11

短編小説作品名辞典

1+(プラス)1

作者金井美恵子

収載図書金井美恵子全短篇 3
出版社日本文芸社
刊行年月1992.4

ウィキペディア

11

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/11/26 12:44 UTC 版)

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10 ← 11 → 12
素因数分解	11 （素数）
二進法	1011
三進法	102
四進法	23
五進法	21
六進法	15
七進法	14
八進法	13
十二進法	B
十六進法	B
二十進法	B
二十四進法	B
三十六進法	B
ローマ数字	XI
漢数字	十一
大字	拾壱
算木
位取り記数法	十一進法

11（十一、じゅういち、とおあまりひとつ）は自然数、また整数において、10の次で12の前の数である。桁の底が十を超えるN進法では B と表記される。この場合、一つ前の十は A と表記される。

十一を意味する英語の eleven やドイツ語の Elf の語源は、「残りが一つ」である。これは、指で十まで数えた後に一つ残ることを意味する。

英語では、数詞でeleven、序数詞では、11th、eleventh となる。

ラテン語では undecim（ウーンデキム）。

→「イレブン」も参照

性質

• 11は5番目の素数である。1つ前は7、次は13。
  • 2桁では最小の素数である。
  • 約数の和は12。
• 5番目のリュカ数である。1つ前は7、次は18。
• 4番目のソフィー・ジェルマン素数である。1つ前は5、次は23。
• 3番目の安全素数である。1つ前は7、次は23。
  • ソフィー・ジェルマン素数、安全素数両方当てはまる2番目の素数である。1つ前は5、次は23。(オンライン整数列大辞典の数列 A59455)
• 3番目のスーパー素数である。1つ前は5、次は17。
• 1/11 = 0.090909… (下線部は循環節で長さは2)
  • 逆数が循環小数になる数で循環節が2になる最小の数である。次は22。
  • 循環節が n になる最小の数である。1つ前の1は3、次の3は27。(オンライン整数列大辞典の数列 A003060)
• p = 11 のときの 2^p − 1 という形で表すメルセンヌ数において、p が素数のとき初めて合成数になる数である。次は23。

2¹¹ − 1 = 2047 = 23 × 89

• 11 = 11 + 0 × i (iは虚数単位)
  • a + 0 × i で表される3番目のガウス素数である。1つ前は7、次は19。
• 2番目の 8n + 3 型の素数であり、この類の素数は x² + 2y² と表せるが、11 = 3² + 2 × 1² である。1つ前は3、次は19。
• 13との組 (11, 13) は、3番目の双子素数。1つ前は(5, 7)、次は(17, 19)。
• (5, 7, 11, 13) は最初の四つ子素数。また、(11, 13, 17, 19) も四つ子素数である。次は(101, 103, 107, 109)。
• 11 = 2³ + 3
  • n = 3 のときの 2ⁿ + 3 の値とみたとき1つ前は7、次は19。(オンライン整数列大辞典の数列 A062709)
    • 2ⁿ + 3 の形の3番目の素数である。1つ前は7、次は19。(オンライン整数列大辞典の数列 A057733)
  • n = 3 のときの 2ⁿ + n の値とみたとき1つ前は6、次は20。(オンライン整数列大辞典の数列 A006127)
• 11 = 3² + 2
  • n = 2 のときの 3ⁿ + 2 の値とみたとき1つ前は5、次は29。(オンライン整数列大辞典の数列 A168607)
    • 3ⁿ + 2 の形の3番目の素数である。1つ前は5、次は29。(オンライン整数列大辞典の数列 A057735)
  • n = 2 のときの 3ⁿ + n の値とみたとき1つ前は4、次は30。(オンライン整数列大辞典の数列 A104743)
    • 3ⁿ + n の形の最小の素数である。次は6569。(オンライン整数列大辞典の数列 A273942)
• 2個の素数の和で表せない4番目の数である。1つ前は3、次は17。(オンライン整数列大辞典の数列 A014092)
• n = 11 のときの n! + 1 で表せる 11! + 1 = 39916801 は素数である。n! + 1 の形の階乗素数を生む4番目の数である。1つ前は3、次は27。(オンライン整数列大辞典の数列 A002981)
• 11# + 1 = 2 × 3 × 5 × 7 × 11 + 1 = 2311 であり、n# + 1 の形で素数を生む(n# は素数階乗で n 以下の素数の総乗)。
• 十進法における11番目の回文数である。1つ前は9、次は22。また、5番目の回文素数でもある。1つ前は7、次は101。
  • 十進法において、2桁の自然数では唯一の回文素数。また1桁の数を除くとどんな|N|>1に対するN進法においても最小の回文数であり、1が2つ並ぶぞろ目でもある。11² = 121、11³ = 1331、11⁴ = 14641 もまた回文数である^[1]。
• 偶数桁の回文数は11の倍数である。
• 十進法の九九で表せない（登場しない）整数のうち最小の数である。なお 11 以上の素数は九九には登場しない。
• ハーシャッド数でない最小の自然数である。次は13。(オンライン整数列大辞典の数列 A065877)
  • 各位の和が11となるハーシャッド数の最小は209、1000までに8個、10000までに16個ある。
• 2番目のグッド素数である。
• 13n − 1 の形式の実数部・虚数部を持たないアイゼンシュタイン素数である。
  • アイゼンシュタイン素数かつガウス素数である最小の数。次は23。
• ストロボグラマティック素数かつ二面角素数である。
• ある数が 11 で割り切れれば、それを逆から書いた数も 11 の倍数になる。そして、ある数の全ての隣り合った桁の数字の和が 9 を超えていないならば、その数に 11 を掛け、それを逆から書いた数を 11 で割ると、元の数を逆から書いた数が出力される（例えば 142312 × 11 = 1565432, 2345651 ÷ 11 = 213241）。
• 十進法で 11 とある数との乗法を簡単に行う方法がある。桁数が、
  • 1桁 - 数を複製する（すなわち 2 × 11 = 22 である）。
  • 2桁 - 2桁を加えて、結果を真ん中に置く（例：47 × 11 = 4(4 + 7)7 = 517）。
  • 3桁 - 掛ける数の1番右の桁が結果の1番右の桁となり、結果の2番目の桁は掛ける数の1番右と2番目の桁の和であり、結果の3番目の桁は掛ける数の2番目と3番目の数の和であり、結果の4番目の桁は掛ける数の3番目の桁である。和が10以上である場合には1繰り上がる。例えば 123 × 11 = 1(1 + 2)(2 + 3)3 = 1353, 481 × 11 = 4(4 + 8)(8 + 1)1 = 5291 である。
  • 4桁以上 - 3桁の場合と同様。
• シュテルマー数（英語版）、ヘーグナー数であり、また、ミルズ定数（英語版）によって生成されるミルズ素数である。
• 3変数のヘルムホルツ方程式を変数分離のテクニックを使用して解くことができる、11 の直角な曲線の（等角の対称の中への）座標系が存在する。
• 35 個のヘキソミノのうち 11 個が立方体を形成するため折り畳むことができる。66 個のオクチアモンドのうち 11 個を八面体を形成するため折り畳むことができる。
• 無作為に選ばれた分割数が11の倍数である確率は 1/11 よりずっと高い。
• ポリオミノの研究の指導者、および貢献者であるデイビッド・A・クラルネルによると、長方形を奇数個の矩形でない合同なポリオミノに切り分けることが可能である。11は、最も少ないそのような数、素数である唯一のそのような数、および3の倍数ではない唯一のそのような数である。
• 折り紙で面積が最大の正11角形は折れない。また、折り紙で折れない、面積が最大の正n角形では最小の数である。
• フィボナッチ数列を構成する最初の4数の和である。(1 + 2 + 3 + 5 = 11) 1つ前は6、次は19。
• 異なる平方数の和で表せない31個の数の中で6番目の数である。1つ前は8、次は12。
• 各位の和(数字和)が2になる2番目の数である。1つ前は2、次は20。
  • 各位の和が2になる数で素数になる2番目の数である。1つ前は2、次は101。(オンライン整数列大辞典の数列 A003021)
  • 各位の和(数字和)が n になる n 番目の数である。1つ前は1、次は21。
  • 奇数という条件をつけると各位の和が2になる最小の数である。
• 各位の平方和が2になる最小の数である。次は101。(オンライン整数列大辞典の数列 A003132)
  • 各位の平方和が n になる最小の数である。1つ前の1は1、次の3は111。(オンライン整数列大辞典の数列 A055016)
• 各位の立方和が2になる最小の数である。次は101。(オンライン整数列大辞典の数列 A055012)
  • 各位の立方和が n になる最小の数である。1つ前の1は1、次の3は111。(オンライン整数列大辞典の数列 A165370)
• 各位の積が1になる2番目の数である。1つ前は1、次は111。(オンライン整数列大辞典の数列 A000042)
  • 各位の積が1になる数で最小の素数である。次は1111111111111111111。(オンライン整数列大辞典の数列 A004022)
    • 2番目のレピュニット R₂ であり、レピュニット素数でもある。次のレピュニットは R₃ = 111、次のレピュニット素数は R₁₉ である。
  • 2桁の数の中では最小のズッカーマン数である。1つ前は9、次は12。
• 11 = 1² + 1² + 3²
  • 3つの平方数の和1通りで表せる4番目の数である。1つ前は9、次は12。(オンライン整数列大辞典の数列 A025321)
• 11 = 6² − 5² = (6 + 5) × (6 − 5)
  • n = 6 のときの (n + 5)(n − 5) の値とみたとき1つ前は0、次は24。(オンライン整数列大辞典の数列 A098603)
• 11 = 7² − 5² − 3² − 2²
  • n = 2 のときの 7ⁿ − 5ⁿ − 3ⁿ − 2ⁿ の値とみたとき1つ前は−3、次は183。(オンライン整数列大辞典の数列 A135161)
• 11 = 3² + 3 − 1 = 4² − 4 − 1
  • n = 3 のときの n² + n − 1 の値とみたとき1つ前は5、次は19。(オンライン整数列大辞典の数列 A028387)
• 11 = 1 − 2 + 4 − 8 + 16 = 2⁰ − 2¹ + 2² − 2³ + 2⁴
  • n = 2 のときの n⁴ − n³ + n² − n¹ + 1 の値とみたとき1つ前は1、次は61。(オンライン整数列大辞典の数列 A060884)
  • 11 = 1 − 2 + 2² − 2³ + 2⁴
    • 初項 1、公比 −2 の等比数列の和とみたとき1つ前は−5、次は−21。(オンライン整数列大辞典の数列 A077925)
  • 11 = 2⁵ + 1/2 + 1
    • n = 2 のときの 2²ⁿ⁺¹ + 1/3 の値とみたとき1つ前は3、次は43。(オンライン整数列大辞典の数列 A007583)
• 2番目の完全数28の全ての素因数の和が11である。1つ前は5、次は39。(オンライン整数列大辞典の数列 A276663)

