測地座標系の原点において共変微分は通常の微分と一致する
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/22 02:12 UTC 版)
「クリストッフェル記号」の記事における「測地座標系の原点において共変微分は通常の微分と一致する」の解説
一階共変テンソルを wi とするとき、その共変微分は ∇ j w i = ∂ w i ∂ x j − { a j i } w a {\displaystyle \nabla _{j}w_{i}={\frac {\partial w_{i}}{\partial x^{j}}}-\left\{{{a} \atop {j\;i}}\right\}w_{a}} で定義される。座標系 (xh) を測地座標系 (uh) へ座標変換すると、その原点において { i h l ¯ } 0 = 0 {\displaystyle \left\{{\overline {{i} \atop {h\;l}}}\right\}_{0}=0} となる。 したがって、wi の共変微分は ui = 0 において、 ( ∇ j w i ) 0 = ( ∂ w i ∂ u j ) 0 {\displaystyle \left(\nabla _{j}w_{i}\right)_{0}=\left({\frac {\partial w_{i}}{\partial u^{j}}}\right)_{0}} と、共変微分と通常の微分が一致する。
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