共変微分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/12/06 23:54 UTC 版)
共変微分とは微分幾何学の接続概念の別名、ないし接続から定まる概念であるので、接続の記事を参照されたい。
- 接続の一般論に関しては接続 (微分幾何学)を参照
- ファイバーバンドルの接続に関しては接続 (ファイバー束)を参照
- 主バンドルの接続に関しては接続 (微分幾何学)#主接続の節（概要説明）、接続 (ファイバー束)#主接続の節（詳細説明）を参照
- ベクトルバンドルの接続に関しては接続 (ベクトル束)を参照
- 接バンドルの接続に関してはアフィン接続を参照
- リーマン多様体の接続に関してはレヴィ・チヴィタ接続を参照
- 一般相対性理論等で用いる擬リーマン多様体上の共変微分に関してはレヴィ・チヴィタ接続#擬リーマン多様体のレヴィ-チヴィタ接続を参照
共変微分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/02/01 20:52 UTC 版)
ヤン＝ミルズ理論において、ラグランジアンに含まれる場の微分 ∂ μ ϕ i ( x ) {\displaystyle \partial _{\mu }\phi _{i}(x)} は共変微分 D μ ϕ i ( x ) ≡ ∂ μ ϕ i ( x ) − i g A μ a ( x ) T i j a ϕ j ( x ) {\displaystyle {\mathcal {D}}_{\mu }\phi _{i}(x)\equiv \partial _{\mu }\phi _{i}(x)-igA_{\mu }^{a}(x)T_{ij}^{a}\phi _{j}(x)} へと置き換えられる。ここで A μ a ( x ) {\displaystyle A_{\mu }^{a}(x)} はゲージ場である。ゲージ場はゲージ変換の下でパラメータの一次で δ ξ A μ a ( x ) = g f a b c ξ c ( x ) A μ b ( x ) + ∂ μ ξ a ( x ) = D μ ξ a ( x ) {\displaystyle \delta _{\xi }A_{\mu }^{a}(x)=gf^{abc}\xi ^{c}(x)A_{\mu }^{b}(x)+\partial _{\mu }\xi ^{a}(x)={\mathcal {D}}_{\mu }\xi ^{a}(x)} と変換される。従って共変微分は δ ξ D μ ϕ i ( x ) = i g ξ a ( x ) T i j a D μ ϕ j ( x ) {\displaystyle \delta _{\xi }{\mathcal {D}}_{\mu }\phi _{i}(x)=ig\xi ^{a}(x)T_{ij}^{a}{\mathcal {D}}_{\mu }\phi _{j}(x)} と変換し、場と同じ変換性をもつ。これにより、様々な場からゲージ対称性を満足する項を作る事が出来る。種々の場はゲージ場と共変微分を通してのみ相互作用をする。相互作用の形はゲージ変換の下での変換性で決まり、このような相互作用の形は最小結合（minimal coupling）の理論と呼ばれる。
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