リー環の指数写像

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リー環の指数写像

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/01/20 00:50 UTC 版)

リー群論において、指数写像（しすうしゃぞう、英: exponential map）は、リー群のリー環から局所的な群構造を取り出せるような、リー環からリー群への写像である。指数写像の存在はリー環のレベルでリー群を研究することの主要な正当性の1つである。

解析学の通常の指数関数は G が正の実数の乗法群（そのリー環は実数全体のなす加法群）のときの指数写像という特別な場合である。リー群の指数写像は通常の指数関数の性質と類似の多くの性質を満たすが、しかしながら、多くの重要な面において異なりもする。

定義

$G$

• とくに、群 G のリー群の随伴表現に適用すると、
  • $g(\exp X)g^{-1}=\exp(\mathrm {Ad} _{g}X)\,$
  • $\mathrm {Ad} _{\exp X}=\exp(\mathrm {ad} _{X}).\,$

関連項目

• en:List of exponential topics
• 指数写像の微分

参考文献

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Exponential mapping”, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://eom.springer.de/p/e036930.htm 
• Helgason, Sigurdur (2001), Differential geometry, Lie groups, and symmetric spaces, Graduate Studies in Mathematics, 34, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-2848-9, MR 1834454 .
• Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996), Foundations of Differential Geometry, Vol. 1 (New ed.), Wiley-Interscience, ISBN 0-471-15733-3 .