代数曲線
(平面代数曲線 から転送)
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/09/11 07:13 UTC 版)
数学における代数曲線（だいすうきょくせん、英: algebraic curve）、特にユークリッド幾何学における平面代数曲線 (plane algebraic curve) は、ユークリッド平面内の点集合であって、各点が適当な二変数多項式函数の零点として与えられるものを言う。
| ||||||||||||||||||||||||||||||||
- ^ Hartshorne, Algebraic Geometry, IV Ex. 1.8.
- ^ Swinnerton-Dyer (1971, pp. 5-6)
- ^ Swinnerton-Dyer (1971, pp. 6-7)
平面代数曲線
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/21 05:04 UTC 版)
平面の代数曲線は、f を多項式関数 f: R2 → R として、f(x, y) = 0 の形の方程式を満たす点 (x, y) の集合として定義できる。f が f = a 0 + b 0 x + b 1 y + c 0 x 2 + 2 c 1 x y + c 2 y 2 + ⋯ {\displaystyle f=a_{0}+b_{0}x+b_{1}y+c_{0}x^{2}+2c_{1}xy+c_{2}y^{2}+\dotsb } と展開されているとする。原点 (0, 0) が曲線上にあれば a0 = 0 である。b1 ≠ 0 ならば陰函数定理によって滑らかな関数 h が存在して原点の近くで曲線は y = h(x) の形に書ける。同様に、b0 ≠ 0 ならば滑らかな関数 k が存在して曲線は原点の近くで x = k(y) の形である。どちらの場合にも、原点の近傍において曲線を定義する R から平面への滑らかな写像が存在する。次のことに注意する。原点において b 0 = ∂ f ∂ x , b 1 = ∂ f ∂ y {\displaystyle b_{0}={\partial f \over \partial x},\quad b_{1}={\partial f \over \partial y}} であるので f の偏微分の少なくとも一方が 0 でないならば曲線は原点において非特異あるいは正則 (regular) であるといい、特異点は両方の偏微分が消える曲線上の点を言う: f ( x , y ) = ∂ f ∂ x = ∂ f ∂ y = 0. {\displaystyle f(x,y)={\partial f \over \partial x}={\partial f \over \partial y}=0.}
※この「平面代数曲線」の解説は、「曲線の特異点」の解説の一部です。
「平面代数曲線」を含む「曲線の特異点」の記事については、「曲線の特異点」の概要を参照ください。
平面代数曲線
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/03/31 14:32 UTC 版)
平面代数曲線は、アフィン平面内の曲線で多項式方程式 f(x, y) = 0 によって定義されるもの、または射影平面内の曲線で斉次多項式方程式 F(x, y, z) = 0 で定義されるものを言う。 任意の平面代数曲線は、その定義多項式の次数をその曲線の次数として持つ。代数閉体上で考える場合には、曲線の次数はそれが一般の位置（英語版）にある直線と交わるときの交点数に等しい。例えば、方程式 x2 + y2 = 1 で与えられる円の次数は 2 である。 次数 2 の非特異平面代数曲線は円錐曲線であり、それらの射影完備化は全て円 x2 + y2 = 1 の射影完備化（つまり x2 + y2 - z2 = 0) の定める射影曲線）に同型である。次数 3 の平面代数曲線は平面三次曲線（英語版）といい、それが非特異ならば楕円曲線となる。次数 4 の平面代数曲線は平面四次曲線（英語版）と呼ぶ。
※この「平面代数曲線」の解説は、「平面曲線」の解説の一部です。
「平面代数曲線」を含む「平面曲線」の記事については、「平面曲線」の概要を参照ください。
- 平面代数曲線のページへのリンク
