概複素多様体とは? わかりやすく解説

概複素構造

(概複素多様体 から転送)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2023/09/24 21:29 UTC 版)

数学における多様体の概複素構造(がいふくそこうぞう、almost complex structure)は、多様体の各点での接ベクトル空間が(滑らかな)複素構造を持つことを言う。1つの多様体に対して複数の概複素構造が入る場合がある。また、複素解析的多様体は必ず概複素構造をもつ一方で、概複素構造を持ちながら複素解析的多様体とならないものが存在する。概複素多様体はシンプレクティック幾何学に重要な応用を持つ。

この概念は、1940年代のチャールズ・エーレスマン英語版(Charles Ehresmann)とハインツ・ホップ英語版(Heinz Hopf)による。

定義

滑らかな多様体 M に対し、接バンドル TM 上の自己同型写像 J: TM → TM で

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概複素多様体

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/07/15 14:16 UTC 版)

複素多様体」の記事における「概複素多様体」の解説

詳細は「概複素多様体」を参照多様体である概複素多様体は、GLn(C)-構造持ってる(G-構造英語版の意味で)。 つまり、接バンドル線形複素構造英語版)を持っている具体的には、これは二乗が −I となるような接バンドル自己準同型である;この自己準同型は、複素数 i を賭けることに類似していて、J で表します単位行列の I との混乱避けるため)。概複素多様体は必然的に偶数次元である。 概複素構造は、複素構造よりも弱く任意の複素構造概複素構造であるが、すべての概複素構造複素構造から発生するわけではない注意すべきは、すべての偶数次元の実多様体局所座標により定義される概複素構造持っていることで、問題はこの複素構造が大域的に定義できるかどうかである。大域的に定義できた複素構造から自動的にでてくる概複素構造のことを可積分であると言い、また概複素構造区別して複素構造特定したい時は、可積分複素構造と言う可積分複素構造に対して、ナイエンハンステンソル(Nijenhuis tensor)がゼロになる。ナイエンハンステンソルは、ベクトル場ペア X,Y の上下記関係式により定義されるN J ( X , Y ) = [ X , Y ] + J [ J X , Y ] + J [ X , J Y ] − [ J X , J Y ] {\displaystyle N_{J}(X,Y)=[X,Y]+J[JX,Y]+J[X,JY]-[JX,JY]} 例えば、6次元球面 S6 は、8元数単位球面における i の直交補空間であるという事実から出てくる自然な概複素構造持っている。しかしこれは複素構造ではない(現在、6次元球面複素構造持っているか否か分かっていない)。 一般に概複素構造使い正則写像の意味づけをすることは可能で、多様体上の正則座標存在するかと問うことは可能である。正則座標存在することと、多様体が(座標定義するような)複素多様体であるという事同値である。 接バンドル複素数テンソル積をとると、複素化され接バンドル得てその上で複素数との積が意味を持つ。このことは、単に実多様体から始めた場合でさえ、複素化され接バンドルを得ることは可能である。概複素多様体の固有値は ±i で、固有空間部分バンドル形成し、T 0, 1M および T 1, 0M と書く。ニューランダー-ニーレンバーグ定理は、概複素構造がその部分バンドル対合的(involutive)、つまりベクトル場リーブラケットの下に閉じている時は、複素多様体となることを言っている。この概複素多様体のことを可積分であると言う

※この「概複素多様体」の解説は、「複素多様体」の解説の一部です。
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