11の倍数の見分け方

• ある数が11で割り切れるかどうかの判定法として、小数点から奇数桁目の位の和と偶数桁目の位の和の差が 11 の倍数ならば、この数は 11 の倍数である、というのがある。
  • 例: 11 × 8348 = 91828, (8 + 8 + 9) − (2 + 1) = 22 = 11 × 2

一般に、小数点から奇数桁目の位の和から偶数桁目の位の和を引いた数は、元の数と 11 を法としたときの剰余に等しい。

• 別の判定法として、連続する2つの位ずつのグループに分け（桁数が奇数ならば先頭に 0 を加える）、分割された数の和が 11 で割り切れるならば、その数は 11 で割り切れる。例えば、数 65637 について、06 + 56 + 37 = 99 = 11 × 9 なので、65637 は 11 で割り切れる。最下桁に 0 を加えてもこの判定法は成立する。例えば、数 65637 について、65 + 63 + 70 = 198 は 11 で割り切れる。一般に、全てのグループの数字の個数が偶数個であればよい（全てのグループが同じ個数の数字を持つ必要はない）。
• 十進法において、ある整数が11で割り切れる数かを判定する簡単なテストがある。奇数桁にある数を全て加え、それから偶数桁にある数を全て加える。これらの差が11で割り切れる場合、その整数は11で割り切れる^[2]。例えば、65637 を例に取ると、(6 + 6 + 7) − (5 + 3) = 11 なのでこれは 11 で割り切れる。このテクニックは個々の数字というよりも、各グループにおける数字の数が奇数であれば、縦え同じ数でなくても、数字のグループに対して適用できる。例えば、65637 を例に取ると、3桁ずつとって 65 − 637 = −572（11で割り切れる数）となる。

科学において

• ナトリウムの原子番号。
• 化学では、第11族元素は、古代から知られている3つの造幣用の金属銅、銀、金、および1994年に発見された超重元素レントゲニウムも含む。
• M理論によると、宇宙の時空は11次元である。

天文学

• アポロ11号は月に着陸した最初の有人宇宙船である。
• 太陽活動周期は約11年である。
• メシエカタログの天体、M11 はたて座にある散開星団。
• ニュージェネラルカタログの天体、NGC 11 はアンドロメダ座にある渦巻銀河。
• インデックスカタログの天体、IC 11 はカシオペヤ座にあるHII領域。
• メロッテカタログの天体、Mel 11 はカシオペヤ座にある散開星団。
• 紀元前2511年12月26日に開始し、紀元前1158年3月18日で終わった日食のシリーズのサロス周期の番号^[3]。サロス周期11の期間は1352.2年であり、76回の日食を含んでいた。
• 紀元前2389年6月19日に開始し、紀元前1037年9月8日で終わった月食のシリーズのサロス周期の番号^[3]。サロス周期11の期間は1352.2年であり、76回の月食を含んでいた。

