代数幾何学
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2026/03/24 17:48 UTC 版)
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代数幾何学（だいすうきかがく、英: algebraic geometry）とは、多項式の零点（解の集合）がなす図形を代数的手法（代数多様体）により研究する数学の一分野である[1][2]。
歴史
ルネ・デカルトが座標を用いて曲線を方程式で表す方法を導入したことにより、17世紀に解析幾何学が成立した。これは多項式で与えられる図形を代数的に扱う発想の出発点であり、代数幾何学の直接の前史とみなされる[3]。
19世紀中期に、ベルンハルト・リーマンがアーベル関数論の中で双有理同値など代数幾何学の中心概念を生み出し、19世紀後半には、イタリアの直観的な代数幾何学が発展した（イタリア学派）。20世紀前半には、アンドレ・ヴェイユ、オスカー・ザリスキによって、抽象的な代数幾何学の研究が進められ、1950年代以降はグロタンディークのスキーム論によって代数幾何学全体が大きく書き直された。
20世紀前半には、こうした古典的理論の基礎づけが進められた。オスカー・ザリスキは可換環論や付値論を導入して代数幾何学の基礎を代数的に再構成し、アンドレ・ヴェイユは『Foundations of Algebraic Geometry』（1946年）によって、任意の体上で代数多様体を扱うための基盤を整備した。これにより、代数幾何学は複素数体上の図形の研究にとどまらず、有限体や整数環の上の幾何学へも本格的に拡張され、数論との結びつきが強まった[4][5]。
1950年代末以降、アレクサンドル・グロタンディークはスキーム、層係数コホモロジー、ファイバー積などの概念を導入し、代数幾何学の言語と基礎理論を抜本的に刷新した。グロタンディークの枠組みによって、既約性や特異点、族、モジュライ、数論的現象を統一的に扱うことが可能となり、現代代数幾何学の標準的基盤が築かれた[6][7]。
20世紀後半には、この新しい基礎の上で具体的な理論が大きく展開した。複素代数多様体の側面では、小平邦彦らによる複素曲面論やホッジ理論との結びつきが深まり、また広中平祐による特異点解消定理は高次元代数幾何学における基本問題の一つを解決した。さらに、森重文らによる極小モデル計画の進展によって、高次元代数多様体の双有理分類が現代代数幾何学の中心課題の一つとなった[8][9][10]。
現代では数理物理学[11][12]・可積分系[13][14][15][16][17]との関係や、機械学習への応用が研究されている[18][19]。現代の代数幾何学は「多変数代数函数体に関する幾何学論」と「射影空間上での複素多様体論」とに分けられる。前者は代数学の中の可換環論と関係が深く、後者は幾何学の中の多様体論と関係が深い。代数幾何学は20世紀に入って外観を一新し、大きく発展した数学の分野とされる。
代数多様体
多項式の零点
永田雅宜は、代数幾何学を簡単に言えば「連立方程式の解の集合の幾何学的性質を調べる学問」であると述べている[1]。
平面や空間に座標を導入すると代数方程式は図形の形で表現される[20]。このような図形が代数多様体である。
例えば、
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代数幾何学
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/08/15 15:33 UTC 版)
「アステロイド (曲線)」の記事における「代数幾何学」の解説
アステロイドは種数 0 の平面代数曲線の実軌跡として、代数方程式 ( x 2 + y 2 − 1 ) 3 + 27 x 2 y 2 = 0 {\displaystyle (x^{2}+y^{2}-1)^{3}+27x^{2}y^{2}=0} で表すことができる。これは六次の曲線で実平面 R2 上に（星の頂点の部分に）四つの尖点特異性を持つ。また、複素変数（リーマン球面）に拡張して、さらに二つの尖点特異性を無限遠点にもち、四つの二重点があるから、計10個の特異点をもつことになる。 この式で表されるアステロイドの双対曲線は十字曲線 x2 y2 = x2 + y2 である。
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