整数
英語：integer
整数とは
整数とは、1、2、3、4、という数の連なり（自然数）と、0（ゼロ）、および負数（-1、-2、-3、-4、）を総称した言い方である。おおざっぱな解釈としては「小数でも分数でもない数」のことである。整数は、英語では integer と表現する。整数と正数の違い
数学における「せいすう」 には、「整数」の他に「正数」と表記される用語もある。整数と正数の違いは、正数は0よりも大きい数を指し、小数なども含むが、0と負数は含まない。一方、整数は小数などを含まない代わりに負数と0を含む。整数と正数は、個別に対比することは容易だが、一言で端的に言い切ることは容易でない。
整数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/08/31 09:22 UTC 版)
数学における整数（せいすう、英: integer, whole number, 独: Ganze Zahl, 仏: nombre entier, 西: número entero）は、1 とそれに 1 ずつ加えて得られる自然数 (1, 2, 3, 4, …) 、これらに−1を乗じて得られる負数 (−1, −2, −3, −4, …) 、および 0 の総称である。
注釈
- ^ 接頭辞「有理（的）」(rational) はそもそも「整数比」であるという意味なので、この呼称は自己循環的にもみえる。しかし、有理整数と呼ぶ場合の「有理」は「有理数の中で」という程度の意味の単なる符牒であって、「整数比」という本来の意味合いに拘るのは徒労である。
- ^ 古典的な逆理として「−1 < 1 のとき、これらの二数の逆数は元とは大きさが逆になるが、−1 の逆数は −1 で 1 の逆数は 1 だから、従って −1 > 1 が成り立つ」というものがある。この逆理は「二つの数の逆数はもとの数とは大きさが逆になる」という文の不完全さによるもので、これは「同符号の二数の逆数はもとの数とは大きさが逆になる」と明確化されるべきである。
- ^ つまり、整数の構成に際して、自然数に 0 を含んでも含まなくてもどちらでも構わないことも注意する必要がある。
- ^ a b c かなり技巧的な作業のように見えるが、自然数を二つの自然数の差として (a, b) = a − b というつもりで書いてあるものとして読んで差し支えない。差が一定の自然数の組は無数にあるので、実際には [a, b] = a − b と考えるべきだが、そう考えることに整合性があることを確かめるのが、多少抽象的であるが、途中で同値関係で割ったり、同値類の間に演算を導入したりする部分である。
- ^ 0を自然数と認める場合、自然数 m に対して [m, 0] を対応させる写像が単射になる。
- [m, 0] + [n, 0] = [m + n, 0],
- [m, 0] × [n, 0] = [mn, 0]
- ^ 0を自然数と認める場合、m = [m, 0]と書く。
- ^ 0を自然数と認める場合、0でない自然数 m に対して [0, m] を対応させることで負の整数 −m が構成できる。このとき、
- [0, m] + [0, n] = [0, m + n],
- [0, m] × [0, n] = [mn, 0]
- ^ 0を自然数と認める場合、m + (−m) = [m, 0] + [0, m] = [m, m] = R となり、やはり負の整数 −m は N2/∼ において、正の整数 mの加法に関する逆元になっている
出典
- ^ 足立 (2013, pp. 18–19)
- ^ Earliest Uses of Symbols of Number Theory
- ^ エビングハウス他 (2004)
整数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/02/15 09:34 UTC 版)
「J (プログラミング言語)」の記事における「整数」の解説
整数の表記は基本的には他の言語と同じである、しかしJでは負の数はU+002D - '"`UNIQ--templatestyles-00000004-QINU`"'hyphen-minusではなくU+005F _ low lineを用いる。さらにU+002D - を単体で使用すると「無限」として処理される。 式評価後の値5 - 6 _1（−1） _1 * _（−1 × ∞） __（∞）
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整数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/03 09:53 UTC 版)
「MIPSアーキテクチャ」の記事における「整数」の解説