音楽において

• ファゴットのキーの数（ウィスパーキーをカウントしない）。少数のファゴットは12番目のキーを持っている。
• モキュメンタリー This Is Spinal Tap で、スパイナル・タップのアンプはアップ・トゥ・イレブンとなる。
• イーゴリ・ストラヴィンスキーの春の祭典において、同じコードの11回の連続した繰り返しが存在する。
• トゥールの歌 Jimmy において、数 11 は 歌詞の中で何度も聞かれる。
• スチャダラパーのアルバム。2009年発売。
• 11(キリンジのアルバム)
• UA のアルバム『11』。
• 『11』 (石川晃次のアルバム)
• 11(paris matchのアルバム)

スポーツにおいて

• サッカーやクリケットでは1度にフィールドの上に1チームあたり11人の選手がいる。学校で、フレーズ "the first football XI" および "the first cricket XI" は一般的に、現在プレーしている1番目のチームを指す。他のチームはしばしば "the second XI" などと呼称される。
• また、サッカーにおいて、ペナルティスポットがゴールラインから約11m（正確に12ヤード）の所にあるので、ドイツ語（および、場合によってはメートル法を使用する他の国）でペナルティーキックは "Elfmeter" と称される。ポジション名が取られたピラミッドフォーメーションでは、左のウィングフォワードが11を着けた。現代のゲーム、特に4-4-2フォーメーションを使用する場合において、左サイドのミッドフィールダーが着ける。フォワードが着けることもある。
• フィールドホッケーチームは11人である。サッカーにおいてそうであるように、11 を身に着けている選手は通常左側でプレイする。
• アメリカンフットボールで同時にフィールドでプレーできるのは11人である。
• ラグビーユニオンではレフトウィングが 11 を着けている。
• ラグビーリーグは、11 は2列目のフォワードが付ける。
• クリケットでは、11番目の打者は通常テイルエンドと呼ばれ最も弱い打者である。
• 阪神タイガースの背番号11は村山実投手の永久欠番である。
• 日本プロ野球連続完投勝利記録は斎藤雅樹が持つ「11」。達成した翌年の1990年からは背番号も 11 としている。

軍隊において

• 銃の敬礼の中の11個の銃はアメリカ陸軍、アメリカ空軍、および海兵隊の准将、そしてアメリカ海軍、アメリカ沿岸警備隊の下半分の少将に行う。
• アメリカ合衆国軍事職業コード (MOS) はアメリカ合衆国軍歩兵役員のみならず下士官にも与えられる（AKA 11 MOSシリーズ、11B、11C、11D、11H、11M など）
• アメリカ海兵隊と海軍の歩哨のための一般命令の番号。
• 懲戒処分を書き留めるための、徴募された船舶のサービスレコードブックの中のページ。
• 第一次世界大戦は1918年11月11日の休戦協定によって終了した。午前11時にそれが発効した。
• 現在でも毎年11月11日に休戦記念日が観察される。アメリカ合衆国では復員軍人の日と呼ばれ、イギリス連邦とヨーロッパの一部では戦没者追悼記念日と呼ばれる。

コンピューティングにおいて

• Mozilla Firefox, Opera, Konqueror, KDE, Windows用Internet Explorer 4^[4]で、ファンクションキーF11はフルスクリーンビューモードにトグルを付ける。macOS ではF11は全ての開いたウィンドウを隠す。
• UNIXコンピュータのためのウィンドウ作成システムは X Window System 11 として知られる。
• ディジタル・イクイップメント・コーポレーションの PDP-11シリーズコンピュータは "elevens" と非公式に称された。
• 2021年に、Microsoftの新たなオペレーティングシステムとしてWindows 11が発表された。

歴史に関する 11

• 日本の11代目の天皇は、垂仁天皇。
• 鎌倉幕府の11代執権は、北条宗宣（鎌倉幕府の将軍は9代目まで）。
• 征夷大将軍の官職が設けられてから通算での第11代将軍は、久明親王（鎌倉幕府の8代将軍）。
• 室町幕府の11代将軍は、足利義澄。
• 江戸幕府の11代将軍は、徳川家斉。
• 日本の11代目の内閣総理大臣は、桂太郎。
• 大相撲の第11代横綱は不知火光右衛門である。
• アメリカ合衆国の第11代大統領はジェームズ・ポークである。
• 第11代殷王は外壬である。
• 第11代周王は宣王である。
• 第11代ローマ教皇はアニケトゥス（在位：155年? - 167年4月17日?）である。

その他 11 に関すること

• 11の接頭辞：undeci（拉）、hendeca または hendeka（希）
• 年始から数えて11日目は1月11日。
• 11倍をウンデキュプル (undecuple) という。
• 3本の映画、ベン・ハー（1959年）、タイタニック（1997年）、およびロード・オブ・ザ・リング/王の帰還（2003年）は公開された年のアカデミー作品賞を含むアカデミー賞の11部門を受賞した。
• マスタ番号の1番目であるので、数11は数秘術において重要である。
• 12:00（深夜）のわずか1時間前にある、eleventh hour は何かを世話する可能な最後の瞬間を意味し、しばしば至急の危険または緊急事態の状況を暗示する。
• 占星術では、宝瓶宮は黄道十二星座の11番目のサインである。
• オーシャンズイレブンは2本のアメリカ合衆国の映画の名前である。
• バスク語では hamaika ("11") は恐らく amaigabe（"終わりがない"）に由来する"無限"との二重の意味を持っている。例えば Hamaika aldiz etortzeko esan dizut!（私はあなたに来るように11回/無限回話しました!）
• アメリカン航空11便テロ事件は、2001年9月11日にボストンからロサンゼルスのフライトがニューヨーク州ニューヨークのテロリストにハイジャックされた後にワールドトレードセンターの北タワーに衝突した事件である。
• ロンドンバスルート11はロンドンを低価格で観光する方法である。
• ブラックジャックにおいて、エースはプレイヤーのために有利なように 1 または 11 と解釈できる。
• クラップスにおいては、「ナチュラル」と呼び、ポイントナンバーが決まる前のパスラインベットと、カムベット後の第一投目にこの目が出ると、勝ちとなる。また、7(Seven)と発音が似ているため、「Yo」または「Yo-leven」と呼び差別化している。
• 11 はフランスのオード県の番号である。
• タロットの大アルカナでは、現在広く用いられているウェイト版タロットでは「正義」、マルセイユ版タロットを始めとする伝統的なデッキでは「力」である。
• トランプで 11 のカードはジャック。
• 易占の六十四卦で第11番目の卦は、地天泰。
• 千手観音は頭上に 11 または 27 の顔を持ち、救う対象に合わせた接し方をするといわれている。
• 11 を名称に含む鉄道車両には、JR東海キハ11形気動車、国鉄キハ11形気動車、国鉄C11形蒸気機関車などがある。
• 大阪府茨木市に近鉄バスの「十一」（じゅういち）という停留所がある。
• JIS X 0401、ISO 3166-2:JPの都道府県コードの「11」は埼玉県。
• コンビニエンスストアのセブン-イレブンの名称は、かつて営業時間が朝7時から夜11時までだったことに由来する。
• テレビ番組の名称の中には、11PM のように、放送時間に由来して 11 が含まれるものが多数存在する。
• BS11のBSデジタルリモコンキーIDとショップチャンネルのBS4KリモコンキーIDは 11 である。
• メ〜テレ（ANN系列）・ABS秋田放送・KRY山口放送（NNN/NNS系列）、SBC信越放送・SBS静岡放送・RSK山陽放送・RKK熊本放送（JNN系列）、FTV福島テレビ（FNN/FNS系列）、FBC福井放送（NNN/NNSとANNのクロスネット）のアナログ放送の親局チャンネル数は 11 である。
• 野鳥のジュウイチは、「ジュウイチ ジュウイチ」と囀ることから名前が付けられた。
• 日本の検察審査会は、無作為抽出された11人の有権者で構成されている。
• クルアーンにおける第11番目のスーラはフードである。
• 攻殻機動隊2ndGIGで秘密裏に散布された電脳ウイルスの名前が個別の11人。
• 『11人いる!』は萩尾望都の漫画。

