関数_(数学)

ウィキペディア

関数 (数学)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2026/03/19 20:10 UTC 版)

函数
x ↦ f (x)
始域と終域の例
X → B, B → X, Bn → B X → Z, Z → X X → R, R → X, Rn → X X → C, C → X, Cn → X
分類/性質
定数 · 恒等 · 線型 · 多項式 · 有理 · 代数的  · 解析的 · 滑らか · 連続 · 可測  · 単射的 · 全射的 · 双射的
構成
制限 · 合成 · λ式 · 逆
一般化
部分 · 多価 · 陰伏
表 話 編 歴

数学における関数（かんすう、英: function、仏: fonction、独: Funktion、 蘭: functie、羅: functio、函数とも書かれる）とは、かつてはある変数に依存して決まる値あるいはその対応を表す式のことであった。この言葉はゴットフリート・ライプニッツによって導入された。その後定義が一般化され、現代では数の集合に値をとる写像の一種であると理解されるものとなった。

概要

素朴な定式化

二つの変数 x と y があり、入力 x に対して、出力 y の値を決定する規則（x に特定の値を代入するごとに y の値が確定する）が与えられているとき、変数 y を「x を独立変数 (independent variable) とする関数」或いは簡単に「x の関数」という。対応規則を明示するときは、適当な文字列（特に何か理由がなければ、function の頭文字から f が選ばれることが多い）を使って y = f (x) と書いて、x = a を代入したときに決まる関数の値を f (a) と表す。しかしここで、定数関数の例に示されるように、個々の y の値について対応する x の値が一つに決まるとは限らない事に注意しなければならない。この f (x) という表記法は18世紀の数学者レオンハルト・オイラーによるものである。オイラーは、変数や定数を組み合わせてできた数式のことを関数と定義していたが、コーシーは、上に述べたように y という変数を関数と定義した。

y が x の関数であることの別の表現として、変数 y は変数 x に従属するとも言い、y を従属変数 (dependent variable) と言い表す。独立変数がとりうる値の全体（変域）を、この関数の定義域 (domain) という。

一方、現代的な解釈（写像としての関数）においては、関数が値を取りうる集合（変域）を終域 (codomain) と呼び、実際に変数がとる値の集合（定義域の像）である値域 (range; image) と区別することがある。

関数の終域は実数体 $\mathbb {R}$

入力 x に対して、「ブラックボックス f」が f (x) を出力する

なお、現代の初等教育の場においてはしばしば関数をブラックボックスのたとえで説明することがある。この説明では、「函」を「はこ」と読むことと関連付けて説明されることもある。ただし、「函数」の語の初出は1859年であり、1945年ごろに登場した「ブラックボックス」の概念とは、語源上の直接的な関係はない。

記法

函数を書き表すために標準的な方法がいくつかある。

一般的によく知られる記法は、函数名と引数を明示する式を用いて函数を定義する、いわゆる函数記法である。しかし函数記法では、「函数それ自身」と「函数の値」 の表記が混同されやすく、文脈によっては両者の区別が曖昧になる場合がある。

函数はイタリック体の文字一つで表すか（例えば f, g, h, ... ）、ローマン体の文字を複数用いて表す（例えば 三角関数: sin, 指数関数: exp, 対数: log, 対数積分: Li, li, 跡: tr, Sp など）。後者のローマン体は例えば函数名の省略形で函数を表記する際などに用いられる。 イタリック体でなくローマン体を函数に用いることで、通常イタリック体で表記される変数との混同を避けることができる。

函数記法

函数記法で $y=f(x)$

各年のアメリカにおける交通事故死者数を折れ線グラフで示した函数

同上（棒グラフ版）

与えられた函数 $f\colon X\to Y$

一次函数のグラフ

多項式函数（ここでは二次函数）のグラフ

二つの三角函数（正弦と余弦）のグラフ

実函数とは「実変数」「実数値」の函数、つまり実数全体の成す集合を終域とし実数からなる適当な区間を含む部分集合を定義域とする函数を言う。以下本節では、そのような函数を単に函数と呼ぶことにする。

数学及びその応用分野において最もよく扱われる函数はさらに適当な正則性条件（連続や微分可能関数あるいは解析関数など）が課せられる。このような正則性があることによって、函数はそのグラフを用いてよく視覚化することができる。以下、適当な区間上で微分可能であるような函数だけを扱う。

函数は点ごとの演算が備わっている。つまり、函数 f, g に対して、それらの和・差・積を $${\begin{aligned}(f+g)(x)&:=f(x)+g(x)\\(f-g)(x)&:=f(x)-g(x)\\(f\cdot g)(x)&:=f(x)\cdot g(x)\\\end{aligned}}$$

ウィキブックスに関数関連の解説書・教科書があります。

• 公田, 藏「近代日本における, 函数の概念とそれに関連したことがらの受容と普及」『数理解析研究所講究録』第1787巻、京都大学数理解析研究所、2012年4月、265–279。 
• Curvas数学関数のソフトウェア
• FooPlot（英語）
• Weisstein, Eric W. “Function”. mathworld.wolfram.com (英語).
• function - PlanetMath.（英語）
• Kudryavtsev, L.D. (2001) [1994], “Function”, Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• function in nLab
• Definition:Function at ProofWiki
• 『関数』 - コトバンク

Weblio日本語例文用例辞書

「関数 (数学)」の例文・使い方・用例・文例

• その際には、この関数を使用します
• 関数が条件が真の場合にゼロの値を返す
• 小文字のゼータは数学で関数を意味する。
• このシステムは波動関数で記述することができる。
• プサイ関数
• 上記の関数とともに公式を利用すること
• このドライバーの特性は車間距離と速度の関数で表される。
• 4つのレジスタは、呼び出された関数側が保存する。
• 多くの人間にとって三角関数を学ぶことは無意味であるように思える。
• あのー、先生？黒板に書いてあるの、指数関数じゃなくて三角関数ですけど・・・。
• 【数学】 逆関数.
• その関数は連続微分可能である
• 最適化問題では、我々は最適化されるだろう最適値の関数を導き出す変数の値を求める
• インフレーションは指数関数的に上昇している
• 対数関数的方法で
• 関数または曲線の
• 導関数を計算する
• 数量または関数の逆数の、あるいは、数量または関数の逆数に関する
• 関数の微分係数を求める数学法
• 最大の関数値を見つける数学的方法