる。

3 × −2 = (−2) + (−2) + (−2) = −6

これは乗算の交換法則を満たすことに注意

3 × −2 = −2 × 3 = −6

「負数による乗算」と同じ解釈を負数に対しても適用すれば、以下のようになる。

−4 × −3	=   − (−4) − (−4) − (−4)
	=  4 + 4 + 4
	=  12

しかし形式的な視点からは、2つの負数の乗算は、積の和に対する分配法則によって直接得られる。

−1 × −1	=  (−1) × (−1) + (−2) + 2
	=  (−1) × (−1) + (−1) × 2 + 2
	=  (−1) × (−1 + 2) + 2
	=  (−1) × 1 + 2
	=  (−1) + 2
	=  1

除算

除算も乗算と同じく、負数で割ることは、正負の方向を逆転させることになる。負数を正数で割ると、商は負数のままとなる。しかし、負数を負数で割ると、商は正数となる。

被除数と除数の符号が異なるなら、商は負数となる。

(−90) ÷ 3 = −30

（負債¥90を3人で分けると、負債¥30ずつ継承される。）

24 ÷ (−4) = −6

（東を正数、西を負数とする場合：4時間後に東へ24km地点に進む車は、4時間前には西へ6kmの位置にいる。）

両方の数が同じ符号を持つなら、商は（両方が負数であっても）正数となる。

(−12) ÷ (−3) = 4

累乗

累乗は乗算や除算と同じく、指数を正数にすると、「n乗」に倍増される。しかし、指数を負数にすると、「1 / n乗」に分割される。つまり、指数 n を正数にすると「n 回乗算を繰り返す」ことになるが、指数 n を負数にすると「n 回除算を繰り返す」ことになる。

3³ = 27

（×3 ×3 ×3 = 27）

3⁻³ = 1/27

（÷3 ÷3 ÷3 = 1/27）

360 × 2³ = 2880

（360 ×2 ×2 ×2 = 2880）

36 × 5⁻¹ = 7.2

（36 ÷5 = 7.2）

負の整数と負でない整数の形式的な構成

有理数の場合と同様、整数を自然数の順序対 (a, b) （これは整数 a − b を表していると考えることができる）を下に述べるようにして同一視したものとして定義することによって自然数の集合Nを整数の集合Zに拡張できる。これらの順序対に対する加法と乗法の拡張は以下の規則による。

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)

(a, b) × (c, d) = (a × c + b × d, a × d + b × c)

ここで以下の規則により、これらの順序対に同値関係 ~ を定義する。

(a, b) ~ (c, d) となるのは a + d = b + c なる場合、およびこの場合に限る

この同値関係は上記の加法と乗法の定義と矛盾せず、ZをN²の ~ による商集合として定義できる。すなわち2つの順序対 (a, b) と (c, d) が上記の意味で同値であるとき同一視する。

さらに以下の通り全順序をZに定義できる。

(a, b) ≤ (c, d) となるのは a + d ≤ b + c となる場合、およびこの場合に限る

これにより加法の零元が (a, a) の形式で、(a, b) の加法の逆元が (b, a) の形式で、乗法の単位元が (a + 1, a) の形式で導かれ、減法の定義が以下のように導かれる。

(a, b) − (c, d) = (a + d, b + c).

負の数の起源

長い間、問題に対する負の解は「誤り」であると考えられていた。これは、負数を実世界で見付けることができなかったためである（例えば、負数のリンゴを持つことはできない）。その抽象概念は早ければ紀元前100年 – 紀元前50年には認識されていた。中国の『九章算術』には図の面積を求める方法が含まれている。赤い算木で正の係数を、黒い算木で負の係数を示し、負の数がかかわる連立方程式を解くことができた。紀元後7世紀ごろに書かれた古代インドの『バクシャーリー写本』は"+"を負符号として使い、負の数による計算を行っていた。これらが現在知られている最古の負の数の使用である。

プトレマイオス朝エジプトではディオファントスが3世紀に『算術』で 4x + 20 = 0 （解は負となる）と等価な方程式に言及し、この方程式はばかげていると言っており、古代地中海世界に負数の概念がなかったことを示している。

