部分集合とは? わかりやすく解説

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部分集合

読み方:ぶぶんしゅうごう

「部分集合」とは、1つ集合他の1つ集合重な部分を持つことを意味する表現である。

「部分集合」の基本的な意味

「部分集合」とは、数学用いられる概念1つ集合論使用されることが多い言葉だ。集合論用いられている記号は、同じ使用法論理学でも用いられている。「部分集合」は以下の例文のように表現することが可能だ。A⊆B(AはBに含まれる)。この場合Aの方集合構成する要素に当たる集合構成する要素のことは、元(げん)と呼ぶともできる。部分集合ではAとBとが完全に一致してもよい。もし不完全に一致している場合には、「部分集合」ではなく真部分集合呼ばれる。「部分集合」の個数求めたいときには重複順列使用する簡単に導き出せる。

「部分集合」の発音・読み方

「部分集合」の読み方は、ぶぶんしゅうごうである。「部分集合」を表現するときには、A⊆Bのようにかけばよい。A⊆Bは「AはBに含まれる」と同義である。

「部分集合」の語源・由来

「部分集合」は集合論の中で用いられ始めた用語である。つまり「部分集合」を一般に普及させたのは、集合論生み出した人間だと考えることができる集合論ロシア数学者ゲオルク・カントール作り出したとされている。ただ表記現在の形ではなかったと違ったようだ。最初に現在の形で著作まとめたのはドイツの数学者リヒャルト・デデキントである。デデキント1872年著作『数について』で、部分集合を表すのに⊂という記号用いたそれ以前には「><」のような不等号が「部分集合」を表す時に使用されていた。

「部分集合」に関連する用語の解説

ここでは「部分集合」に関連する用語いくつかを、解説していく。

空集合とは


空集合は、要素を1つ含まない集合のことを指す言葉だ。何も含むことのない集と言いかえることもできる集合呼ばれるものはすべて、空集合を部分集合として持っている数学の場用いるときは専用記号用いるが、「{}」のような中括弧代用可能だコンピューターなど文字使用限定されているときには、「ファイ」が用いられることもある。

真部分集合とは


真部分集合とは、1つ集合要素がすべてもう1つ集合中に入っており、その上で1つ集合別の要素含まれていることを指す。1つ集合に全く他の要素含まれていない場合には、真部分集合ではなく「部分集合」と言う

共通部分とは


共通部分を英語で表す時にはintersectionとするといい。その意味するところは、与えられた集合の中で全てに共通する要素を含みながらそれ以外要素をもたない集合のこととなる。共通部分は、共通集合交差交わり積集合・積と表現するともできる。ただ積集合表記する場合直積集合の意味用いられていることが多いので、注意が必要だ。

和集合とは


和集合とは、集合集まりに対してそれらの集合の中の少なくとも一部含まれている集合合わせたもののことである。別の言い方としては、合併集合合併・結びなどを挙げることができる。和集合を表す記号は「∪」で、A∪Bと表す。日本語にするときには、AまたはBという言葉当てるとよい。

「部分集合」の使い方・例文

「部分集合」は数学論理学で主に用いられる言葉である。専門的な用語ではあるが、汎用性もあるので日常会話用いられることも多い。実際に文章内で使用されるときには、「部分集合は集合論部門1つだ」・「私の全て音楽でできている、したがっ私は音楽の部分集合なのだ」のように用いるといい。

「部分集合」の英訳

「部分集合」は数学の用語である。数学国際的な学問であるから、英語に翻訳することが比較簡単だ。この言葉英訳する場合には、a subset用いるとよい。実際に文章の中で用いときには、「A is a subset of B(AはBの部分集合である)」のように用いることができる。

ぶぶん‐しゅうごう〔‐シフガフ〕【部分集合】

読み方:ぶぶんしゅうごう

集合A要素がすべて集合B要素になっているとき、ABの部分集合であるといい、ABと表す。

部分集合の画像

部分集合

集合Aの要素がすべて集合Bの要素になっているとき、AはBの部分集合という。

参考

部分集合

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2023/01/01 17:01 UTC 版)

