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引き戻し (圏論)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/10/30 21:03 UTC 版)

その他の用法については「引き戻し (曖昧さ回避)」をご覧ください。

圏論という数学の分野において，引き戻し（ひきもどし，英: pullback），あるいはファイバー積 (fiber/fibre/fibered product)，デカルトの四角形 (Cartesian square) とは，共通の終域を持つ2つの射 $f : X \to Z$ , $g : Y \to Z$ からなる図式の極限である．引き戻しはしばしば

P = X \times Z Y

と書かれ，2つの自然な射 $P \to X$ , $P \to Y$ を備えている．2つの射の引き戻しが存在するとは限らないが，存在すれば2つの射から本質的に一意に定義される．多くの状況において， $X \times Z Y$ は，元 $x \in X$ と $y \in Y$ の対 $(x, y)$ であって $f (x) = g (y)$ なるものからなるものと直観的に考えることができる．一般の定義には普遍性が用いられ，このことを本質的な理由として，引き戻しは2つの与えられた射を可換四角形に適合させる「最も一般の」方法である．

引き戻しの双対概念は押し出し（英語版） (pushout) である．

普遍性

明示的には，2つの射 $f$ , $g$ の引き戻しは，対象 $P$ と2つの射 $p 1 : P \to X$ と $p 2 : P \to Y$ であって次の図式が可換となるものからなる：

さらに，引き戻し $(P, p 1, p 2)$ はこの図式について普遍的でなければならない，つまり，別のそのような3つ組 $(Q, q 1, q 2)$ であって次の図式が可換であるような任意のものに対して，一意的な $u : Q \to P$ （仲介射 (mediating morphism) と呼ばれる）が存在して

p_{2}\circ u=q_{2},\qquad p_{1}\circ u=q_{1}

すべての普遍的な構成がそうであるように，引き戻しは，存在すれば，同型を除いて一意である．実際，同じ cospan（英語版） $X \to Z \leftarrow Y$ の2つの引き戻し $(A, a 1, a 2)$ と $(B, b 1, b 2)$ が与えられると， $A$ と $B$ の間の引き戻し構造を尊重した一意的な同型が存在する．

弱い引き戻し

余スパン $X \to Z \leftarrow Y$ の弱引き戻し (weak pullback) は「弱い普遍性」しか持たない（つまり、上記の仲介射 $u : Q \to P$ が一意であることを要求しない）ような余スパン上の錐を言う。^[1]

引き戻しと積

引き戻しは積と似ているが，同じではない．射 $f$ , $g$ と対象 $Z$ の存在を「忘れる」ことによって積が得られる．このとき2つの対象 $X$ , $Y$ のみを持ちそれらの間に何の射もない離散圏が残るが，この離散圏は通常の二項積を構成するための添字集合として用いることができる．したがって，引き戻しは付加構造を持った通常の（デカルト）積と考えることができる． $Z$ , $f$ , $g$ を「忘れる」代わりに，それらを「自明化」することも $Z$ を終対象（存在は仮定する）に特殊化すれば可能で（この場合 $f$ と $g$ は一意に決まって，しかも何の情報も与えない），この cospan の引き戻しは $X$ と $Y$ の積と見ることができる．

例

可換環

可換環の圏は引き戻しを持つ．

（単位元を持つ）可換環の圏 $CRing$ において，引き戻しはファイバー積と呼ばれる．

A, B, C \in Ob(CRing)

α : A \to C \in Hom(CRing)

β : B \to C \in Hom(CRing)

とする．したがって $A$ , $B$ , $C$ は単位元を持つ可換環であり， $α$ , $β$ は単位元を保つ環準同型である．するとこの図式の引き戻しはデカルト積 $A \times B$ の部分環

A\times _{C}B=\{(a,b)\in A\times B\mid \alpha (a)=\beta (b)\}

を引き戻し図式とすると，誘導される射

ker(p 2) \to ker(f)

と

ker(p 1) \to ker(g)

は同型である．したがってすべての引き戻し図式は次の形の可換図式を生じる，ただしすべての行と列は完全である：

{\begin{array}{ccccccc}&&&&0&&0\\&&&&\downarrow &&\downarrow \\&&&&L&=&L\\&&&&\downarrow &&\downarrow \\0&\to &K&\to &P&\to &Y\\&&\parallel &&\downarrow &&\downarrow \\0&\to &K&\to &X&\to &Z.\end{array}}

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表話編歴圏論
圏	部分圏完備圏関手圏前加法圏集合の圏マグマの圏群の圏アーベル群の圏擬環の圏環の圏加群の圏ベクトル空間の圏多元環の圏位相空間の圏距離空間の圏多様体の圏圏の圏モノイド閉圏デカルト閉圏アーベル圏導来圏クライスリ圏デカルトモノイド圏
主要項目	双対反対圏始対象と終対象射エピモニック像余像普遍性極限帰納極限射影極限積余積等化子余等化子自然変換トポス圏同値核余核引き戻し図式可換図式モナド
関手	加法的完全充満随伴対角忠実導来表現可能本質的全射 Hom関手
定理	米田の補題
拡張	Kan拡張
関連分野	代数幾何学普遍代数ホモロジー代数
人物	ソーンダース・マックレーンサミュエル・アイレンベルグアレクサンドル・グロタンディーク
関連項目	圏論の基礎

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