符号位置

記号	Unicode	JIS X 0213	文字参照	名称
Ⅺ	U+216A	1-13-31	Ⅺ Ⅺ	ROMAN NUMERAL ELEVIN
ⅺ	U+217A	1-12-31	ⅺ ⅺ	SMALL ROMAN NUMERAL ELEVIN
⑪	U+246A	1-13-11	⑪ ⑪	CIRCLED DIGIT ELEVIN
⑾	U+247E	-	⑾ ⑾	PARENTHESIZED DIGIT ELEVIN
⒒	U+2492	-	⒒ ⒒	DIGIT ELEVIN FULL STOP
⓫	U+24EB	1-12-11	⓫ ⓫	DOUBLE CIRCLED DIGIT ELEVIN

脚注

1. ^ nombre - onze en maths
2. ^ Higgins, Peter (2008). Number Story: From Counting to Cryptography. New York: Copernicus. p. 47. ISBN 978-1-84800-000-1 
3. ^ ^{a b} “Lunar Eclipses of Saros Series 1 to 175”. 2007年7月11日時点のオリジナルよりアーカイブ。2007年6月23日閲覧。
4. ^ Keyboard Shortcuts for Internet Explorer 4 Archived 2010年10月4日, at the Wayback Machine.

関連項目

ウィクショナリーに関連の辞書項目があります。

11

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十一

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eleven

ウィクショナリーに関連の辞書項目があります。

Ⅺ

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ⅺ

• 0 - 10 - 20 - 30 - 40 - 50 - 60 - 70 - 80 - 90 - 100
• 11 - 12 - 13 - 14 - 15 - 16 - 17 - 18 - 19
• 紀元前11年 - 西暦11年 - 1911年 - 2011年 - 平成11年 - 昭和11年 - 大正11年 - 明治11年 - 11世紀 - 11月 - 1月1日
• 名数一覧

2桁までの自然数

(0)	1	2	3	4	5	6	7	8	9
10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
20	21	22	23	24	25	26	27	28	29
30	31	32	33	34	35	36	37	38	39
40	41	42	43	44	45	46	47	48	49
50	51	52	53	54	55	56	57	58	59
60	61	62	63	64	65	66	67	68	69
70	71	72	73	74	75	76	77	78	79
80	81	82	83	84	85	86	87	88	89
90	91	92	93	94	95	96	97	98	99
太字で表した数は素数である。

典拠管理データベース: 国立図書館	イスラエル アメリカ

1+1

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/06/26 05:57 UTC 版)

この項目では、加法の数式について説明しています。その他の用法については「1+1 (曖昧さ回避)」をご覧ください。

1+1（いちたすいち）は、加法の数式のひとつである。しばしば、最も単純な計算問題として言及され、様々な比喩に用いられる。計算結果が 2 とされる初等的、数学的な意味の他にも、抽象的な意味を持ち得ている。

初等的な意味

一般に加法の最も素朴な意味は「合併」であり、多くの初学者は 1+1=2 の意味として「1つのリンゴと1つのリンゴを合わせると、全部で2つのリンゴになる」といった理解の仕方をする。「合併」と似た意味であるが、初等教育において厳密には区別されるものとして「添加」がある^[1]。例えば、「1人の乗客が乗ったバスに、もう1人乗客が乗ってくると、乗客は全員で2人になる」といったものであり、この場合 1+1 のふたつの 1 は区別される。すなわち、+ の前の 1 は足される数であって最初から乗っていた乗客を表し、+ の後の 1 は足す数であって後から乗ってきた乗客を表す。

以上の例では、1 はものの個数・数量を表す基数であるが、1 のような自然数は量を表したり、順序を表す序数である場合がある。1 が量を表す例としては「1リットルの水と1リットルの水を合わせると2リットルの水になる」といったMKS単位系などで表現されるものがあり、順序を表す例としては「徒競走で1番の人の1番後の人は2番である」などがある。このように、初等教育の範囲内においてさえ、1+1 は様々な意味を持つ抽象的な概念である。

ペアノ算術による証明

初等教育では 1+1=2 は自明のこととして扱われるが、公理から出発して証明された命題のみを真実として認める、というエウクレイデス以来の哲学からすると、1+1=2 の論理的な位置付けを明らかにすることが望まれる。数学基礎論が整備されつつあった時代に、ホワイトヘッドとラッセルは、数学の基礎的な部分を完全に形式的に展開することを目標として『プリンキピア・マテマティカ』を著した。この書物では、記号論理学的な準備に数百項が費やされており、実際に十進法の演算が定義されて 1+1=2 が証明されるまで700ページあまりを必要としている^[2]。

『プリンキピア・マテマティカ』は、先駆的な仕事であったものの、現代的には批判もあり、自然数の定義として通常採用されるのはペアノの公理である。それによると、自然数の間に「後者関数」と呼ばれる関数 suc(a) が与えられ、（自然数に 0 を含める場合）0 の「後者」suc(0) が 1、その「後者」suc(1)が 2 と定義される。

一方、加法+はペアノ算術の公理によれば n + 0 = n および n + suc(m) = suc(n + m) によって再帰的に定義される2変数関数+のことである。

これらの準備のもと、等号公理により 1 + 1 = 1 + suc(0) = suc(1 + 0) = suc(1) = 2 となる。これが1+1=2の厳密な証明である。

抽象代数

環などの抽象代数においては、1 は乗法における単位元を意味し、加法は個数の合併という意味を離れた抽象的な二項演算である。

例えば、2元体 F₂ は、乗法の単位元 1 と加法の単位元 0 のみを元にもち、この世界においては 1+1=0 である。F₂ を Z/2Z（整数全体の集合 Z を、2 を法とする合同関係で類別した同値類の集合）と見なせば、1 は奇数、0 は偶数を表し、1+1=0 は「奇数と奇数の和は偶数」であることを表していると見なせる。もしくは、F₂ における加法は、1 を真、0 を偽とした排他的論理和を意味していると見なすこともできる。この演算は、暗号理論、符号理論やニムの必勝法などに応用がある。