部分集合(ぶぶんしゅうごう)とは数学における概念の1つ。集合Aが集合Bの部分集合であるとは、AがBの一部の要素だけからなることである。AがBの一部分であるという意味で部分集合という。二つの集合の一方が他方の部分集合であるとき、この二つの集合の間に包含関係があるという。


  1. ^ Devlin 1993, p. 3.
  2. ^ 英: contained
  3. ^ 英: included
  4. ^ 英: superset
  5. ^ 英: proper subset
  6. ^ 英: strict subset


「部分集合」の続きの解説一覧

部分集合

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2020/10/07 22:59 UTC 版)

集合間の関係を表す記号」の記事における「部分集合」の解説

⊆ ⊇ 部分集合の関係を表す場合には「⊆」あるいは「⊇」を用いる。日本の高校数学では「⊂」「⊃」を使うこととなっている。 Aの部分集合がBである場合 A ⊇ B あるいは B ⊆ A のようにあらわす。

※この「部分集合」の解説は、「集合間の関係を表す記号」の解説の一部です。
「部分集合」を含む「集合間の関係を表す記号」の記事については、「集合間の関係を表す記号」の概要を参照ください。


部分集合

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/08/14 07:54 UTC 版)

素朴集合論」の記事における「部分集合」の解説

2つ集合 A と B与えられたとき、A のすべての要素が B の要素でもある場合、A は B の部分集合である。特に、各集合 B はそれ自体の部分集合である。B と等しくない B の部分集合は、真部分集合と呼ぶ。 A が B の部分集合である場合、B は A の上集合(スーパーセット)である、A は B に含まれる、または B には A が含まれるとも言える記号上は、 A ⊆ B が A が B の部分集合であることを意味し、B ⊇ A は B が A の上集合であることを意味する。部分集合に記号 ⊂ と ⊃ を用い著者もいれば、これらの記号真部分集合にのみ用い著者もいる。わかりやすくするために、記号 ⊊ と ⊋ を明示的に用いて等しくないことを示すことができる。 例として、R を実数集合、 Z を整数の集合、O を奇数整数の集合、 P を現在または過去米国大統領集合とする。その場合、O は Z の部分集合であり、Z は R の部分集合であり、(したがって)O は R の部分集合であり、これらはいずれの場合も部分集合が真部分集合として解釈されうる。ただし、すべての集合このように比較できるわけではなく例えば、 R が P の部分集合であったり、P が R の部分集合であったりするわけではない2つ集合 A と B与えられたときに「A = B ならば、そしてその場合に限り A ⊆ BとB ⊆ A である」ということは前述の集合同一性の定義からすぐにわかる。実際、これがしばしば同一性の定義として与えられるまた、2つ集合等しいことを証明するとすれば普通は上記の2つ包含関係を示すことを目的としている。空集合すべての集合の部分集合である(空集合すべての要素任意の集合 A の要素でもあるという命題空虚な真(英語版)である)。 特定の集合 A のすべての部分集合の集合は、 A のべき集合呼ばれ2 A {\displaystyle 2^{A}} 、 P ( A ) {\displaystyle P(A)} 、あるいはスクリプトフォントを用いて P ( A ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(A)} のように表される集合 A に n 個の要素がある場合、 P ( A ) {\displaystyle P(A)} は 2 n {\displaystyle 2^{n}} 個の要素を持つ。

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部分集合

出典:『Wiktionary』 (2019/06/16 02:16 UTC 版)

名詞

部分集合ぶぶんしゅうごう

  1. 小さな集合全て要素大きな集合しているときの、大きな集合含まれている小さな集合。ただし特に断りがない限り、ある集合の部分集合とは、何も要素を持たない空集合とその集合自体も含む。集合 A = {1, 2, 3} の部分集合は、{}, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} の何れか考えられる

関連記号

  • ⊆, ⊇, ⊂, ⊃, ⊄, ⊅, ⊊, ⊋

対義語

派生語

関連語

翻訳


「部分集合」の例文・使い方・用例・文例

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