剰余類環

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剰余類環

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/08/02 08:55 UTC 版)

この項目では、自然数を法とする合同関係に関する整数の剰余類の成す代数系について説明しています。環をイデアルで割って得られる一般の剰余類環については「剰余環」をご覧ください。

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数学において、自然数 n を法とする合同類環（ごうどうるいかん）あるいは剰余（類）環（じょうよ[るい]かん、英: residue [class] ring modulo n, 独: Restklassenring modulo n）は、整数を n で割った「剰余」を抽象的な類別として捉えたものである。

本項は剰余類環 Z/nZ の代数的な定義と性質について述べる。合同類別に関するより平易な導入については整数の合同を参照のこと。

定義

n ≥ 2 を自然数とする。n で割った剰余が等しい整数をすべて集めたものを、「n を法とする」合同類あるいは剰余類と呼ぶ。したがって、ふたつの整数が同じ剰余類に属するのは、それらの差が n で整除されるときであり、かつそのときに限る。n を法とする剰余類の全体は、以下に述べる加法と乗法に関して n を法とする合同類環あるいは剰余類環と呼ばれる環を成す。剰余類環はしばしば Z/nZ, Z/n, Z_n などで表される。

剰余類に対する加法および乗法は、代表元 (representive, Vertreter) とも呼ばれる、各剰余類に属する任意の元（これは通常の整数）に対して整数としての加法および乗法を行い、その結果として得られる和および積の属する剰余類を対応させるものである。これは a の属する剰余類を [a] と表せば

$[a]+[b]:=[a+b],\quad [a]\times [b]:=[a\times b]$

12 を法として計算される時計の針

合同類における算術の一つの例をアナログ時計の文字盤を使って図示することができる。時計の文字盤には「時間」に応じて 1 から 12 までの番号が振られていて「12時」は「0時」と同一であり、「0時」から始めて「1時間」加えるごとに順番に、12の数字のそれぞれを辿ることができる。

「時間」を足し算するには、加えられるほうの時間を起点にして、加えたい時間ぶんだけ時計を進めればよい。たとえば 4 + 5 がいくつになるのか知りたければ、「4時」のところを起点にして「5時間」後にいる場所が「9時」のところなので 4 + 5 = 9 という具合である。これで 9 + 5 がいくつになるか計算してみよう。同様に「9時」のところを基点に、針を「5時間」進めると「2時」のところにいるはずである。つまり、この系のなかでは 9 + 5 = 2 ということになる。さて、どうしてこうなるのか少し考えてみよう。単純に 5 と 9 とを足し合わせると 14 となるのだが、時計の盤面では「14時」は「2時」と一致するから、ここでは 14 = 2 であったわけで、ここでの加法はふつうの和を計算してから12を引けるだけ引いたものということになる。これは 12 を法とする剰余類に相当し、このタイプの足し算は「12 を法とする加法（modulo 12 の加法）」と呼ばれる。このとき、12 を加えることは、どの「時間」x についても 12 + x = x となるから、何の変化ももたらさない。これで「12時」の数字が「0時」のところに配置される理由を説明できる。

乗法は加法から得られる。例えば、3 × 4 を計算したければ、これを 3 + 3 + 3 + 3 という和の形に書き直して、12 を引けばよい。4 × 4 なら「16時」は modulo 12 で「4時」なので 4 × 4 = 4 となる。

そういうわけで、「時間」にこのような加法や乗法を考えたものとして剰余類環 (Z/12Z, +, ×) を表すことができる。

本節で 12 としていたところを、任意の自然数 n に置き換えても同じことができる。たとえば Z/4Z = {0, 1, 2, 3} においては 1 = 1, 2 = 1 + 1, 3 = 1 + 1 + 1, 0 = 1 + 1 + 1 + 1 である。

2 を法とする剰余類環

整数を 2 で割った剰余は 0 か 1 となるから、Z/2Z = {0, 1} であり、これはすべての剰余類環のなかで位数最小のものである。また、2 は素数なのでこれは位数最小の有限体 F₂ とも一致する。

3 を法とする剰余類環

法 3 に関する剰余類は

• ${\mathbf {0} }:=[0]=\{\ldots ,-6,-3;0,3,6,9,12,\ldots \}$: 3 で割り切れるもの
• ${\mathbf {1} }:=[1]=\{\ldots ,-5,-2;1,4,7,10,13,\ldots \}$: 3 で割って 1 余るもの
• ${\mathbf {2} }:=[2]=\{\ldots ,-4,-1;2,5,8,11,14,\ldots \}$: 3 で割って 2 余るもの

の三種類である。ここでたとえば、1 + 2 を計算したいときは、4 ∈ 1 および 8 ∈ 2 で 4 + 8 = 12 ∈ 0 だから 1 + 2 = 3 とすればよい。このようにして Z/3Z = {0, 1, 2} における演算表

加法 + 0 1 2 0 0 1 2 1 1 2 0 2 2 0 1

乗法 × 0 1 2 0 0 0 0 1 0 1 2 2 0 2 1

が得られる。(Z/3Z, +, ×) は環であり、この場合さらに体となり、F₃ で表される（英語で体を意味する "field" に由来）。

4 を法とする剰余類環

もうひとつ、法 4 に関する剰余類を考えよう。Z/4Z = {0, 1, 2, 3} は

• ${\mathbf {0} }=\{\ldots ,-4;0,4,8,12,16,\ldots \}$
• ${\mathbf {1} }=\{\ldots ,-3;1,5,9,13,17,\ldots \}$
• ${\mathbf {2} }=\{\ldots ,-2;2,6,10,14,18,\ldots \}$
• ${\mathbf {3} }=\{\ldots ,-1;3,7,11,15,19,\ldots \}$

で与えられる。この剰余類の乗法では 2 × 2 = 0 となり、2 は零因子である。したがって、Z/4Z ∖ {0} は乗法について閉じていない。このことから、代数系 (Z/4Z, +, ×) は（4 を法とする剰余類環として）可換環を成すのみで、零因子が乗法逆元を持たないため体にはならない（位数 4 の有限体 F₄ は存在するにもかかわらず、である）。

計算機

コンピュータなど計算機において多用される固定長の整数型の演算は、剰余類環における演算である。たとえば16ビットの場合 2¹⁶ = 65536 であるから（しばしば short integer として扱われる）16ビット整数の全体は剰余類環 Z/65536Z を成す。たとえば、足し算 65535 + 1 の結果として計算機は 0 を返し、32768×2 も同様に 0 になる（以上は符号無し（unsigned）の場合）。

一般化

剰余類の概念は整数環ではないほかの環に対しても考えることができる。イデアルの概念を定義して、イデアルを法とする剰余類を構成すれば、それらの全体は再び環を成し、環のイデアルによる剰余（類）環あるいは商環と呼ばれる。

脚注

1. ^ あるいは Z/nZ と書く代わりに Z/(n) と書くこともある。これは一般に、環 R の元 a が生成する R の単項両側イデアルはしばしば (a) で表され、それにしたがえば Z のイデアルとして nZ = (n) となることによる。