双曲型
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/25 07:21 UTC 版)
SL(2, C) の双曲型要素は P 2 = [ exp ( β / 2 ) 0 0 exp ( − β / 2 ) ] {\displaystyle P_{2}=\left[{\begin{matrix}\exp(\beta /2)&0\\0&\exp(-\beta /2)\end{matrix}}\right]} で、ξ = 0, ∞ を不動点として持つ。リーマン球面からユークリッド平面への立体投影の下、このメビウス変換の影響は原点からの発散となる。 スピノル変換により、これらは次のローレンツ変換に対応づけられる。 Q 2 = [ cosh ( β ) 0 0 sinh ( β ) 0 1 0 0 0 0 1 0 sinh ( β ) 0 0 cosh ( β ) ] = exp ( β [ 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 ] ) {\displaystyle Q_{2}=\left[{\begin{matrix}\cosh(\beta )&0&0&\sinh(\beta )\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\\sinh(\beta )&0&0&\cosh(\beta )\end{matrix}}\right]=\exp \left(\beta \left[{\begin{matrix}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\end{matrix}}\right]\right)} この変換は z 軸に沿ったラピディティ β のブーストを表わす。これにより生成される1パラメータ部分群は β を実変数とすることにより得られる。対応する天球上の連続変換は（恒等変換以外は）南極と北極という同じ不動点を持つ。他の全ての点は経線に沿って南極から北極方向へと移動する。
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