MIPSアーキテクチャは32本の整数レジスタを持つ。算術処理を行うにはデータがレジスタ上になければならない。レジスタ$0は常に0であり、レジスタ$1はアセンブラが一時的に使用する（擬似命令や大きな定数を扱う場合）。 エンコーディングは命令語の各ビットが命令のどの部分と対応しているかを示している。ハイフン (-) はそのビットが無視されることを意味する。 種類名称構文意味形式/オペコード/機能コード注記/エンコーディング算術 Add add $d,$s,$t $d = $s + $t R 0 2016 2つのレジスタを加算。オーバーフロー時にはトラップ発生000000ss sssttttt ddddd--- --100000 Add unsigned addu $d,$s,$t $d = $s + $t R 0 2116 上と同様だが、オーバフローを無視000000ss sssttttt ddddd--- --100001 Subtract sub $d,$s,$t $d = $s - $t R 0 2216 2つのレジスタで減算。オーバーフロー時にはトラップ発生000000ss sssttttt ddddd--- --100010 Subtract unsigned subu $d,$s,$t $d = $s - $t R 0 2316 上と同様だが、オーバーフローを無視000000ss sssttttt ddddd000 00100011 Add immediate addi $t,$s,C $t = $s + C (signed) I 816 - 符号拡張した即値とレジスタを加算。addi $1, $2, 0 のようにレジスタ間転送にも使える。オーバフロー時にはトラップ発生001000ss sssttttt CCCCCCCC CCCCCCCC Add immediate unsigned addiu $t,$s,C $t = $s + C (signed) I 916 - 上と同様だが、オーバフローを無視（即値は符号拡張される）001001ss sssttttt CCCCCCCC CCCCCCCC Multiply mult $s,$t LO = (($s * $t) << 32)>> 32; HI = ($s * $t) >> 32; R 0 1816 2つのレジスタで乗算。64ビットの積は専用レジスタ HI と LO に格納。(int HI,int LO) = (64-bit) $s * $t と表すこともできる。HIとLOには mfhi および mflo でアクセスする。 Divide div $s, $t LO = $s / $t HI = $s % $t R 0 1A16 2つのレジスタで除算。32ビットの商をLO、余りをHIに格納。 Divide unsigned divu $s, $t LO = $s / $t HI = $s % $t R 0 1B16 2つのレジスタの内容を符号なし整数と解釈して除算。商はLO、余りはHIに格納。 データ転送 Load double word ld $t,C($s) $t = Memory[$s + C] I 2316 - $s+C というアドレスから8バイトの連続する位置にあるデータをロードし、$tとその次のレジスタに格納する。 Load word lw $t,C($s) $t = Memory[$s + C] I 2316 - $s+C というアドレスから4バイトの連続する位置にあるデータをロードする。 Load halfword lh $t,C($s) $t = Memory[$s + C] (signed) I 2116 - $s+C というアドレスから2バイトの連続する位置にあるデータをロードし、符号拡張してレジスタに格納 Load halfword unsigned lhu $t,C($s) $t = Memory[$s + C] (unsigned) I 2516 - 上と同様だが、符号拡張しない。 Load byte lb $t,C($s) $t = Memory[$s + C] (signed) I 2016 - $s+C というアドレスの1バイトのデータをロードし、符号拡張する。 Load byte unsigned lbu $t,C($s) $t = Memory[$s + C] (unsigned) I 2416 - 上と同様だが、符号拡張しない。 Store double word sd $t,C($s) Memory[$s + C] = $t I - $t とその次のレジスタの内容を $s+C という位置から8バイト連続でストアする。オペランドの順序に注意が必要。 Store word sw $t,C($s) Memory[$s + C] = $t I 2B16 - $s+C という位置から4バイト連続でストアする。 Store half sh $t,C($s) Memory[$s + C] = $t I 2916 - レジスタの下位16ビットを $s+C という位置から2バイト連続でストアする。 Store byte sb $t,C($s) Memory[$s + C] = $t I 2816 - レジスタの下位8ビットを $s+C という位置にストアする。 Load upper immediate lui $t,C $t = C << 16 I F16 - 16ビットの即値をレジスタの上位16ビットにロードする。ロードできる最大値は216-1。 