測地座標系のある一点においてクリストッフェル記号は 0
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/22 02:12 UTC 版)
「クリストッフェル記号」の記事における「測地座標系のある一点においてクリストッフェル記号は 0」の解説
曲面上のすべての点でクリストッフェル記号が 0 となるような座標系が存在するならば、その曲面は伸縮することなく平面上に展開可能なものだけであり、それ以外の場合には、曲面上のすべての点で { i j k } = 0 {\displaystyle \left\{{{i} \atop {j\;k}}\right\}=0} となるような座標系は一般に存在しない。ただし、曲面上のある特定の一点 xi0 でならば { i j k } 0 = 0 {\displaystyle \left\{{{i} \atop {j\;k}}\right\}_{0}=0} となるような座標系をとることができる。 ここで、 x i − x 0 i = u i − 1 2 { i j k } 0 u j u k {\displaystyle x^{i}-x_{0}^{i}=u^{i}-{\frac {1}{2}}\left\{{{i} \atop {j\;k}}\right\}_{0}u^{j}u^{k}} ただし、 u 0 i = 0 {\displaystyle u_{0}^{i}=0} なる座標変換を行う。このとき、uh で偏微分を行うと ∂ x i ∂ u h = δ h i − 1 2 ( ∂ { i j k } 0 ∂ u h u j u k + { i j k } 0 δ h j u k + { i j k } 0 u j δ h k ) = δ h i − 1 2 ∂ { i j k } 0 ∂ u h u j u k − { i h k } 0 u k {\displaystyle {\frac {\partial x^{i}}{\partial u^{h}}}=\delta _{h}^{i}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial \left\{{{i} \atop {j\;k}}\right\}_{0}}{\partial u^{h}}}u^{j}u^{k}+\left\{{{i} \atop {j\;k}}\right\}_{0}\delta _{h}^{j}u^{k}+\left\{{{i} \atop {j\;k}}\right\}_{0}u^{j}\delta _{h}^{k}\right)=\delta _{h}^{i}-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial \left\{{{i} \atop {j\;k}}\right\}_{0}}{\partial u^{h}}}u^{j}u^{k}-\left\{{{i} \atop {h\;k}}\right\}_{0}u^{k}} となり、さらに ul で偏微分を行うと ∂ 2 x i ∂ u l ∂ u h = − 1 2 ( ∂ 2 { i j k } 0 ∂ u l ∂ u h u j u k + ∂ { i j k } 0 ∂ u h δ l j u k + ∂ { i j k } 0 ∂ u h u j δ l k ) − ∂ { i h k } 0 ∂ u l u k − { i h k } 0 δ l k {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}x^{i}}{\partial u^{l}\partial u^{h}}}=-{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial ^{2}\left\{{{i} \atop {j\;k}}\right\}_{0}}{\partial u^{l}\partial u^{h}}}u^{j}u^{k}+{\frac {\partial \left\{{{i} \atop {j\;k}}\right\}_{0}}{\partial u^{h}}}\delta _{l}^{j}u^{k}+{\frac {\partial \left\{{{i} \atop {j\;k}}\right\}_{0}}{\partial u^{h}}}u^{j}\delta _{l}^{k}\right)-{\frac {\partial \left\{{{i} \atop {h\;k}}\right\}_{0}}{\partial u^{l}}}u^{k}-\left\{{{i} \atop {h\;k}}\right\}_{0}\delta _{l}^{k}} となる。したがって、xi = xi0 のとき ui = 0 であることから、 ( ∂ x i ∂ u h ) 0 = δ h i , ( ∂ 2 x i ∂ u l ∂ u h ) 0 = − { i h l } 0 {\displaystyle \left({\frac {\partial x^{i}}{\partial u^{h}}}\right)_{0}=\delta _{h}^{i},\;\;\;\left({\frac {\partial ^{2}x^{i}}{\partial u^{l}\partial u^{h}}}\right)_{0}=-\left\{{{i} \atop {hl}}\right\}_{0}} を得る。よって、ある一点 xi0 におけるクリストッフェル記号の変数変換式が ( ∂ x i ∂ u k ) 0 { k h l ¯ } 0 = ( ∂ x j ∂ u h ) 0 ( ∂ x k ∂ u l ) 0 { i j k } 0 + ( ∂ 2 x i ∂ u h ∂ u l ) 0 = δ h j δ l k { i j k } 0 − { i h l } 0 = 0 {\displaystyle \left({\frac {\partial x^{i}}{\partial u^{k}}}\right)_{0}\left\{{\overline {{k} \atop {h\;l}}}\right\}_{0}=\left({\frac {\partial x^{j}}{\partial u^{h}}}\right)_{0}\left({\frac {\partial x^{k}}{\partial u^{l}}}\right)_{0}\left\{{{i} \atop {j\;k}}\right\}_{0}+\left({\frac {\partial ^{2}x^{i}}{\partial u^{h}\partial u^{l}}}\right)_{0}=\delta _{h}^{j}\delta _{l}^{k}\left\{{{i} \atop {j\;k}}\right\}_{0}-\left\{{{i} \atop {h\;l}}\right\}_{0}=0} であることから、 δ k i { k h l ¯ } 0 = { i h l ¯ } 0 = 0 {\displaystyle \delta _{k}^{i}\left\{{\overline {{k} \atop {h\;l}}}\right\}_{0}=\left\{{\overline {{i} \atop {h\;l}}}\right\}_{0}=0} すなわち、クリストッフェル記号はある一点 xi0 においては全て０となることが導かれる。 このような座標系を、点 u0 = 0 を原点とする測地座標系（geodetic coordinate system）と呼ぶ。なお、測地座標の原点においては、テンソルの共変微分と通常の微分が一致する。
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