一般の定義とは何？わかりやすく解説 Weblio辞書

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一般の定義

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/16 06:30 UTC 版)

「戦略」の記事における「一般の定義」の解説

戦略の一般的な定義については未だ研究が途上である。ハーバード大学のトーマス・シェリング教授は、戦略を勢力の適用ではなく潜在的な勢力の発掘であるとし、取引のプロセスというモデルでこれを説明した。またロジンスキー教授は戦略を「力の総合的な制御」と定義し、戦術はその直接的な運用であると論じた。つまり戦略とは「あらゆる行動の総合的な調整と最適選択」であると考えた。ただし近年では企業経営やスポーツにまで軍事用語の戦略の概念が応用されているために新しく定義され、「長期的・大局的な観点から物事を見通して行動を調整する技術」として再認識されるようになっている。

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一般の定義

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/12 06:50 UTC 版)

「小行列式」の記事における「一般の定義」の解説

m × n 行列 A に対して、正の整数 k が k ≤ m, n を満たすとき、k次小行列式 (minor determinant of order k)とは、A の m個の行から選んだ k個の行に属し、n個の列から選んだ k個の列にも属する成分からなる k次小正方行列の行列式のことである。このことは、A から m − k個の行と n − k 個の列を除いて得られる k次小正方行列の行列式ということもできる。 m × n行列の小行列（式）の作られ方は、全部で ( m k ) ⋅ ( n k ) {\displaystyle \textstyle {m \choose k}\cdot {n \choose k}} 個ある。零次の小行列式 (Minor of order zero) はしばしば 1 と定義される（空積も参照のこと）。対照的に、正方行列に対する第零小行列式 (zeroth minor) とは、単にその行列の行列式のことを言う。元々の A の行・列を具体的に指定して表記するには、1 ≤ i1 < i2 < … < ik ≤ m, 1 ≤ j1 < j2 < … < jk ≤ n に対して、それらをそれぞれ I, J と呼ぶことにすると、これらの添え字から得られる小行列式 det ( ( A i p , j q ) p , q = 1 , ⋯ , k ) {\displaystyle \det((A_{i_{p},j_{q}})_{p,q=1,\cdots ,k})} は det I , J A , [ A ] I , J {\displaystyle {\det }_{I,J}A,\ [A]_{I,J}} などと書かれる（(i) は添え字の列 I を表す）。注意しないといけないのは、文献・著者によって全く逆の2種類の意味を指すことがあることである。著者によっては、I, J のどちらにも属している成分から作られる行列の行列式を意味し、著者によっては、I, J に対応する行・列を除いて得られる行列の行列式を意味する。この記事では前者（I の行と J の列から元を選ぶ）の方の定義を用いる。例外的な場合は (i, j)小行列式の場合である；この場合、取り除く方の表記 M i , j = det ( ( A p , q ) p ≠ i , q ≠ j ) {\displaystyle M_{i,j}=\det((A_{p,q})_{p\neq i,q\neq j})} がどの文献でも標準的であり、この記事においても用いる。

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一般の定義

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/03 15:11 UTC 版)

「射影極限」の記事における「一般の定義」の解説

逆極限は、任意の圏において普遍性を用いて抽象的に定義することができる。(Xi, fij) を圏 C の対象と射からなる逆系（逆系の意味は前節と同じ）とすると、この逆系の逆極限（射影極限）とは、C の適当な対象 X と射影と総称される射の族 πi: X → Xi で πi = fij ∘ πj を任意の i ≤ j に対して満たすものとの対 (X, πi) であって、次のような意味で普遍性を満足するものをいう。すなわち、同様の対 (Y, ψi) があれば必ず適当な射 u: Y → X が存在して図式は全ての i ≤ j に対して可換になる。逆系 (Xi, fij) が既知であるとき、その逆極限 X をしばしば X = lim ← ⁡ X i {\displaystyle X=\varprojlim X_{i}} で表す。前節の場合と異なり、任意の圏においては逆極限が存在しないことが起こりうるが、しかし存在する場合は強い意味で一意である。すなわち、逆極限 X とは別の逆極限 X′ が任意に与えられたとき、全ての射影に対して可換となる射 X′ → X が一意的に存在する。圏 C における逆系は、函手の言葉で記述することもできる。任意の半順序集合 I は「i → j ⇔ i ≤ j」によって射の集合を定めた小さい圏と見なすことができるから、逆系とは反変函手 I → C に他ならない。そして、逆極限函手 lim ← : C I o p → C {\displaystyle \varprojlim \colon C^{I^{op}}\to C} は共変函手となる。

