代数幾何学
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/11/05 19:58 UTC 版)
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代数幾何学（だいすうきかがく、英: algebraic geometry）とは、多項式の零点（解の集合）がなす図形の代数的手法（代数多様体）による研究する数学の一分野である[1][2]。
歴史
ルネ・デカルトは多項式の零点を曲線として幾何学的に扱う発想を生みだし、解析幾何学が誕生した。解析幾何学における「解析」は当時の用法では代数の意味であり、代数幾何学の直接的な前身といえる[3]。
19世紀中期に、ベルンハルト・リーマンがアーベル関数論の中で双有理同値など代数幾何学の中心概念を生み出し、19世紀後半には、イタリアの直観的な代数幾何学が発展した（イタリア学派）。20世紀前半には、アンドレ・ヴェイユ、オスカー・ザリスキによって、抽象的な代数幾何学の研究が進められ、1950年代以降はグロタンディークのスキーム論によって代数幾何学全体が大きく書き直された。
1970年代には小平次元、ホッジ理論，トーリック多様体、極小モデルの理論などが整備された[4]。
現代では数理物理学[5][6]・可積分系[7][8][9][10][11]との関係や、機械学習への応用が研究されている[12][13]。
大別して、現代の代数幾何学は「多変数代数函数体に関する幾何学論」と「射影空間上での複素多様体論」とに分けられる。前者は代数学の中の可換環論と関係が深く、後者は幾何学の中の多様体論と関係が深い。代数幾何学は20世紀に入って外観を一新し、大きく発展した数学の分野といわれる。
代数多様体
多項式の零点
永田雅宜は、代数幾何学を簡単に言えば「連立方程式の解の集合の幾何学的性質を調べる学問」であると述べている[1]。
平面や空間に座標を導入すると代数方程式は図形の形で表現される[14]。このような図形が代数多様体である。
例えば、
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代数幾何学
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/08/15 15:33 UTC 版)
「アステロイド (曲線)」の記事における「代数幾何学」の解説
アステロイドは種数 0 の平面代数曲線の実軌跡として、代数方程式 ( x 2 + y 2 − 1 ) 3 + 27 x 2 y 2 = 0 {\displaystyle (x^{2}+y^{2}-1)^{3}+27x^{2}y^{2}=0} で表すことができる。これは六次の曲線で実平面 R2 上に（星の頂点の部分に）四つの尖点特異性を持つ。また、複素変数（リーマン球面）に拡張して、さらに二つの尖点特異性を無限遠点にもち、四つの二重点があるから、計10個の特異点をもつことになる。 この式で表されるアステロイドの双対曲線は十字曲線 x2 y2 = x2 + y2 である。
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