集合とは? わかりやすく解説

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しゅう‐ごう〔シフガフ|シユウガフ〕【集合/×聚合】

読み方:しゅうごう

[名](スル)

1か所集まること。また、集めること。「駅前八時に―する」⇔解散

森羅万象を―して自在に己れ材料為し」〈鉄腸花間鶯

数学基本概念の一。物の集まりで、個々の物がその集まり中に属すかどうか、かつ、その集まりの中の二つの物が等しかどうか明確に判定できるものをいう個々の物を元(げん)または要素という。


集合

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2023/01/13 04:59 UTC 版)

集合(しゅうごう、: set, : ensemble, : Menge)とは数学における概念の1つで、大雑把に言えばいくつかの「もの」からなる「集まり」である。集合を構成する個々の「もの」のことを (げん、: element; 要素) という。


注釈

  1. ^ 定数や変数に対する慣例を踏襲して A, B, ... や X, Y, ... が使われるほか、英語の set, ドイツ語の Menge, フランス語の ensemble の頭文字 S, M, E やその周辺の文字がよく使われる。
  2. ^ ラテンアルファベット以外にもギリシャ文字を使うこともある。集合の集合を考えるときは、元である集合に大文字を使うことから、筆記体 ドイツ文字 で記したりする。このような入れ子構造は何重にも複雑な形で現われたり、同じものが違った見方をされたりするので、このような文字種の変更を行わないこともよくある。
  3. ^ xX の元であって」というような断り書きをしない場合にも、実際には「普遍集合」 (: universal set) あるいは「宇宙」 (: universe) と呼ばれる、必要な議論を展開することができる程度に十分大きな集合を考え、集合と言えば必ずその普遍集合の部分集合だけを考えているといったようなことがしばしば行われる。条件 P(x) の形から x の属するべき集合 X がある程度限定される場合にも、断り書きはしばしば省略される。
  4. ^ しばしば π-系と乗法族はこれと逆に扱われたり同義語の場合もある。例えば定義 1.3.6.[1]は乗法族 (multiplicative class) に交叉について閉じていることのみを課している。

出典

  1. ^ 集合・位相入門. 岩波書店. (1968年6月10日) 
  2. ^ 例えば定義 2.1.


「集合」の続きの解説一覧

集合

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/10/08 06:12 UTC 版)

記号の濫用」の記事における「集合」の解説

単元集合を * = {*} と表したり零ベクトル空間を 0 = {0} と表したりするが、これらは集合とその元が同じであるというわけではない

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集合

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2017/09/23 02:59 UTC 版)

引き戻し (圏論)」の記事における「集合」の解説

集合の圏において,f と g の引き戻しは集合 X × Z Y = { ( x , y ) ∈ X × Y ∣ f ( x ) = g ( y ) } {\displaystyle X\times _{Z}Y=\{(x,y)\in X\times Y\mid f(x)=g(y)\}} と射影 π1, π2 の X ×Z Y への制限の組である. あるいは,Set における引き戻し非対称的に X × Z Y ≅ ∐ x ∈ X g − 1 [ { f ( x ) } ] ≅ ∐ y ∈ Y f − 1 [ { g ( y ) } ] {\displaystyle X\times _{Z}Y\cong \coprod _{x\in X}g^{-1}[\{f(x)\}]\cong \coprod _{y\in Y}f^{-1}[\{g(y)\}]} と見ることもできる.ここで ∐ {\textstyle \coprod } は非交和を表す(現れる各集合は、それぞれ f または g が単射でない限り交わりを持つことに注意)。前者の式の場合、射影 π1 は x を添字として取り出すこと、それと同時に π2 は添字であることを忘れて単に Y の元とみるものになっている。 この例は引き戻し特徴づける別の方法動機付ける,すなわち射 f ∘ p1, g ∘ p2: X × Y → Z のイコライザである,ただし X × Y は X と Y の二項積で,p1p2自然な射影である.これは二項積イコライザを持つ任意の圏において引き戻し存在することを示す.実は,極限存在定理英語版)によって,終対象二項積イコライザを持つ圏において,すべての有限極限存在する

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集合

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/11/12 19:12 UTC 版)

凶器準備集合罪・凶器準備結集罪」の記事における「集合」の解説

「集合」とは、2人以上の者が時間・場所を同じくすることをいう。条文文言からは、凶器存在するところに人が集合する場合読めるが、判例・通説は、まず一定の所に集まりその場で凶器準備し、又は準備あること知った上で共同加害目的有したときも、集合にあたるとしている(最判昭和45年12月3日既出)。

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集合(アグリゲーション)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/11/21 09:43 UTC 版)

ムシブギョー」の記事における「集合(アグリゲーション)」の解説

自身の体の寄生虫を腕に集めて巨大な塊にし、相手殴りかかる。その大きさ活かして相手攻撃防御にも使える他、巨大化態で大阪城外壁吹き飛ばすほどの威力を持つ。

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集合(ラマイル)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/06/12 08:42 UTC 版)

まじもじるるも」の記事における「集合(ラマイル)」の解説

鳥葬のための集め際に用いられ魔法

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集合

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/08/14 07:32 UTC 版)

