普遍性
普遍性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/11 01:19 UTC 版)
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数学において普遍性（英語: universality、または universal property）とは、ある特定の状況下において一意に射（あるいは準同型、構造を保つ写像）を定めるような抽象的性質で、それが特定の構成（例えば直積や直和、加群のテンソル積、距離空間の完備化など）を特徴づけるようなものをいう。
普遍性の具体例となる構成には他にも、様々な構成における自由対象、核や余核、順極限および逆極限、群に対するアーベル化、集合や様々な空間に対する引き戻しや押し出し（英語: pushout）、ストーン－チェックのコンパクト化などが存在する。
このような構成は個別の数学の分野において議論されていたが、横断的な議論を試みたのは1948年のピエール・サミュエル (en:Pierre Samuel) の論文[1]によって初めて行われ、その後ブルバキによって広められたとされる[2]。
概要
U : D → C を 圏 D から圏 C への関手とし、X をC の対象とする。X から U への普遍射 （universal morphism） は、D の対象 A とCの射 φ : X → U(A) からなる対(A, φ)で表され、かつ以下の普遍性（universal property）を満たす。
- Y がDの対象で f : X → U(Y) が C の射であるような場合、常に D の射 g : A → Y が一意に存在して、次の図を可換にする。
射 g の存在は、直感的には(A, φ)が「十分に一般的」であることを示しながら、一方で射の一意性は、(A, φ)が「過度に一般的ではない」事を表している。さらに、次の関係も成り立つ[3]。
ここで、人によっては一方を普遍射と呼び、もう一方を余普遍射（co-universal property）と呼ぶ場合もある事に注意されたい。どちらがどちらかはその人次第である。
表現可能関手による定義
エミリー・リール（Emily Riehl）は『Category Theory in Context』において、圏 C の対象 c に対する普遍性（英: universal property）を次のように定義している[4]：
- 定義
- 圏 C の対象 c の普遍性は、表現可能関手 F: C → Set と、米田の補題を通して自然同型 C(c, _) ≅ F（または C(_, c) ≅ F）を定める普遍要素（英: universal element）x ∊ Fc によって表現されるものである。
（ここで Set とは集合の圏のことである。）
定義を言い換えると、c ∊ C の普遍性とは、(表現可能)関手 F: C → Set と x ∊ Fc を用いて米田の補題から定まる自然変換 C(c, _) → F が自然同型であるという性質のことである。
圏 C が小さなhom集合を持つ（各対象 x, y について C(x, y) ∊ Set である）とき、前節で定義した普遍射は普遍要素の特別な場合である。また逆に、普遍要素は普遍射の特別な場合である[5]。
例
ベクトル空間のテンソル積
体 K 上のベクトル空間 V, W について、任意の双線形写像 f: V × W → X に対して f = f'◦g を満たす準同型 f': T → X がただ1つ存在するような K-ベクトル空間 T と双線形写像 g: V × W → T の組が、同型を除いてただ1つ存在する。このときの T を V ⊗ W と表し、V と W のテンソル積と呼ぶ。
テンソル積を特徴づけるこの性質もまた普遍性と呼ばれる。実際、テンソル積の普遍性から、圏論的な普遍性が次のように与えられる：いま、V × W からの双線形写像の集合を与える対応は関手 Bilin(V, W; _): VectK → Set （VectK とは K-ベクトル空間とその間の線形写像からなる圏）を定める。このとき、テンソル積の普遍性から自然同型 VectK(V ⊗ W, _) ≅ Bilin(V, W; _) が定まり、従って Bilin(V, W; _) は表現可能関手である。双線形写像 g: V × W → V ⊗ W はこのとき、同型 VectK(V ⊗ W, V ⊗ W) ≅ Bilin(V, W; V ⊗ W) によって恒等射が写る先として定まる[6]。
また、カノニカルな双線形写像 g: V × W → V ⊗ W は一点集合からの写像 ψ:＊→ Bilin(V, W; V ⊗ W) によっても表される。いま、任意の X ∊ VectK とh:＊→ Bilin(V, W; X) に対して、テンソル積の性質から h = h'◦ψ が成り立つような準同型 h': V ⊗ W → X がただ1つ定まる。従って h は一点集合から Bilin(V, W; _) への普遍射である。
剰余群への射影
群 G の正規部分群 K について、剰余群 G/K への射影を φ: G → G/K で表す。群準同型 f: G → H について、K が f の核 Ker f (f(x) が H の単位元となる G の元の集合) に含まれるとき、群の準同型定理によって f = h◦φ を満たす群準同型 h: G/K → H がただ1つ存在することがわかる。
(小さな) 群とその間の群準同型からなる群の圏を Grp で表す。群 H に対して、群準同型 f: G → H であって Ker f ⊂ K を満たすものの集合を FH とおくと、この対応は関手 F: Grp → Set をなす。準同型定理の主張から、任意の H に対して同型 FH ≅ Grp(G/K, H) が存在して、さらに唯一性からこの同型は H について自然であることがわかる。
以上のことから、剰余群 G/K と剰余群への射影 φ: G → G/K は普遍性を持っていることがわかる。普遍性の帰結として、商群についての他のすべての性質は、これ以上余集合（剰余群の通常の構成で使われる G/K の各要素）に言及しなくてよくなる[7]。
ファン・カンペンの定理
さまざまな普遍性
随伴関手との関係
(A1, φ1) を X1 から U への普遍射、 (A2, φ2) を X2 から U への普遍射とする。普遍性から、任意の射 h : X1 → X2 に対して一意な射 g : A1 → A2 が存在して、次の図式を可換にする。
もし 全ての C の対象 Xi にU への普遍射が認められるならば、Xi 
