群_(数学)

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群 (数学)

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代数的構造 → 群論 群論
基本概念 部分群 正規部分群 商群 （半）直積 群準同型 核 像 直和 リース積 単純 有限 無限（英語版） 連続 乗法 加法 巡回 アーベル 二面体 冪零 可解 群論の用語 群論のトピックス一覧
有限群 有限単純群の分類 巡回 交代 リー型（英語版） 散在（英語版） コーシーの定理 ラグランジュの定理 シローの定理 ホールの定理 p 群 基本アーベル群 フロベニウス群（英語版） シューア multiplier（英語版） 対称群 Sn クラインの四元群 V 二面体群 Dn 四元数群 Q8 二重巡回群 Dicn
離散群 格子 整数 (Z) 格子 モジュラー群 PSL(2, Z) SL(2, Z)
位相 / リー群 ソレノイド（英語版） 円周 一般線型 GL(n) 特殊線型 SL(n) 直交 O(n) ユークリッド E(n) 特殊直交 SO(n) ユニタリ U(n) 特殊ユニタリ SU(n) 斜交 Sp(n) G2（英語版） F4（英語版） E6（英語版） E7（英語版） E8 ローレンツ ポアンカレ 共形（英語版） 微分同相 ループ（英語版） 無限次元リー群（英語版） O(∞) SU(∞) Sp(∞)
代数群 楕円曲線 線型代数群 アーベル多様体

代数的構造
群に似た構造 群 半群 / モノイド 圭 準群とループ アーベル群 マグマ リー群 群論
環に似た構造 環 半環 近環（英語版） 可換環 整域 体 可除環 リー環 環論
束に似た構造 束 半束 可補束 全順序 ハイティング代数 ブール代数 en:Map of lattices 束論
加群に似た構造 加群 作用を持つ群 ベクトル空間 線形代数
代数に似た構造 代数 結合 非結合 合成代数 リー代数 次数付き 双代数 ホップ代数
表 話 編 歴

数学、特に抽象代数学における群（ぐん、英: group）とは、一つの集合と、その集合上に閉じて定義された一つの二項演算で構成される組（代数的構造）であり、ただしその二項演算は結合法則、単位元、逆元を全て有する。マグマの分類の一つである。

数学において最も基本的と見なされる代数的構造の一つであり、数学や物理学全般において、さまざまな構成に対する基礎的な枠組みを与えている。群はそれ自体が研究対象であり、その領域は群論と呼ばれる。

定義

集合 G とその上の二項演算 μ の組 (G, μ) が下の四つの条件を満たすとき、(G, μ) を群という。

• 閉性：G の任意の元 g, h について、μ(g, h) もまた G の元である。

${\displaystyle \forall \ g,h\in G,\ \mu (g,h)\in G}$

基本的な有限群のクラスがなす階層

群 G が、G の部分群の有限列 G₀, G₁, ..., G_n で 2 条件

• ${\displaystyle \{e\}=G_{0}\triangleleft G_{1}\triangleleft \dotsb \triangleleft G_{n-1}\triangleleft G_{n}=G}$ カテゴリ

表 話 編 歴 代数学
一般	初等代数学 抽象代数学 可換環論 順序理論（英語版） 圏論 K理論
代数的構造	群（論） 環（論） 体（論） 普遍代数学
線型代数学	行列（論） ベクトル空間（ベクトル（英語版）） 内積空間 幾何代数（英語版）（多重ベクトル（英語版）） ヒルベルト空間
トピックリスト	抽象代数学（英語版） 代数的構造（英語版） 群論（英語版） 線型代数学（英語版）
用語一覧	体論 線型代数学（英語版） 環論（英語版）
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