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一般の定義

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/04/05 11:07 UTC 版)

「次数付きベクトル空間」の記事における「一般の定義」の解説

次数付きベクトル空間の各斉次成分は、自然数の集合 ℕ に限らず、任意の添字集合 I で添字付けることができる。すなわち、I-次数付き線型空間 V は集合 I の各元 i で添字付けられた部分線型空間の直和 V = ⨁ i ∈ I V i {\displaystyle V=\bigoplus _{i\in I}V_{i}} に書けるベクトル空間を言う。特に、添字集合 I が整数の剰余類環 Z/2Z の場合は物理学において重要で、Z/2Z-次数付き線型空間は超ベクトル空間（英語版）とも呼ばれる。

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一般の定義

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/06 05:07 UTC 版)

「楕円型作用素」の記事における「一般の定義」の解説

D {\displaystyle D} を、任意の階数のベクトル束の間の（非線型であることもある）微分作用素とする。一次形式 ξ {\displaystyle \xi } に関するその主表彰 σ ξ ( D ) {\displaystyle \sigma _{\xi }(D)} を取る（基本的に、今行っていることは最高次の共変微分 ∇ {\displaystyle \nabla } をベクトル場 ξ {\displaystyle \xi } で置き換える作業である）。 D {\displaystyle D} が弱楕円型（weakly elliptic）であるとは、すべてのゼロでない ξ {\displaystyle \xi } に対して σ ξ ( D ) {\displaystyle \sigma _{\xi }(D)} が線型の同型写像であることを言う。 D {\displaystyle D} が（一様）強楕円型（strongly elliptic）であるとは、ある定数 c > 0 {\displaystyle c>0} が存在して ( [ σ ξ ( D ) ] ( v ) , v ) ≥ c ‖ v ‖ 2 {\displaystyle ([\sigma _{\xi }(D)](v),v)\geq c\|v\|^{2}} がすべての ‖ ξ ‖ = 1 {\displaystyle \|\xi \|=1} と v {\displaystyle v} に対して成り立つことを言う。本記事の前部での楕円性の定義は「強楕円性」であることに注意するのは重要である。ここに ( ⋅ , ⋅ ) {\displaystyle (\cdot ,\cdot )} は内積である。 ξ {\displaystyle \xi } はコベクトル場あるいは一次形式であるが、 v {\displaystyle v} は D {\displaystyle D} が作用するベクトル束の成分であることに注意されたい。強楕円型作用素の典型的な例は、ラプラシアン（あるいはその -1 倍。これは慣習によって異なる）である。 D {\displaystyle D} は強楕円性のためには偶数次である必要があり、オプションですらある必要があることは容易に分かる。そうでない場合は、 ξ {\displaystyle \xi } とその -1 倍を同時に考慮すればよい。一方、ディラック作用素（英語版）のような一階の弱楕円型作用素が、ラプラシアンのような強楕円型作用素となるためには、自乗をすればよい。弱楕円型作用素の合成は、弱楕円型である。弱楕円性はフレドホルムの交代定理やシャウダー評価（英語版）、アティヤ＝シンガーの指数定理に対しては十分強いものである。一方、最大値原理に対しては強楕円性が必要となり、その固有値が離散的であるためには、極限点が ∞ のみである必要がある。