同型とは? わかりやすく解説

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どう‐けい【同型】

読み方:どうけい

型が同じであること。同じ型。「―の犯罪


同型写像

(同型 から転送)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/10/21 02:36 UTC 版)

同型写像どうけいしゃぞう: isomorphism[note 1])あるいは単に同型とは、数学において準同型写像あるいはであって、逆射を持つものである[note 2]


注釈

  1. ^ from the Ancient Greek: ἴσος isos "equal", and μορφή morphe "form" or "shape"
  2. ^ 逆関数ではない
  3. ^ 注意深い読者は A, B, C が慣習的な順序、すなわちアルファベット順であり、同様に 1, 2, 3 も整数の順番だから、1つの特定の同型、すなわち
    が「自然」だと思うかもしれない。より形式的には、集合としてはこれらは同型であるが、自然に同型ではない(同型写像の複数の選び方がある)。一方で、順序集合としては自然に同型である(上で与えられた一意的な同型写像がある)、なぜならば有限全順序英語版は濃度による一意的な同型を除いて一意的に決定されるからである。 この直観は以下のように言うことで定式化できる。同じ濃度をもった任意の2つの有限全順序集合は次のような自然な同型を持つ。前者の最小元を後者の最小元に送り、前者の残りの最小元を後者の残りの最小元に送り、……。しかし一般には。与えられた有限濃度の集合の対は自然に同型ではない、なぜならば写像の選び方が1つよりも多くあるからだ――ただし濃度が 0 あるいは 1 のときは除く。このときは一意的な選択がある。
  4. ^ 実は、2つの3元集合の間の異なる同型写像はちょうど 3! = 6 個ある。これは与えられた3元集合の自己同型の個数に等しく(そして3文字の対称群の位数に等しく)、一般に2つの対象の間の同型写像の集合 Iso(A, B)A の自己同型群 Aut(A)torsor英語版 であり B の自己同型群の torsor でもある。実は、対象の自己同型は、この後述べるようにベクトル空間のその双対や二重双対との同一視における基底の変換の影響によって論証されるように、同型と等号を区別する主な理由である。
  5. ^ 正確には、複素数の実平面との同一視
    i の取り方に依存する;−i を選ぶこともでき、異なる同一視を生む――形式的には、複素共役が自己同型である――が、実際にはそのような同一視をしたとしばしば仮定する。

出典

  1. ^ Awodey, Steve (2006). “Isomorphisms”. Category theory. Oxford University Press. p. 11. ISBN 9780198568612. https://books.google.com/books?id=IK_sIDI2TCwC&pg=PA11 
  2. ^ Vinberg, Ėrnest Borisovich (2003). A Course in Algebra. American Mathematical Society. p. 3. ISBN 9780821834138. https://books.google.com/books?id=kd24d3mwaecC&pg=PA3 
  3. ^ Mazur 2007.


「同型写像」の続きの解説一覧

同型

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/10/08 06:12 UTC 版)

記号の濫用」の記事における「同型」の解説

等式と同型(英語版)の違いはっきりさせないのも記号の濫用である。例え有理数からデデキントの切断によって実数構成英語版)すると、有理数 r は r 未満すべての有理数同一視されるが、この2つ明らかに同じものではない。しかし、有理数全体集合と、{x | x < r} の形のデデキント切断全体集合は同じ構造を持つからこの曖昧さ許容される。この濫用により Q は R の部分集合みなされる

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同型

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2018/07/16 14:45 UTC 版)

PSL(2, 7)」の記事における「同型」の解説

下の群はすべて同型である。 PSL2(7) GL3(2)F2においてGL, SL, PGL, PSL区別はないので、ただちに次の同型もわかる。SL3(2) PGL3(2) PSL3(2) クライン平面4次曲線自己同型群 ファノ平面対称性の群

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同型

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/04/17 01:16 UTC 版)

ディンキン図形」の記事における「同型」の解説

ディンキン図形慣習的にリスト重複が無いように番号けられる:An に対しては n ≥ 1, Bn に対しては n ≥ 2, Cn に対しては n ≥ 3, Dn に対しては n ≥ 4, そして Enn = 6 から始まる。しかしながら族は小さい n に対しても定義でき、図形例外同型(英語版)を、そしてリー環付随するリー群対応する例外同型を生じる。 明らかに、族を n = 0 あるいは n = 1 から始めることができ、空の図形頂点1つ図形それぞれ1つずつしかないから、それらはすべて同型である。連結ディンキン図形他の同型は: A 1B 1C 1 {\displaystyle A_{1}\cong B_{1}\cong C_{1}} B 2C 2 {\displaystyle B_{2}\cong C_{2}} D 2A 1 × A 1 {\displaystyle D_{2}\cong A_{1}\times A_{1}} D 3A 3 {\displaystyle D_{3}\cong A_{3}} E 3A 1 × A 2 {\displaystyle E_{3}\cong A_{1}\times A_{2}} E 4A 4 {\displaystyle E_{4}\cong A_{4}} E 5D 5 {\displaystyle E_{5}\cong D_{5}} これらの同型は単純・半単純リー環の同型に対応しリー群の同型にも対応する。それらは En 族(英語版)に文脈与えもする。

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