数学を離れた転用の例

日常的に使われる比喩として、「一足す一が二にならない」という表現で、机上の論理が必ずしも現実に役に立たないことや、理性より感情や直感を重んじるべき場面であることを表す。他に、理不尽である、神秘的である、といったニュアンスも持つ。また、「一足す一が三になる」（もしくは「三以上になる」）という表現で、相乗効果があることを意味する場合がある。他にも「単純」や「明解」であることを「一足す一が二になるように」という表現で使う。類例として、2 + 2 = 5がある。

脚注

1. ^ 『現代数学教育事典』参照。近年では「増加」ともいう。
2. ^ プリンキピア・マテマティカ、第2巻、*110.643 で、1+1=2 が証明された、と宣言されている。

参考文献

• 遠山啓編『現代数学教育事典』明治図書出版、1965年 ISBN 978-4-18-500114-4
• A. N. Whitehead, B. Russel; Principia Mathematica, 3 Vols, Cambridge University Press, 2nd ed, 1925 (Vol. 1), 1927 (Vols 2, 3)

1/1

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/30 18:35 UTC 版)

1/1 とは、

• 分数の一般的表記 n/m において、n = m = 1 の場合。値は整数 1 に等しい。
• 1月1日のこと。
• 書類などのページ表記において、全1ページ中の1ページ目、即ちこのページのみで完結していて後続のページが無いことを表す。
• 1/1スケールのこと。以下で記述する。

1/1スケール

1/1スケール（いちぶんのいちスケール）は、図面や模型などで用いられる縮尺の1つで、実物と同じ大きさで作成されていることを表す。実物大、原寸大、等身大などとも呼ばれる。

製品の形状や構造などを設計するための図面は通常取り扱いの容易な縮尺で作られるが、実際に製品を製造するためには1/1スケールの図面が作成されることも多い。これは、詳細な納まりなど、原寸大でなければ分かりづらいことがあるためで、かつては建物に使われる鉄骨のように長さ10mを超えるような大きなものまで1/1スケールの図面（原寸）が作図されていた。しかし、CADの普及によって実物大でのチェックがデータ上で行えるようになったため、実際に1/1スケールの図面が作図されることは少なくなっている。

1/1 ガンダム

図面と同様の理由で、製品を実際に作成する前に、1/1スケールの模型を作ることも多い。小さなものだけでなく、鉄道車両や航空機などについても、構造や性能の検証のために原寸大の模型を作ることがしばしば行われる。このような模型は、それが形状や構造を模したにすぎない時はモックアップ（木型）と呼ばれ、最低限の機能を有している時はプロトタイプと呼ばれる。モックアップに関しても、現在では3DCADのデータでその機能の一部を代替することが行われている。マネキン人形や店頭ディスプレイのような商業用の模型や、撮影用の小道具や商品サンプルのような実物の代用とする目的でも、実物大の模型が使われることは多い。

趣味としての模型は実物を縮小する場合が多いが、1/1スケールのものもある。銃器や刀剣のように実物の所有が容易でないものに関しては、実物大の模型（レプリカ）が所有の対象として作られており、プラモデルのような組立式の模型でも、昆虫や小鳥などの小動物や、銃器類などについては、実物大のものが作られている。人形も等身大のものが作られることがあるし、いわゆるフィギュア（アニメなどの登場人物の人形）でも究極のアイテムとして等身大のものが作られ、一部のマニアに珍重されている。また、アニメに登場する巨大人型兵器「ガンダム」の1/1スケール模型が作られ、イベントなどで展示されている。

丸数字

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/09/12 01:27 UTC 版)

この項目には、一部のコンピュータや閲覧ソフトで表示できない文字（丸数字）が含まれています（詳細）。

丸数字（まるすうじ）とは、数字を丸で囲っているもののことである。丸付き数字（まるつきすうじ）・丸囲み数字（まるかこみすうじ）とも呼ばれる。

数字を丸で囲むことによってほかの数字と区別する目的などで多く使用される。

手書きのころから、数字を丸で囲むことは頻繁に行われていた。

丸数字は古くから使われており、出版にも使われていたことから、印刷機では活字として早い時期から実装されていた。また官庁などの刊行物においては、頻繁に使用される。

日本の多くの地域において丸数字を読み上げるときは囲いの部分を先に読み、中の数字を後に読む。ただし山形県では中の数字を先に読み、囲いの部分を後に読む。①を例に挙げると前者は「まるいち」、後者は「いちまる」となる^[1]。

ウィキペディア日本語版においては、基本的には丸数字は使用せず、代わりに (1), (2), (3) などを使用することになっている。

詳細は「Wikipedia:表記ガイド#丸数字」を参照

用例

法律

国の法律・政令・府省令などや、自治体の条例・規則などでは、様式中で使う場合を除いて丸数字を使わないが、役所などに備え付けられている縦書・加除式の法令集・例規集では、項（各条の中で段落分けされた部分）の番号を丸数字で記載している場合がある。これは、ある時期以前に制定された古い法令・例規で、正式な条文には項番号が付されていないため、利用者の便利のために編集者が記載したものである。現在制定される法令・例規では正式な条文に算用数字で項番号を付している。

設問

設問において、選択肢の数字を丸で囲むことでその項目を選択したことを表す用法として使われる。

電算処理のためにマークシート用紙を使用する選択肢の場合は、逆に選択番号そのものを丸数字にして、マークシート用紙上の丸数字を塗りつぶす使用方法で使われる。

歯科医療

歯科医療においては歯の状態を示すために、丸数字や二重丸数字が使用される。

囲碁

囲碁において、紙面などで碁盤上の対局の局面を表す方法として使用される。白、黒の石ごとにそれぞれ黒、白で数字を記載する。

麻雀

麻雀の牌譜を文字で記録する場合、筒子を丸数字で表す場合がある。

競馬・競艇等

競馬や競艇、オートレースなどでは、馬番や選手番号などの競技対象を区別する番号を丸数字で表記する。スポーツ新聞などにおいて勝敗を予想するときに「本命」や「穴」などを示すために、白丸数字だけでなく、二重白丸数字や黒丸数字などが使用されることも多い。

スポーツ

• 多くのスポーツでは背番号を丸数字で表現することがある。
• ボウリングではスプリットの場合に丸数字で残っているピンを表示する。

コンピュータにおける丸数字

文字としての丸数字

JIS X 0208

• JIS X 0208（例えば文字コード規定例としてISO-2022-JP、EUC-JP）には丸数字が規定されていない。1978年の制定時には、0294の円を「合成用丸」としていたが、その後その記号を合成用文字として実装する環境がほとんど出てこなかったことからその後のJISの改訂において「大きな丸」という名称になり、合成用文字という用途からは外された。
• PC-9800シリーズでは、JIS X 0208内の数字では不足することから98文字（きゅーはちもじ）と呼ばれる外字をJIS X 0208に追加し、その中に丸数字が丸1（①）から丸20（⑳）まで含まれていた。
• Macintoshでは、漢字Talk 7.1で日本語TrueTypeフォントを標準添付した際、通商産業省の外郭団体「文字フォント開発普及センター」が策定した外字セット（「通産省外字」と俗称されている）を採用したため、丸1（①）から丸20（⑳）をPC-9800シリーズとは別のコード位置に追加し、また黒丸1（❶）から黒丸9（❾）までも追加し、MacJapaneseとした。PostScriptフォントでは、ほぼすべてのものが、以前からの互換性を保つため98文字をそのままのコード位置で実装し続けたため、丸数字を含む外字セットは2本立てとなった。
• Microsoft Windowsでは、PC-9800シリーズとの互換性を保つため98文字をそのままのコード位置で実装し、それをMicrosoftコードページ932（CP932）とした。
• 丸数字はJIS X 0208では規定されておらず、WindowsとMacintoshで実装されているものの、それぞれ別の符号位置であるため、コード名（CP932など）を正しく提示する場合を除けば、機種依存文字として情報交換で使用するには不適切であると見なされた。

