リー代数
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数学において、リー代数 (リーだいすう、Lie algebra)、もしくはリー環（リーかん）[注 1]は、「リー括弧積」（リーブラケット、Lie bracket）と呼ばれる非結合的な乗法 [x, y] を備えたベクトル空間である。無限小変換 (infinitesimal transformation) の概念を研究するために導入された。"Lie algebra" という言葉は、ソフス・リーに因んで、1930年代にヘルマン・ワイルにより導入された。古い文献では、無限小群 (infinitesimal group) という言葉も使われている。
リー代数はリー群と密接な関係にある。リー群とは群でも滑らかな多様体でもあるようなもので、積と逆元を取る群演算が滑らかであるようなものである。任意のリー群からリー代数が生じる。逆に、実数あるいは複素数上の任意の有限次元リー代数に対し、対応する連結リー群が被覆による違いを除いて一意的に存在する（リーの第三定理）。このリー群とリー代数の間の対応によってリー群をリー代数によって研究することができる。
定義
リー代数は、ある体 
リー環 (Lie ring)
数学における（狭義の）リー環[注 3]（リーかん、英: Lie ring）はリー代数とよく似た構造で、リー代数を一般化した代数的構造と見ることもできるが、群の降中心列の研究においても自然に生じてくる。
リー環と関連する概念としてリー群やリー代数があるが、（環が加法に関して群になるのとは異なり）リー環は加法に関して必ずしもリー群を成さず、他方で任意のリー代数はリー環の例である。任意の結合環は交換子括弧積 
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外部リンク
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リー代数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/10/11 06:55 UTC 版)
特に、M の微分同相写像群のリー代数は M 上のすべてのベクトル場からなり、ベクトル場のリーブラケット（英語版）を備えている。幾分形式的に、これは空間の各点における座標 x に小さい変化を加えることによってわかる： x μ → x μ + ε h μ ( x ) {\displaystyle x^{\mu }\to x^{\mu }+\varepsilon h^{\mu }(x)} L h = h μ ( x ) ∂ ∂ x μ . {\displaystyle L_{h}=h^{\mu }(x){\frac {\partial }{\partial x_{\mu }}}.}
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