内部自己同型群と外部自己同型群
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/10/02 04:28 UTC 版)
「内部自己同型」の記事における「内部自己同型群と外部自己同型群」の解説
2つの内部自己同型の合成は再び内部自己同型である（上に述べたように (xa)b = xab である）。この演算によって G のすべての内部自己同型からなる集合 Inn(G) はそれ自身群であり、G の内部自己同型群と言う。 Inn(G) は G の自己同型全体からなる自己同型群 Aut(G) の正規部分群である。商群 Aut(G)/Inn(G) を外部自己同型群といい、Out(G) と書く。外部自己同型群はある意味で G の自己同型のうちどのくらいが内部自己同型でないかを測る。すべての非内部自己同型は Out(G) の非自明な元と対応するが、異なる非内部自己同型が Out(G) の同じ元に対応することもある。 G の元 a と Inn(G) の元 ƒ(x) = xa を対応させることによって、商群 G/Z(G) と内部自己同型群の間の同型が得られる（Z(G) は G の中心） G / Z ( G ) ≅ Inn ( G ) . {\displaystyle G/\operatorname {Z} (G)\cong \operatorname {Inn} (G).} これは第一同型定理の帰結である。なぜならば、Z(G) はちょうど、対応する内部自己同型として恒等写像を与える G の元全体からなる部分群だからである。
※この「内部自己同型群と外部自己同型群」の解説は、「内部自己同型」の解説の一部です。
「内部自己同型群と外部自己同型群」を含む「内部自己同型」の記事については、「内部自己同型」の概要を参照ください。
- 内部自己同型群と外部自己同型群のページへのリンク