JIS X 0213

• JIS X 0213においては、丸1（①）から丸50（㊿）、黒丸1（❶）から黒丸20（⓴）、二重丸1（⓵）から二重丸10（⓾）までが追加された。例えば文字コード規定例としてISO-2022-JP-2004では、丸1（①）から丸20（⑳）までのコード位置はPC-9800シリーズやWindowsなどにおける同じ位置としてある。
• Unicodeには、JIS X 0213で規定された記号が含まれている。ただし、JIS X 0213とUnicodeのいずれにおいても丸1から丸50までが連続したコード位置にあるわけではない。このほかにゴシック体の丸数字（🄋-➉）および黒丸数字（🄌-➓）が装飾文字として収録されているほか、丸0（⓪）・黒丸0（⓿）も収録されている。
• 丸数字はJIS X 0213ではJIS規格に含まれるようになったため、コード名（UTF-8など）を正しく提示する限りにおいて、機種依存文字などとして不適切視しない考え方も増えている。
• Adobe-Japan1-4では、丸51から丸100まで、さらに丸「00」から丸「09」まで、2桁の数字を丸の中に割り付けたグリフが定義されており、このグリフを持ったフォントであれば表示・印刷等の対応が可能であるものの、フォントによって実装の状況が異なるため、使用には注意を要する。

合成する使用方法

ワープロソフトなどの中には数字と丸を組み合わせる、「囲い文字」という機能が付いているものがある。

これは、丸などの中に数字などを入れて、囲い文字を作成する方法で、この方法によって丸数字を作成することもできる。

また、合成用の丸 (U+20DD) を数字の後につけることでの表現も可能。例えば丸で囲んだ「1」（①）は、U+0031, U+20DDのシーケンスで 「 1⃝ 」のように表せる^[2]。

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符号位置

丸数字

記号	Unicode	JIS X 0213	文字参照	名称
⓪	U+24EA	-	⓪ ⓪	丸0
①	U+2460	1-13-1	① ①	丸1
②	U+2461	1-13-2	② ②	丸2
③	U+2462	1-13-3	③ ③	丸3
④	U+2463	1-13-4	④ ④	丸4
⑤	U+2464	1-13-5	⑤ ⑤	丸5
⑥	U+2465	1-13-6	⑥ ⑥	丸6
⑦	U+2466	1-13-7	⑦ ⑦	丸7
⑧	U+2467	1-13-8	⑧ ⑧	丸8
⑨	U+2468	1-13-9	⑨ ⑨	丸9
⑩	U+2469	1-13-10	⑩ ⑩	丸10
⑪	U+246A	1-13-11	⑪ ⑪	丸11
⑫	U+246B	1-13-12	⑫ ⑫	丸12
⑬	U+246C	1-13-13	⑬ ⑬	丸13
⑭	U+246D	1-13-14	⑭ ⑭	丸14
⑮	U+246E	1-13-15	⑮ ⑮	丸15
⑯	U+246F	1-13-16	⑯ ⑯	丸16
⑰	U+2470	1-13-17	⑰ ⑰	丸17
⑱	U+2471	1-13-18	⑱ ⑱	丸18
⑲	U+2472	1-13-19	⑲ ⑲	丸19
⑳	U+2473	1-13-20	⑳ ⑳	丸20
㉑	U+3251	1-8-33	㉑ ㉑	丸21
㉒	U+3252	1-8-34	㉒ ㉒	丸22
㉓	U+3253	1-8-35	㉓ ㉓	丸23
㉔	U+3254	1-8-36	㉔ ㉔	丸24
㉕	U+3255	1-8-37	㉕ ㉕	丸25
㉖	U+3256	1-8-38	㉖ ㉖	丸26
㉗	U+3257	1-8-39	㉗ ㉗	丸27
㉘	U+3258	1-8-40	㉘ ㉘	丸28
㉙	U+3259	1-8-41	㉙ ㉙	丸29
㉚	U+325A	1-8-42	㉚ ㉚	丸30
㉛	U+325B	1-8-43	㉛ ㉛	丸31
㉜	U+325C	1-8-44	㉜ ㉜	丸32
㉝	U+325D	1-8-45	㉝ ㉝	丸33
㉞	U+325E	1-8-46	㉞ ㉞	丸34
㉟	U+325F	1-8-47	㉟ ㉟	丸35
㊱	U+32B1	1-8-48	㊱ ㊱	丸36
㊲	U+32B2	1-8-49	㊲ ㊲	丸37
㊳	U+32B3	1-8-50	㊳ ㊳	丸38
㊴	U+32B4	1-8-51	㊴ ㊴	丸39
㊵	U+32B5	1-8-52	㊵ ㊵	丸40
㊶	U+32B6	1-8-53	㊶ ㊶	丸41
㊷	U+32B7	1-8-54	㊷ ㊷	丸42
㊸	U+32B8	1-8-55	㊸ ㊸	丸43
㊹	U+32B9	1-8-56	㊹ ㊹	丸44
㊺	U+32BA	1-8-57	㊺ ㊺	丸45
㊻	U+32BB	1-8-58	㊻ ㊻	丸46
㊼	U+32BC	1-8-59	㊼ ㊼	丸47
㊽	U+32BD	1-8-60	㊽ ㊽	丸48
㊾	U+32BE	1-8-61	㊾ ㊾	丸49
㊿	U+32BF	1-8-62	㊿ ㊿	丸50
🄋	U+1F10B	-	🄋 🄋	DINGBAT CIRCLED SANS-SERIF DIGIT ZERO
➀	U+2780	-	➀ ➀	DINGBAT CIRCLED SANS-SERIF DIGIT ONE
➁	U+2781	-	➁ ➁	DINGBAT CIRCLED SANS-SERIF DIGIT TWO
➂	U+2782	-	➂ ➂	DINGBAT CIRCLED SANS-SERIF DIGIT THREE
➃	U+2783	-	➃ ➃	DINGBAT CIRCLED SANS-SERIF DIGIT FOUR
➄	U+2784	-	➄ ➄	DINGBAT CIRCLED SANS-SERIF DIGIT FIVE
➅	U+2785	-	➅ ➅	DINGBAT CIRCLED SANS-SERIF DIGIT SIX
➆	U+2786	-	➆ ➆	DINGBAT CIRCLED SANS-SERIF DIGIT SEVEN
➇	U+2787	-	➇ ➇	DINGBAT CIRCLED SANS-SERIF DIGIT EIGHT
➈	U+2788	-	➈ ➈	DINGBAT CIRCLED SANS-SERIF DIGIT NINE
➉	U+2789	-	➉ ➉	DINGBAT CIRCLED SANS-SERIF DIGIT TEN