Move from high mfhi $d $d = HI R 0 1016 HIレジスタの値を汎用レジスタに転送。この命令から2命令以内に multiply または divide 命令を使ってはならない（その場合の動作は未定義） Move from low mflo $d $d = LO R 0 1216 LOレジスタの値を汎用レジスタに転送。この命令から2命令以内に multiply または divide 命令を使ってはならない（その場合の動作は未定義） Move from Control Register mfcZ $t, $s $t = Coprocessor[Z].ControlRegister[$s] R 0 コプロセッサZのコントロールレジスタの内容を汎用レジスタに転送。符号拡張する。 Move to Control Register mtcZ $t, $s Coprocessor[Z].ControlRegister[$s] = $t R 0 汎用レジスタの4バイトの内容をコプロセッサZのコントロールレジスタに転送。符号拡張する。 論理 And and $d,$s,$t $d = $s & $t R 0 2416 ビット毎のAND000000ss sssttttt ddddd--- --100100 And immediate andi $t,$s,C $t = $s & C I C16 - 即値とのビット毎のAND001100ss sssttttt CCCCCCCC CCCCCCCC Or or $d,$s,$t $d = $s | $t R 0 2516 ビット毎のOR Or immediate ori $t,$s,C $t = $s | C I D16 - 符号拡張した即値とのビット毎のOR Exclusive or xor $d,$s,$t $d = $s ^ $t R 0 2616 ビット毎のXOR Nor nor $d,$s,$t $d = ~ ($s | $t) R 0 2716 ビット毎のNOR Set on less than slt $d,$s,$t $d = ($s < $t) R 0 2A16 $sと$tの値を符号付き整数として比較し、$s が小さければ $d に1を、そうでなければ0を格納 Set on less than immediate slti $t,$s,C $t = ($s < C) I A16 - 符号拡張した即値と$sの値を比較し、$sが小さければ $d に1を、そうでなければ0を格納。 シフト Shift left logical sll $d,$t,C $d = $t << C R 0 0 $sの内容をCビット左にシフト。 2 C O N S T {\displaystyle 2^{CONST}} をかけるのと同等 Shift right logical srl $d,$t,C $d = $t>> C R 0 216 $sの内容をCビットだけ右にシフト。シフトされて空いた上位ビットには0を格納。正の整数を 2 C {\displaystyle 2^{C}} で割ったのと同等。 Shift right arithmetic sra $d,$t,C $ d = $ t >> C + ( ( ∑ n = 1 CONST 2 31 − n ) ⋅ $ 2 >> 31 ) {\displaystyle \scriptstyle \$d=\$t>>C+\left(\left(\sum _{n=1}^{\text{CONST}}2^{31-n}\right)\cdot \$2>>31\right)} R 0 316 $sの内容をCビットだけ右にシフト。シフトされた空いた上位ビットは元の値を符号付整数と解釈して符号拡張する。2の補数で表された符号付整数を 2 C {\displaystyle 2^{C}} で割ったのと同等。 条件分岐 Branch on equal beq $s,$t,C if ($s == $t) go to PC+4+4*C I 416 - 2つのレジスタの値が等しい場合、指定されたアドレスに分岐000100ss sssttttt CCCCCCCC CCCCCCCC Branch on not equal bne $s,$t,C if ($s != $t) go to PC+4+4*C I 516 - 2つのレジスタの値が等しくない場合、指定されたアドレスに分岐 無条件ジャンプ Jump j C PC = PC+4[31:28] . C*4 J 216 - 指定されたアドレスに無条件ジャンプ Jump register jr $s goto address $s R 0 816 指定したレジスタが示すアドレスに無条件ジャンプ Jump and link jal C $31 = PC + 8; PC = PC+4[31:28] . C*4 J 316 - プロシージャコール用。$31にリターンアドレスを格納してジャンプする。プロシージャからの復帰は jr $31 とする。リターンアドレスが PC+8 なのは、遅延スロットがあるため。 注: MIPSのアセンブリ言語のコード上、分岐命令での分岐先アドレスはラベルで表現される。 注: "load lower immediate" 命令は存在しない。これは addi 命令や ori 命令でレジスタ $0 を使うことで実現される。例えば、addi $1, $0, 100 も ori $1, $0, 100 もレジスタ$1に100という値が格納される。 注: 即値を減算するには、その値の否定を即値として加算すればよい。
