ローレンツ群とは？わかりやすく解説

ローレンツ群の名前の由来、ヘンドリック・アントーン・ローレンツ (1853–1928)

物理学および数学において、ローレンツ群 (ローレンツぐん、英: Lorentz group) は、（重力を除いた）全ての古典的な設定における物理現象を説明する基礎となる、ミンコフスキー時空上の全てのローレンツ変換が成す群である。ローレンツ群の名前はオランダ人物理学者ヘンドリック・ローレンツに因む。

ローレンツ変換の下では、次の法則および等式が不変に保たれる。

そのため、多くのよく知られた自然界の基本法則に対応する対称性は、ローレンツ群によって表現することができる。

基本性質

ローレンツ変換はミンコフスキー時空上の原点を不動点とする等長変換であり、ローレンツ群は、等長変換全体が成すポアンカレ群の部分群であるといえる。したがって、ローレンツ群はミンコフスキー時空上の等長変換群の等方的部分群である。この理由から、ローレンツ群は同次ローレンツ群 (homogeneous Lorentz group)と呼ばれることがあり、対してポアンカレ群は非同次ローレンツ群 (inhomogeneous Lorentz group) と呼ばれることがある。ローレンツ変換は線形変換あるのに対して、ミンコフスキー時空上の一般の等長変換はアフィン変換である。

数学的には、ローレンツ群は一般化直交群（英語版） $O(1, 3)$ 、すなわち $R 4$ 上の二次形式

(t,x,y,z)\mapsto t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}

出典は列挙するだけでなく、脚注などを用いてどの記述の情報源であるかを明記してください。記事の信頼性向上にご協力をお願いいたします。（2016年7月）

Artin, Emil (1957). Geometric Algebra. New York: Wiley. ISBN 0-471-60839-4 See Chapter III for the orthogonal groups O(p, q).
Carmeli, Moshe (1977). Group Theory and General Relativity, Representations of the Lorentz Group and Their Applications to the Gravitational Field. McGraw-Hill, New York. ISBN 0-07-009986-3 A canonical reference; see chapters 1–6 for representations of the Lorentz group.
Frankel, Theodore (2004). The Geometry of Physics (2nd Ed.). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-53927-7 An excellent resource for Lie theory, fiber bundles, spinorial coverings, and many other topics.
Fulton, William; Harris, Joe (1991), Representation theory. A first course, Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics, 129, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97495-8, MR 1153249, ISBN 978-0-387-97527-6 See Lecture 11 for the irreducible representations of SL(2, C).
Gelfand, I.M.; Minlos, R.A.; Shapiro, Z.Ya. (1963), Representations of the Rotation and Lorentz Groups and their Applications, New York: Pergamon Press
Hall, G. S. (2004). Symmetries and Curvature Structure in General Relativity. Singapore: World Scientific. ISBN 981-02-1051-5 See Chapter 6 for the subalgebras of the Lie algebra of the Lorentz group.
Hatcher, Allen (2002). Algebraic topology. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-79540-0 See also the “online version”. 2005年7月3日閲覧。 See Section 1.3 for a beautifully illustrated discussion of covering spaces. See Section 3D for the topology of rotation groups.
Naber, Gregory (1992). The Geometry of Minkowski Spacetime. New York: Springer-Verlag. ISBN 0486432351 (Dover reprint edition.) An excellent reference on Minkowski spacetime and the Lorentz group.
Needham, Tristan (1997). Visual Complex Analysis. Oxford: Oxford University Press. ISBN 0-19-853446-9 See Chapter 3 for a superbly illustrated discussion of Möbius transformations.
Wigner, E. P. (1939), “On unitary representations of the inhomogeneous Lorentz group”, Annals of Mathematics 40 (1): 149–204, Bibcode: 1939AnMat..40..922E, doi:10.2307/1968551, MR 1503456 .

ローレンツ群とは？わかりやすく解説