ヤコビ多様体
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/04/15 03:03 UTC 版)
数学において、種数 g の非特異代数曲線 C のヤコビ多様体 (ヤコビたようたい、Jacobian variety) J(C) とは、次数が 0 の直線束のモジュライ空間を言う。ヤコビ多様体は、C のピカール群の単位元の連結成分であり、従って、アーベル多様体である。
ヤコビ多様体の名称はヤコビの逆問題を研究したカール・グスタフ・ヤコビにちなむ[1]。最初に「ヤコビ多様体」の名称を使ったのはフェリックス・クラインではないかと言われている[2]。
はじめに
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ヤコビ多様体の名称は、アーベル・ヤコビの定理を完全に証明しニールス・アーベル(Niels Abel)の単射性のステートメントを同型写像にしたカール・グスタフ・ヤコビ[要検証][注 1](Carl Gustav Jacobi)の名前にちなんでいる。ヤコビ多様体は、次元 g の主偏極アーベル多様体であり、従って、複素数体上では複素トーラス(complex torus)である。p が C 上の点であれば、C は J の単位元へ写像される与えられた点 p を持つ J の部分多様体へ写像することができ、C は J を群として生成する。
リーマン面のヤコビ多様体の構成
リーマン面
トレリの定理(Torelli's theorem)は、複素曲線が（偏極をもった）ヤコビ多様体により決定することを言っている。
ショットキー問題(Schottky problem)は、どのような偏極を持つアーベル多様体が曲線のヤコビ多様体であるかを問うている。
ピカール多様体、アルバネーゼ多様体や、中間ヤコビ多様体(intermediate Jacobian)は、高次元の多様体へのヤコビ多様体の一般化である。高次元の多様体に対し、正則 1-形式の空間の商空間としてのヤコビ多様体の構成はアルバネーゼ多様体として一般化できる。しかし、高次元ではピカール多様体と同型になるとは限らない。
脚注
注釈
- ^ Kleiman (2005, p. 6) にはこの記載とことなることが書かれている。
- ^ 代数幾何学関連の用語については AVs, p. 2 を参照。
出典
- ^ Kleiman 2005, p. 6.
- ^ Catanese, Fabrizio (2003). "From Abel's heritage: transcendental objects in algebraic geometry and their algebrization". p. 13. arXiv:marh/0307068。
- ^ a b Diamond & Schurman 2005, p. 213.
- ^ Diamond & Schurman 2005, p. 215.
- ^ 軍司 2005, p. 70.
- ^ 軍司 2005, p. 65.
- ^ a b JVs, p. 2.
- ^ AVs, p. 7.
- ^ JVs, p. 3.
- ^ a b LOCAL ARITHMETIC OF CURVES AND JACOBIANS, p. 5
- ^ a b JVs, p. 5.
- ^ a b JVs, p. 6.
- ^ JVs, pp. 7–8.
- ^ JVs, p. 19.
- ^ a b Lecture 2: Abelian varieties, p. 9
参考文献
- P. Griffiths; J. Harris (1994). Principles of Algebraic Geometry. Wiley Classics Library. Wiley Interscience. pp. 333–363. ISBN 0-471-05059-8
-
J.S. Milne (1986). "Jacobian Varieties". Arithmetic Geometry. New York: Springer-Verlag. pp. 167–212. ISBN 0-387-96311-1。
- Milne, J.S. (2021), Jacobian Varieties, corrected version
- Milne, J.S. (2022), Abelian Varieties, corrected version
- Mumford, David (1975). Curves and their Jacobians. The University of Michigan Press, Ann Arbor, Mich.. MR 0419430
- Shokurov, V.V. (2001), “Jacobi variety”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
- Weil, André (1948). Variétés abéliennes et courbes algébriques. Paris: Hermann. OCLC 826112. MR 0029522
- Hartshorne, Robin. Algebraic Geometry. New York: Springer. ISBN 0-387-90244-9
- Ciliberto, Ciro; van der Geer, Gerard; en:Montserrat Teixidor i Bigas (1992). “On the number of parameters of curves whose Jacobians possess nontrivial endomorphisms”. J. Algebraic Geom 1 (2): 215–229.
- Bigas, Montserrat Teixidor i; Tu, Loring W. (1992), “Theta Divisors for vector bundles”, Curves, Jacobians, and Abelian Varieties
- 軍司圭一「Abel-Jacobi の定理 I」『種数の高い代数曲線と Abel 多様体』 15巻〈整数論サマースクール報告集〉、2005年、61-80頁。 NCID BA85286142。
- Diamond, F.; Schurman, J. (2005). A First Course in Modular Forms. Springer Verlag. ISBN 978-1441920058
- Kleiman, Steven L. (2005). "The Picard scheme". arXiv:math/0504020。
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