概複素構造の微分トポロジー
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2015/08/23 13:12 UTC 版)
「概複素構造」の記事における「概複素構造の微分トポロジー」の解説
ベクトル空間 V 上の複素構造より VC が V+ と V−（ +i と -i に対応するそれぞれの J の固有値）へ分解するように、M 上の概複素構造により、複素化された接バンドル TMC（各々の点での複素化された接空間のベクトルバンドル） は TM+ と TM− へと分解する。TM+ の切断はタイプ (1, 0) のベクトル場と呼ばれ、一方、TM− はタイプ (0, 1) のベクトル場と呼ばれる。このように J は 複素化された接バンドルの (1, 0)-ベクトル場上の i と (0, 1)-ベクトル場上の -i を掛けることに対応する。 余接バンドル上の外積代数から微分形式を作ったように、複素化された余接バンドルの外積代数を作ることができる（複素化された接バンドルの双対空間のバンドルに標準的に同型である）。概複素構造より r-形式のそれぞれの空間の分解を次の式のように導くことができる。 言い換えると、各々の Ωr(M)C は、各々の r = p + q に対し Ω(p, q)(M) への分解する。 任意の直和（英語版）に対し、Ωr(M)C から Ω(p,q) への標準的な射影が存在する。また、Ωr(M)C を Ωr+1(M)C もあり、外微分と呼ばれる。このように、概複素構造を使い、不定な形の外微分の作用を精密化することもできるかもしれない。 この場合には、 がタイプの中の正則部分を一つ増やして、タイプ (p, q) からタイプ (p+1, q) となり、 が反正則部分のタイプを一つ増やすような写像となる。これらの作用素はドルボー作用素と呼ばれる。 すべての射影の和は、恒等写像であるはずであるから、外積の微分は次のように書かれることに注意する。
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