測地線
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/02/08 07:58 UTC 版)
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微分幾何学において測地線（そくちせん、英: geodesic）とは、曲面（より一般的にはリーマン多様体）上の曲線であって、その上の十分近い2つの離れた点が最短線で結ばれた曲線を言う。ユークリッド空間における直線の概念を、曲がった空間において一般化したものである。「測地線」という用語は、地球の大きさと形状を測定する学問である測地学に由来する。本来の意味では、測地線は地表の2点間の最短ルートであり、球体形状の地球の場合、大円の一部となる。測地線の中でその長さが最小のものは最短測地線という。
リーマン空間において、ある曲線が曲面上の測地線となるための必要十分条件は、曲線の主法線と曲面の接平面の法線とが曲線に沿って常に一致することである[1]。
この概念は、数学的な空間にも拡張され[注釈 1]、例えばグラフ理論ではグラフ上の2つの頂点 (vertex) や結節点 (node) 間の測地線が定義されている。一般相対性理論では、光は曲がった空間での測地線を進むという原理に基づいて構築されている。
概要
1697年、ヨハン・ベルヌーイは、曲面上の２点をその曲面上で結び、その長さを最小にする問題を考え、このような長さの最も短い曲線を、この曲面上の測地線（geodesic）と呼んだ[2]。そして、測地線上の点での接平面の法線がその点で曲面に垂直であることを発見した。1698年、ヤコブ・ベルヌーイは円筒、円錐、回転面上の測地線を求めた。1728年、レオンハルト・オイラーは自身の開発した変分法を用いて、曲面上の測地線が満たす微分方程式を導出した。
典型的な測地線は、測地学の対象でもある地球上の2点を結ぶ最短曲線である。地球を単純に球面であるとする。例えば、東京とニューヨークの間を最短距離で移動するためには、東京とニューヨークを通る大円に沿った移動を行えばよく、この大円の一部こそ、測地線と呼ばれるものになる[注釈 2]。
2点間の最短距離を示す曲線は測地線となるので、2点を結ぶ測地線の中で最短のものが2点の最短距離を示すと考えてよい。その意味で、測地線というのは、2点間の最短距離を測るための曲線の候補の集まりであるともいえる。ちなみに、2点を北極と南極のような対極の位置に取れば、この2点を結ぶ最短測地線は無数にあることにも注意されたい。
球面では測地線は閉曲線となるが、回転楕円体面上など一般には測地線は閉曲線とならない。
測地線の方程式
計量テンソル 
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測地線
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/08/09 19:35 UTC 版)
ある因果集合内のリンク (link) とは、 x ≺ y {\displaystyle x\prec y} となる一対の要素 x , y ∈ C {\displaystyle x,y\in C\,\!} で、 x ≺ z ≺ y {\displaystyle x\prec z\prec y} となる z ∈ C {\displaystyle z\in C\,\!} は持たない。 チェーン (chain) とは、 i = 0 , … , n − 1 {\displaystyle i=0,\ldots ,n-1} について x i ≺ x i + 1 {\displaystyle x_{i}\prec x_{i+1}} となる要素の列 x 0 , x 1 , … , x n {\displaystyle x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}} である。チェーンの長さ n {\displaystyle n} は使われた関係の数である。 これは二つの因果集合要素の間の測地線を定義するために用いることができる。二つの要素 x , y ∈ C {\displaystyle x,y\in C} 間の測地線は次の条件を持つリンクのみで構成されたチェーンである： x 0 = x {\displaystyle x_{0}=x\,\!} および x n = y {\displaystyle x_{n}=y\,\!} チェーンの長さ n {\displaystyle n} は x {\displaystyle x\,} から y {\displaystyle y\,} へのチェーン全体にわたる最大. 一般的には、二つの要素の間に一つ以上の測地線が存在する。 Myrheimは、そのような測地線の長さは二つの時空点を結ぶある時間的測地線に沿った固有時に直接比例するべきであることを最初に示唆した。平坦な時空にまき散らされて生成された因果集合を用いて、この予想の検証がなされている。この比例関係が成立することは示され続けてきており、曲がった時空にまき散らされた因果集合でも同様に成り立つことが予想されている。
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