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整数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/01 12:16 UTC 版)
数列 二十進記数法は、二十を底とする位取り記数法である。二十進法の位取りでは、通常では 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, G, H, I, J の計二十個の数字を用い、十から十九までを A から J までに充てて、二十を 10 、二十一を 11 と表記する。なお、B と 8 、I と 1 が紛らわしいことを理由に、B や I を飛ばして、十一を C と表記したり、十八を J や K と表記したりする例もある。 数字の意味する数は、左に一桁ずれると 20倍になり、右に一桁ずれると 1/20 になる。例えば、(14)20 という表記において、左の「1」は二十を表し、右の「4」は四を表し、合わせて「二十四」を意味する。桁の表示は、整数第二位は「二十の位」、整数第三位は「四百の位」となる。 本節では慣用に従い、通常のアラビア数字は十進数とし、二十進記数法の表記は括弧および下付の 20 で表す。必要に応じて、十進記数法の表記を括弧および下付の 10 で表す。二十進記数法で表された数を二十進数と呼ぶ。 数列の進み方六進法0 1 2 3 4 5 10 11 12 13 14 15 20 21 22 23 24 25 30 31 32 十進法0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 十二進法0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 10 11 12 13 14 15 16 17 18 二十進法0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G H I J 10 六進法1432 1433 1434 1435 1440 1441 1442 1443 1444 1445 1450 1451 1452 十進法380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 十二進法278 279 27A 27B 280 281 282 283 284 285 286 287 288 二十進法J0 J1 J2 J3 J4 J5 J6 J7 J8 J9 JA JB JC 六進法1453 1454 1455 1500 1501 1502 1503 1504 1505 1510 1511 1512 1513 十進法393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 十二進法289 28A 28B 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 二十進法JD JE JF JG JH JI JJ 100 101 102 103 104 105 二十進法は「4×5＝10」となるので、数列は、4の倍数や5の倍数が進みやすいという傾向を持つ。従って、4で割り切れる十二進法（4×3＝10）や、5で割り切れる十進法（2×5＝10）との親和性が見られる。素因数は十進法と同じく2と5であるが、「4×奇数」で桁上がりする構造は十二進法と同じである。 また、7以降の素数は、一の位が 1, 3, 7, 9, B, D, H, J の八つの中のいずれか、即ち 5 と F を除く奇数になる。例えば： 十進法の23 → 二十進法では13 十進法の31 → 二十進法では1B 十進法の53 → 二十進法では2D 十進法の97 → 二十進法では4H 十進法の139 → 二十進法では6J となる。 