微分幾何学
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/05/23 13:28 UTC 版)
数学における微分幾何学（びぶんきかがく、ドイツ語: Differentialgeometrie、英語：differential geometry）とは微分を用いた幾何学の研究である。また、可微分多様体上の微分可能な関数を取り扱う数学の分野は微分位相幾何学（びぶんいそうきかがく、ドイツ語: Differentialtopologie、英語: differential topology）とよばれることがある。微分方程式の研究から自然に発生したこれらの分野は互いに密接に関連しており、特に一般相対性理論をはじめとして物理学に多くの応用がある。これらは可微分多様体についての幾何学を構成しているが、力学系の視点からも直接に研究される。
- 1 微分幾何学とは
- 2 微分幾何学の概要
- 3 微分幾何学の道具立て
- 4 関連項目
微分幾何学
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/09/06 10:18 UTC 版)
外積代数の主要な応用の一つは微分幾何学にありそこではそれが滑らかな多様体上の微分形式のファイバー束を定義するために使われる。（擬）リーマン多様体の場合には、接空間は計量によって誘導される自然な二次形式を持つ。したがって、外束（英語版）とのアナロジーでクリフォード束（英語版）を定義できる。これはリーマン幾何学においてたくさんの重要な応用を持つ。おそらくより重要なのはスピン多様体、その付随するスピノル束（英語版）そして spinc 多様体へのつながりであろう。
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微分幾何学
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/08/15 15:33 UTC 版)
「アステロイド (曲線)」の記事における「微分幾何学」の解説
半径 a の円内をその1/4の半径を持つ円が滑ることなく転がるとき、内円の円周上の任意の一点の軌跡はアステロイド x 2 / 3 + y 2 / 3 = a 2 / 3 {\displaystyle x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}} を描く。標準アステロイドは、 x = 3 cos ( θ ) + cos ( 3 θ ) , y = 3 sin ( θ ) − sin ( 3 θ ) {\displaystyle x=3\cos(\theta )+\cos(3\theta ),\quad y=3\sin(\theta )-\sin(3\theta )} と書くこともできるが、これは半径比が n + 1 : 1 の内擺線（の n = 3 の場合）としての表示である。 x-軸および y-軸に片方ずつの端点が載っているような長さ一定の線分族は全て一つのアステロイドに接する。したがってそのような線分族の包絡線はアステロイドを描く。 アステロイドの縮閉線はアステロイド（を2倍にして、45度回転させたもの）である。
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微分幾何学
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/04/26 07:46 UTC 版)
詳細は「微分幾何学」を参照 位置ベクトルフィールドは、連続した微分可能な空間曲線を記述するために使用される。この場合、独立パラメータは時間でなくても、曲線の円弧長などでもかまわない。
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微分幾何学
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/22 00:46 UTC 版)
詳細は「接空間」を参照 曲面のある点における接平面は、自然に接点を原点と同一視したベクトル空間になる。接平面は接点における曲面の最適線型近似あるいは線型化である。三次元ユークリッド空間の場合でさえ、接平面の基底を指定する自然な方法は点綴的には存在せず、またそれゆえに接平面は、実数ベクトル空間というよりはむしろ抽象ベクトル空間として考えられる。接空間はより高次元の可微分多様体への一般化である。 リーマン多様体はその接空間が適当な内積を備えた多様体である。そこから得られるリーマン曲率テンソルは、それ一つでその多様体の全ての曲率を表すことができるもので、一般相対論では例えば時空の質量とエネルギー定数を記述するアインシュタイン曲率テンソルなどに応用がある。リー群の接空間は自然にリー環の構造を持ち、コンパクトリー群の分類に用いることができる。
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微分幾何学
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/08/21 04:20 UTC 版)
「セール・スワンの定理」の記事における「微分幾何学」の解説
M をコンパクトで滑らかな多様体とし、V を M 上の滑らかなベクトル束とする。V の滑らかな断面の空間はすると C∞(M) （M 上の滑らかな実数値関数の可換代数）上の加群である。スワンの定理はこの加群が C∞(M) 上有限生成かつ射影であると述べている。言い換えると、すべてのベクトル束はある n に対して自明束 M × Cn の直和である。定理は自明束 M × Cn から V の上への束全射を構成することによって証明できる。このことは例えば、各点 p に対して {si(p)} が p 上のファイバーを張るという性質をもった断面を示すことによってできる。 逆もまた正しい： C∞(M) 上のすべての有限生成射影加群は M 上のある滑らかなベクトル束からこのように生じる。そのような加群は M 上のある n に対して n × n 冪等行列に値を取る滑らかな関数 f と見ることができる。すると x 上の対応するベクトル束のファイバーは f(x) の値域である。ゆえに、M 上の滑らかなベクトル束の圏は C∞(M) 上の有限生成射影加群の圏に同値である。詳細は (Nestruev 2003) において見つかるだろう。この同値は非コンパクト多様体 M の場合に拡張される (Giachetta et al. 2005)。
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「微分幾何学」の例文・使い方・用例・文例
- 微分幾何学という学問
微分幾何学と同じ種類の言葉
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