7世紀の間に、負数はインドで負債を表すために使われていた。インドの数学者ブラーマグプタは『ブラーフマスプタ・シッダーンタ』（628年）において、今日も使われている一般化された形式の解の公式を作るために、負数を使うことについて論じている。彼は二次方程式の負の解を発見し、負数と零が関わる演算に関する規則も与えている。彼は正数を「財産」、零を「0 (cipher)」、負の数を「借金」と呼んだ。12世紀のインドで、バースカラ2世も二次方程式に負の根を与えていたが、問題の文脈では不適切なものとして負の根を拒絶している。

8世紀以降、イスラム世界はブラーマグプタの著書のアラビア語訳から負の数を学び、紀元1000年頃までには、アラブの数学者は負債に負の数を使うことを理解していた。

負の数の知識は、最終的にアラビア語とインド語の著書のラテン語訳を通してヨーロッパに到達した。

しかし、ヨーロッパの数学者はそのほとんどが、17世紀まで負数の概念に抵抗を見せた。ただしフィボナッチは、『算盤の書』（1202年）の第13章で負数を負債と解釈し、後には『精華』で損失と解釈して金融問題に負の解を認めた。同時に、中国人は右端のゼロでない桁に斜線を引くことによって負数を表した。ヨーロッパ人の著書で負数が使われたのは、15世紀中のシュケによるものが最初であった。彼は負数を指数として使ったが、「馬鹿げた数」であると呼んだ。

イギリスの数学者フランシス・マセレス[2]は1759年、負数は存在しないという結論に達した。

負数は現代まで十分に理解されていなかった。つい18世紀まで、スイスの数学者レオンハルト・オイラーは負数が無限大より大きいと信じており（この見解はジョン・ウォリスと共通である）、方程式が返すあらゆる負の解を意味がないものとして無視することが普通だった。負数が無限大より大きいという論拠は、${\frac {1}{x}}$ の商と、x が正の側から x = 0 の点に近づき、交差した時何が起きるかの考察によって生じている。

一般化

正の行列

正行列

実行列Aについて、Aが負でないということを、Aのすべての成分が負でない、というふうに定めることができる。このとき、実行列のうちには正とも負とも言えないものもあることになる。また、実行列Aについて、Aの全ての正方部分行列の行列式が負でないとき、Aのことを完全に非負（行列理論）あるいは、完全に正（コンピュータ科学者）と呼ぶことがある。

正定値行列

一方で、線形代数学的な観点から、実対称行列やより一般に複素エルミート行列について、上とは異なった正負の概念がしばしば用いられる。エルミート行列Aは、その固有値の全てが負でないときに、負でない（あるいは単に、正である）とよばれる。Aが負でないということはある行列BについてAが B*.Bと書けることと同値になる（行列の定値性も参照）。無限次元の場合として、函数解析学における正作用素の概念が対応する。

正錐

抽象代数学の言葉では、正の数の全体 P は実数全体 ℝ の正錐と呼ばれる対象を成す。これにより ℝ は加法に関して順序群、加法と乗法に関して順序体と呼ばれる構造を持ち、また逆に、順序群や順序体としての ℝ の正錐 P が与えられれば「正の数とは P の任意の元のことである」と述べることができる。

xy-平面 ℝ² の第一象限や xyz-空間 ℝ² の x > 0, y > 0, z > 0 なる八分象限 などが順序線型空間としての正錐の例であり、この構造に「錐」の名称がつけられている理由をみることができる。

これらのような順序構造において、正錐はそれぞれの付加構造によって記述できる良い性質を様々に持つ。

函数解析学における正作用素全体の成す凸錐もまたそのような例であり、より抽象的にバナッハ環、C*-環における正の元などが考察の対象となる。

関連項目

• 符号 (数学)
• プラス記号とマイナス記号
• 符号付数値表現：負の二進数と負でない二進数
• ゼロの発見
• −0

外部リンク

• Weisstein, Eric W. "Positive Number". MathWorld（英語）. CS1 maint: Multiple names: authors list / Weisstein, Eric W. "Negative Number". MathWorld（英語）. CS1 maint: Multiple names: authors list
• positive - PlanetMath.（英語） / negative number - PlanetMath.（英語）
• positive number in nLab
• Definition:Positive Number at ProofWiki / Definition:Negative Number at ProofWiki
• BBC Radio 4 series "In Our Time", on Negative Numbers, March 9, 2006（英語）
• Endless Examples & Exercises: Operations With Signed Integers（英語）
• Math Forum: Ask Dr. Math FAQ: Negative Times a Negative（英語）