整数 二十進表記の整数は： (17)20 = 27 (1×201 + 7) (20)20 = 40 (2×201) (2H)20 = 57 (2×201 + 17) (3C)20 = 72 (3×201 + 12) (4F)20 = 95 (4×201 + 15) (74)20 = 144 (7×201 + 4) (88)20 = 168 (8×201 + 8) (DA)20 = 270 (13×201 + 10) (100)20 = 400 (1×202) (22F)20 = 855 (2×202 + 2×201 + 15) (34F)20 = 1295 (3×202 + 4×201 + 15) (468)20 = 1728 (4×202 + 6×201 + 8) (4J9)20 = 1989 (4×202 + 19×201 + 9) (50G)20 = 2016 (5×202 + 0×201 + 16) (D2A)20 = 5250 (13×202 + 2×201 + 10) (1000)20 = 8000 (1×203) (2340)20 = 17280 (2×203 + 3×202 + 4×201) (2BGG)20 = 20736 (2×203 + 11×202 + 16×201 + 16) (4GHA)20 = 38750 (4×203 + 16×202 + 17×201 + 10) (EBD7)20 = 116667 (14×203 + 11×202 + 13×201 + 7) (10000)20 = 160000 (1×204) を、それぞれ意味する。 整数の四則演算 様々なN進法における整数の四則演算は、二十進法では以下のようになる。 六進法→二十進法 六進法の 5555 + 1 = 10000 → 二十進法では 34F + 1 = 34G （十進法では 1295 + 1 = 1296） 六進法の 13000 - 112 = 12444 → 二十進法では 4H4 - 24 = 4F0 （十進法では 1944 - 44 = 1900） 六進法の 430 × 23 = 15130 → 二十進法では 82 × F = 61A （十進法では 162 × 15 = 2430） 六進法の 24000 ÷ 3 = 5200 → 二十進法では 8CG ÷ 3 = 2HC （十進法では 3456 ÷ 3 = 1152） 十進法→二十進法 十進法の 95 + 15 = 110 → 二十進法では 4F + F = 5A 十進法の 2016 - 27 = 1989 → 二十進法では 50G - 17 = 4J9 十進法の 72 × 28 = 2016 → 二十進法では 3C × 18 = 50G 十進法の 1728 × 10 = 17280 → 二十進法では 468 × A = 2340 十進法の 400 ÷ 4 = 100 → 二十進法では 100 ÷ 4 = 50 十進法の 2016 ÷ 12 = 168 → 二十進法では 50G ÷ C = 88 十二進法→二十進法 十二進法の 103 = 1000 → 二十進法では C3 = 468 十二進法の 49 + 9 = 56 → 二十進法では 2H + 9 = 36 （十進法では 57 + 9 = 66） 十二進法の 1200 + 70 = 1270 → 二十進法では 50G + 44 = 550 （十進法では 2016 + 84 = 2100） 十二進法の 10000 - 100 = BB00 → 二十進法では 2BGG - 74 = 2B9C （十進法では 20736 - 144 = 20592） 十二進法の 1140 × 9 = A000 → 二十進法では 4G0 × 9 = 2340 （十進法では 1920 × 9 = 17280） 十二進法の 3056 ÷ 19 = 18A → 二十進法では D2A ÷ 11 = CA （十進法では 5250 ÷ 21 = 250） 二十進法と十進法が決定的に異なる点は、「10÷4 = 5」「5の3倍がF」「十進法の110が5A」という点である。二十進法では百は「50」と表記され、十二進法で「30」と表記される三十六と同等の扱いになる。二十進法での「4F＋F = 5A」の構図も、十二進法での「49＋9 = 56」と同じ構図になる。 数字の使用例 マヤ文明では、二十進法の数詞に合わせて二十進記数法が用いられていた。マヤの数詞は五進法を補助的に含んでおり、数字にもそれが反映されている。貝殻で零、点で一、横棒で五を表し、二十に至ると桁を繰り上げる。桁は、大きい方が上で、小さい方が下となる。例えば、二十は貝殻の上に点一個で表記され、七十二は上に「三」(点三個)と下に「十二」(横棒二個の上に点二個)で表記され、二千十六は上段が「五」(横棒一個)と中段が「零」(貝殻)と下段が「十六」(横棒三個の上に点一個)で構成され、八千百六は最上段が「一」(点一個)、上から二段目が「零」(貝殻)、上から三段目が「五」(横棒一個)、最下段が「六」(横棒一個の上に点一個)で表記される。 この外には、イヌイット数字（en:Kaktovik Inupiaq numerals）も二十進法を用いており、結び目模様が「零」、縦楔が「一」、横楔が「五」を表しており、一桁は二段構成となる。この表記法では、＼が「一」、Ｖが「二」、Ｗが「四」、＞が「十」、"＞"と"Ｖ"で「十二」となり、二十は「上段が"＼"で下段が"結び目模様"」として表記される。二十以後も、二階が「"＞"と"Ｖ"」で一階が「Ｗ」であれば二百四十四｛(C4)20＝(244)10｝を意味する。
※この「整数」の解説は、「二十進法」の解説の一部です。
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整数
出典:『Wiktionary』 (2021/11/30 19:57 UTC 版)
名詞
発音(?)