黒丸数字

記号	Unicode	JIS X 0213	文字参照	名称
⓿	U+24FF	-	⓿ ⓿	黒丸0
❶	U+2776	1-12-1	❶ ❶	黒丸1
❷	U+2777	1-12-2	❷ ❷	黒丸2
❸	U+2778	1-12-3	❸ ❸	黒丸3
❹	U+2779	1-12-4	❹ ❹	黒丸4
❺	U+277A	1-12-5	❺ ❺	黒丸5
❻	U+277B	1-12-6	❻ ❻	黒丸6
❼	U+277C	1-12-7	❼ ❼	黒丸7
❽	U+277D	1-12-8	❽ ❽	黒丸8
❾	U+277E	1-12-9	❾ ❾	黒丸9
❿	U+277F	1-12-10	❿ ❿	黒丸10
⓫	U+24EB	1-12-11	⓫ ⓫	黒丸11
⓬	U+24EC	1-12-12	⓬ ⓬	黒丸12
⓭	U+24ED	1-12-13	⓭ ⓭	黒丸13
⓮	U+24EE	1-12-14	⓮ ⓮	黒丸14
⓯	U+24EF	1-12-15	⓯ ⓯	黒丸15
⓰	U+24F0	1-12-16	⓰ ⓰	黒丸16
⓱	U+24F1	1-12-17	⓱ ⓱	黒丸17
⓲	U+24F2	1-12-18	⓲ ⓲	黒丸18
⓳	U+24F3	1-12-19	⓳ ⓳	黒丸19
⓴	U+24F4	1-12-20	⓴ ⓴	黒丸20
🄌	U+1F10C	-	🄌 🄌	DINGBAT NEGATIVE CIRCLED SANS-SERIF DIGIT ZERO
➊	U+278A	-	➊ ➊	DINGBAT NEGATIVE CIRCLED SANS-SERIF DIGIT ONE
➋	U+278B	-	➋ ➋	DINGBAT NEGATIVE CIRCLED SANS-SERIF DIGIT TWO
➌	U+278C	-	➌ ➌	DINGBAT NEGATIVE CIRCLED SANS-SERIF DIGIT THREE
➍	U+278D	-	➍ ➍	DINGBAT NEGATIVE CIRCLED SANS-SERIF DIGIT FOUR
➎	U+278E	-	➎ ➎	DINGBAT NEGATIVE CIRCLED SANS-SERIF DIGIT FIVE
➏	U+278F	-	➏ ➏	DINGBAT NEGATIVE CIRCLED SANS-SERIF DIGIT SIX
➐	U+2790	-	➐ ➐	DINGBAT NEGATIVE CIRCLED SANS-SERIF DIGIT SEVEN
➑	U+2791	-	➑ ➑	DINGBAT NEGATIVE CIRCLED SANS-SERIF DIGIT EIGHT
➒	U+2792	-	➒ ➒	DINGBAT NEGATIVE CIRCLED SANS-SERIF DIGIT NINE
➓	U+2793	-	➓ ➓	DINGBAT NEGATIVE CIRCLED SANS-SERIF DIGIT TEN

二重丸数字

記号	Unicode	JIS X 0213	文字参照	名称
⓵	U+24F5	1-6-58	⓵ ⓵	二重丸1
⓶	U+24F6	1-6-59	⓶ ⓶	二重丸2
⓷	U+24F7	1-6-60	⓷ ⓷	二重丸3
⓸	U+24F8	1-6-61	⓸ ⓸	二重丸4
⓹	U+24F9	1-6-62	⓹ ⓹	二重丸5
⓺	U+24FA	1-6-63	⓺ ⓺	二重丸6
⓻	U+24FB	1-6-64	⓻ ⓻	二重丸7
⓼	U+24FC	1-6-65	⓼ ⓼	二重丸8
⓽	U+24FD	1-6-66	⓽ ⓽	二重丸9
⓾	U+24FE	1-6-67	⓾ ⓾	二重丸10

脚注

[脚注の使い方]

1. ^ 山形県民はなぜ（1）を「いちかっこ」と読むのか　専門家に見解を聞いた, Jタウンネット, 閲覧日:2021年12月04日
2. ^ OSやフォントによっては、2桁の数字が1つの合成用丸に収まるレンダリングになる場合がある（例: 「42⃝」、これはWindows XPのFirefoxにて「Cambria Math」のフォントを使用すると「㊷」のような表示となるが、本来は合成用丸が1文字に対応しているため「4②」と表示されるべきである）。

関連項目

• 囲み文字
• ARIB外字
• 機種依存文字

正の数と負の数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/02/01 01:43 UTC 版)

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数学における正の数（せいのすう、英: positive number, plus number, above number; 正数）は、0より大きい実数である。対照的に負の数（ふのすう、英: negative number, minus number, below number; 負数）は、0より小さい実数である。とくに初等数学・算術や初等数論などの文脈によっては、（暗黙の了解のもと）特に断りなく、より限定的な範囲の正の有理数や正の整数という意味で単に「正の数」と呼んでいる場合がある。負の数も同様である。

関数

符号関数

定義域が実数であり、正数に対して1を、負数に対して−1を、ゼロに対して0を返す関数 sgn(x) を定義できる。この関数は符号関数と呼ばれることがある

${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)=\left\{{\begin{matrix}-1&:x<0\\\;0&:x=0\\\;1&:x>0\end{matrix}}\right.}$

• 9 − 5 = 4

（9歳年下の人物と5歳年下の人物は、4歳離れている。）

• 7 − (−2) = 9

（7歳年下の人物と2歳年上の人物は、9歳離れている。）

• −4 + 12 = 8

（¥4の負債があって収益による¥12の資産を得たら、純資産は¥8である）（注:純資産＝資産総額－負債総額）

• 5 + (−3) = 5 − 3 = 2

（¥5の資産を持っていて¥3の負債ができたら、純資産は¥2である）

• –2 + (−5) = −2 − 5 = −7

（¥2の負債があってさらに¥5の負債ができたら、負債は合わせて¥7になる）

減算と負符号の概念の混乱を避けるため、負符号を上付きで書く場合もある（ただし、会計では負符号を△で表現する）。

⁻2 + ⁻5 = ⁻2 − 5 = ⁻7

△2 + △5 = △2 − 5 = △7

正数をより小さな正数から減ずると、結果は負となる。

4 − 6 = −2

（¥4を持っていて¥6を使ったら、負債¥2が残る）

正数を任意の負数から引くと、結果は負となる。

−3 − 6 = −9

（負債が¥3あってさらに¥6を使ったら、負債は¥9となる）

負数を減ずることは、対応する正数を加えることと等価である。

5 − (−2) = 5 + 2 = 7

（純資産¥5を持っていて負債を¥2減らしたら、新たな純資産は¥7となる）

別の例

−8 − (−3) = −5

（負債が¥8あって負債を¥3減らしたら、まだ¥5の負債が残る）

乗算

負数を掛けることは、正負の方向を逆転させることになる。負数に正数を掛けると、積は負数のままとなる。しかし、負数に負数を掛けると、積は正数となる^[1]。

(−20) × 3 = −60

（負債¥20を3倍にすれば、負債¥60になる。）

(−40) × (−2) = 80

（後方へ毎時40km進む車は、2時間前には現在地から前方へ80kmの位置にいた。）

これを理解する方法の1つは、正数による乗算を、加算の繰り返しと見なすことである。3 × 2 は各グループが2を含む3つのグループと考える。したがって、3 × 2 = 2 + 2 + 2 = 6 であり、当然 −2 × 3 = (−2) + (−2) + (−2) = −6 である。