上位概念、下位概念、同位概念および同一概念」の記事における「集合」の解説

ある概念にあたるものの集合をAとすると、ある概念下位概念にあたるものの集合は、集合Aの真部分集合である。また、ある概念の上概念にあたるものの集合は、集合Aを包む集合である。

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集合

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/04/25 02:35 UTC 版)

ISO 80000-2」の記事における「集合」の解説

番号記号意味備考2-5.1 x ∈ A A属するx、xは集合Aの要素である A ∋ x は x ∈ A と同じ意味である。 2-5.2 x ∉ A A属さないx、xは集合Aの要素ではない A ∌ x は x ∉ A と同じ意味である。否定記号垂直に書いて良い。 2-5.3 {x1, x2, ..., xn} x1, x2, ..., xn要素とする集合 I が添字の集合を表すとき、 {xi ∣ i ∈ I } とも表記できる。 2-5.4 {x ∈ A ∣ p(x)} A の要素のうち、命題 p(x)真となるものからなる集合 例: {x ∈ ℝ ∣ x ≦ 5}文脈から集合Aが自明である場合は、{x ∣ p(x)} と表記することができる(例えば、上記の例でxが実数変数であることが自明な場合は、 {x ∣ x ≦ 5} となる)。 2-5.5 card A∣A∣ A の要素の数、A の濃度(cardinality) 2-5.6 ∅ 空集合 2-5.7 B ⊆ A B は A に含まれる、B は A の部分集合 全ての B の要素が A に属する。⊂ も使用されるが、2-5.8の備考参照のこと。A ⊇ B は B ⊆ A と同じ意味である。 2-5.8 B ⊂ A B は A に完全に含まれる、 B は A の真部分集合 全ての B の要素が A に属するが、少くとも1つの A の要素が B に属さない。⊂ を2-5.7の記号として使用した場合は、2-5.8には ⊊ を使用する。 2-5.9 A ∪ B A と B の和集合 A または B または A と B 両方属す要素の集合A ∪ B = { x ∣ x ∈ A ∨ x ∈ B } 2-5.10 A ∩ B A と B の共通部分 A と B 両方属す要素の集合A ∩ B = { x ∣ x ∈ A ∧ x ∈ B } 2-5.11 ⋃ i = 1 n A i {\displaystyle \bigcup _{i=1}^{n}A_{i}} A1, A2, ..., An の和集合 A1, A2, ..., Anの少くとも1つ属す要素の集合Iが添字の集合を示すとき、 ⋃ i = 1 n , ⋃ i ∈ I , ⋃ i ∈ I {\displaystyle \bigcup \nolimits _{i=1}^{n},\;\bigcup _{i\in I},\;\bigcup \nolimits _{i\in I}} とも表記できる。 2-5.12 ⋂ i = 1 n A i {\displaystyle \bigcap _{i=1}^{n}A_{i}} A1, A2, ..., An の共通部分 A1, A2, ..., Anの全てに属す要素の集合Iが添字の集合を示すとき、 ⋂ i = 1 n , ⋂ i ∈ I , ⋂ i ∈ I {\displaystyle \bigcap \nolimits _{i=1}^{n},\;\bigcap _{i\in I},\;\bigcap \nolimits _{i\in I}} とも表記できる。 2-5.13 A ∖ B A と B との違い、A 引く B A属するが B に属さない要素の集合A ∖ B = { x ∣ x ∈ A ∧ x ∉ B }A − B とも表記できる。∁AB使用される。 ∁AB は主に B が A の部分集合である場合使用され文脈から集合Aが自明である場合は、記号Aを省略することができる。 2-5.14 (a, b) a, bの、 a, b の対 )を区切り使用することができる。 2-5.15 (a1, a2, …, an) 順序n-タプル 2-5.14の備考参照。 2-5.16 A × B A と Bの直積集合 a ∈ A かつ b ∈ B である順序対 (a, b) の集合A × B = { (x, y) ∣ x ∈ A ∧ y ∈ B } 2-5.17 ∏ i = 1 n A i {\displaystyle \prod _{i=1}^{n}A_{i}} A1, A2, ..., An の直積集合 x1A1, x2A2, ..., xn ∈ An である n-タプル (x1, x2, ..., xn) の集合n が直積要素の数であるとき、A × A × ⋯ × A は An と表記できる。 2-5.18 idA A の恒等関係、Aの対角 idAは、x ∈ A である全ての順序対 (x, x) の集合文脈から集合Aが自明である場合は、記号Aを省略することができる。

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集合

出典:『Wiktionary』 (2021/10/22 23:24 UTC 版)

発音

名詞

しゅうごう

  1. 人や物が集まること。
  2. 集まって一体として取り扱われるもの。集合体
  3. 数学)ものの集まりで、各々のものがたがいに同一異なるか、かつ、各々のものがその集まりしているかどうかが、一意きまっているような集まり。集合に属す各々のものをまたは要素という。

関連語

派生語

集合住宅集合名詞羃集合解集合和集合共通集合余集合補集合開集合閉集合空集合直積集合積集合差集合全体集合部分集合真部分集合凸集合有限集合無限集合可算集合

翻訳

動詞

  1. 人や物が集まる一箇所に集める

活用

翻訳

感動詞

  1. 人を集める時のかけ声

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