翻訳
- アイスランド語: heiltölur (is)
- アラビア語: عَدَد صَحِيح (ar) 男性
- アルメニア語: ամբողջ թիվ (hy)
- イタリア語: intero (it) 男性, numero intero (it) 男性
- イド語: integro (io)
- インドネシア語: bilangan bulat (id)
- 英語: integer (en)
- エストニア語: täisarv (et)
- エスペラント: entjero (eo)
- オランダ語: geheel getal (nl) 中性
- カタルーニャ語: enter (ca)
- ギリシア語: ακέραιος αριθμός (el) 男性 (akéraios arithmós), ακέραιος (el) 男性
- シチリア語: nùmmuru rilativu (scn)
- ジャワ語: cacah wutuh (jv)
- スウェーデン語: heltal (sv) 中性
- スペイン語: entero (es)
- スロヴェニア語: celo število (sl)
- スンダ語: ᮝᮤᮜᮍᮔ᮪ ᮘᮥᮜᮩᮓ᮪ (su)
- セルビア・クロアチア語: cijeli broj (sh) 男性
- タガログ語: buumbilang (tl)
- タジク語: адади саҳеҳ (tg) (adad-i saheh)
- チェコ語: celé číslo (cs) 中性
- 中国語:
- 朝鮮語: 정수 (ko)
- デンマーク語: heltal (da) 中性, helt tal (da) 中性
- ドイツ語: ganze Zahl (de) 女性, Ganzzahl (de)
- トルコ語: tam sayı (tr), adedimürettep (tr)
- ノルウェー語:
- ノルウェー語（ニーノシュク）: heiltal (nn) 中性
- ノルウェー語（ブークモール）: heltall (nb) 中性
- ハンガリー語: egész szám (hu)
- フィンランド語: kokonaisluku (fi)
- フランス語: entier (fr) 男性, nombre entier (fr) 男性
- ブルガリア語: цяло число (bg) (cjálo čisló) 中性
- ベトナム語: số nguyên (vi)
- ヘブライ語: שלם (he) 男性, מספר שלם (he) 男性
- ペルシア語: عدد صحیح (fa) (adad-e sahih)
- ポーランド語: liczba całkowita (pl) 女性
- ポルトガル語: inteiro (pt) 男性
- マオリ語: tau tōpū (mi), tauoti (mi)
- マケドニア語: цел број (mk) (cel brój) 男性
- ルーマニア語: întreg (ro) 男性, număr întreg (ro) 中性
- ロシア語: це́лое число́ (ru) 中性, це́лое (ru) 中性
関連語
「整数」の例文・使い方・用例・文例
- 整数
- 整数論
- それが整数たし算筆算の作成エンジンを搭載しています
- すべての分数の無限集合はすべての整数の無限集合に対応させることができる.
- 整数に関して
- 1から25までの整数をどれかを思い浮かべてください
- １０，１００、１０００の最も近い整数で表現される
- 整数の、または、整数で示される
- 整数の商として表現されることができる
- 事実であるが、2つの整数の比率として表現できない
- 他の整数に因数分解できない整数の、他の整数に因数分解できない整数に関する、または、他の整数に因数分解できない整数である
- 内容が通常の状態（通常、連続的な整数を示している状態）を通過するレジスタ
- 与えられた整数以下のすべての整数と与えられた整数の積
- 整数による数の積
- 変数が逐次的により大きな整数の累乗を持つ項の合計
- 対数の表現の（正または負の）整数部分
- タンジェントが左側の負数から右側の整数に変わるカーブの点
- 整数論を専門としている数学者
- 整数論を確立したフランスの数学者
- イオンに対する電荷は、1から15まで整数で乗じられる一定電荷eと等しい
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- 整数のページへのリンク