負数による乗算も、加算の繰り返しと見なすことができる。例えば、3 × −2は各グループが−2を含む3つのグループと考えられる。

3 × −2 = (−2) + (−2) + (−2) = −6

これは乗算の交換法則を満たすことに注意

3 × −2 = −2 × 3 = −6

「負数による乗算」と同じ解釈を負数に対しても適用すれば、以下のようになる。

−4 × −3	=   − (−4) − (−4) − (−4)
	=  4 + 4 + 4
	=  12

しかし形式的な視点からは、2つの負数の乗算は、積の和に対する分配法則によって直接得られる。

−1 × −1	=  (−1) × (−1) + (−2) + 2
	=  (−1) × (−1) + (−1) × 2 + 2
	=  (−1) × (−1 + 2) + 2
	=  (−1) × 1 + 2
	=  (−1) + 2
	=  1

除算

除算も乗算と同じく、負数で割ることは、正負の方向を逆転させることになる。負数を正数で割ると、商は負数のままとなる。しかし、負数を負数で割ると、商は正数となる。

被除数と除数の符号が異なるなら、商は負数となる。

(−90) ÷ 3 = −30

（負債¥90を3人で分けると、負債¥30ずつ継承される。）

24 ÷ (−4) = −6

（東を正数、西を負数とする場合：4時間後に東へ24km地点に進む車は、1時間前には西へ6kmの位置にいる。）

両方の数が同じ符号を持つなら、商は（両方が負数であっても）正数となる。

(−12) ÷ (−3) = 4

累乗

累乗は乗算や除算と同じく、指数を正数にすると、「n乗」に倍増される。しかし、指数を負数にすると、「1 / n乗」に分割される。つまり、指数 n を正数にすると「n 回乗算を繰り返す」ことになるが、指数 n を負数にすると「n 回除算を繰り返す」ことになる。

3³ = 27

（×3 ×3 ×3 = 27）

3⁻³ = 1/27

（÷3 ÷3 ÷3 = 1/27）

360 × 2³ = 2880

（360 ×2 ×2 ×2 = 2880）

36 × 5⁻¹ = 7.2

（36 ÷5 = 7.2）

負の整数と負でない整数の形式的な構成

有理数の場合と同様、整数を自然数の順序対 (a, b) （これは整数 a − b を表していると考えることができる）を下に述べるようにして同一視したものとして定義することによって自然数の集合Nを整数の集合Zに拡張できる。これらの順序対に対する加法と乗法の拡張は以下の規則による。

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)

(a, b) × (c, d) = (a × c + b × d, a × d + b × c)

ここで以下の規則により、これらの順序対に同値関係 ~ を定義する。

(a, b) ~ (c, d) となるのは a + d = b + c なる場合、およびこの場合に限る

この同値関係は上記の加法と乗法の定義と矛盾せず、ZをN²の ~ による商集合として定義できる。すなわち2つの順序対 (a, b) と (c, d) が上記の意味で同値であるとき同一視する。

さらに以下の通り全順序をZに定義できる。

(a, b) ≤ (c, d) となるのは a + d ≤ b + c となる場合、およびこの場合に限る

これにより加法の零元が (a, a) の形式で、(a, b) の加法の逆元が (b, a) の形式で、乗法の単位元が (a + 1, a) の形式で導かれ、減法の定義が以下のように導かれる。

(a, b) − (c, d) = (a + d, b + c).

負の数の起源

長い間、問題に対する負の解は「誤り」であると考えられていた。これは、負数を実世界で見付けることができなかったためである（例えば、負数のリンゴを持つことはできない）。その抽象概念は早ければ紀元前100年 – 紀元前50年には認識されていた。中国の『九章算術』には図の面積を求める方法が含まれている。赤い算木で正の係数を、黒い算木で負の係数を示し、負の数がかかわる連立方程式を解くことができた。紀元後7世紀ごろに書かれた古代インドの『バクシャーリー写本』^[2]は"+"を負符号として使い、負の数による計算を行っていた。これらが現在知られている最古の負の数の使用である。

プトレマイオス朝エジプトではディオファントスが3世紀に『算術』で 4x + 20 = 0 （解は負となる）と等価な方程式に言及し、この方程式はばかげていると言っており、古代地中海世界に負数の概念がなかったことを示している。

7世紀の間に、負数はインドで負債を表すために使われていた。インドの数学者ブラーマグプタは『ブラーフマスプタ・シッダーンタ』（628年）において、今日も使われている一般化された形式の解の公式を作るために、負数を使うことについて論じている。彼は二次方程式の負の解を発見し、負数と零が関わる演算に関する規則も与えている。彼は正数を「財産」、零を「0 (cipher)」、負の数を「借金」と呼んだ^[3][4]。12世紀のインドで、バースカラ2世も二次方程式に負の根を与えていたが、問題の文脈では不適切なものとして負の根を拒絶している。

8世紀以降、イスラム世界はブラーマグプタの著書のアラビア語訳から負の数を学び、紀元1000年頃までには、アラブの数学者は負債に負の数を使うことを理解していた。

負の数の知識は、最終的にアラビア語とインド語の著書のラテン語訳を通してヨーロッパに到達した。

しかし、ヨーロッパの数学者はそのほとんどが、17世紀まで負数の概念に抵抗を見せた。ただしフィボナッチは、『算盤の書』（1202年）の第13章で負数を負債と解釈し、後には『精華』で損失と解釈して金融問題に負の解を認めた。同時に、中国人は右端のゼロでない桁に斜線を引くことによって負数を表した。ヨーロッパ人の著書で負数が使われたのは、15世紀中のシュケによるものが最初であった。彼は負数を指数として使ったが、「馬鹿げた数」であると呼んだ。

イギリスの数学者フランシス・マセレス[2]は1759年、負数は存在しないという結論に達した^[5]。

負数は現代まで十分に理解されていなかった。つい18世紀まで、スイスの数学者レオンハルト・オイラーは負数が無限大より大きいと信じており（この見解はジョン・ウォリスと共通である）、方程式が返すあらゆる負の解を意味がないものとして無視することが普通だった^[6]。負数が無限大より大きいという論拠は、${\displaystyle {\frac {1}{x}}}$

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