メビウス変換

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メビウス変換

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/07/12 08:28 UTC 版)

幾何学における平面上のメビウス変換（メビウスへんかん、英: Möbius transformation）は、

$f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}$

リーマン球面

メビウス変換は通例、ガウス平面にただひとつの無限遠点を付け加えて得られる拡張複素平面 ˆC = C ∪ {∞} 上で定義されるものとして扱われる。拡張複素平面はリーマン球面と呼ばれる球面とみることもできるし、複素射影直線 CP¹ とみることもできる。どんなメビウス変換も、リーマン球面からそれ自身への全単射な共形変換になり、また逆にそのような変換は実際にメビウス変換とならねばならない。

メビウス変換全体の成す集合は写像の合成を積として、メビウス群と呼ばれる群を成す。メビウス群は（リーマン球面をリーマン面とみなしたときの）リーマン球面上の自己同型群であり、しばしば Aut(ˆC) と記される。メビウス群は双曲的三次元空間上の向きを保つ等距変換全体の成す群に同型で、それゆえ双曲的三次元多様体の研究において重要な役割を演じる。

物理学においては、メビウス群がリーマン球面に作用するのと同じやり方で、ローレンツ群の単位成分が天球に作用する（実はこれらふたつの群は同型である）。相対論的速度にまで加速した観測者には、地球付近での見え方から無限小メビウス変換に従って連続的に変形された星座が見えているはずである。このような考察はしばしばツイスター理論の出発点として行われる。

メビウス群のいくつかの部分群は（ガウス平面や双曲平面などの）単連結リーマン面上の自己同型群を成す。そのような事情から、メビウス変換はリーマン面の理論においても重要な働きをする。どんなリーマン面の基本群もメビウス群の離散部分群となるのである（フックス群、クライン群など参照）。メビウス群の特に重要な離散部分群としてモジュラー群があり、それはフラクタルやモジュラー形式、楕円曲線あるいはペル方程式などといった多くの理論において中心的な役割を果たしている。

もっと一般に n > 2 なる次元を持つ空間においても、メビウス変換をn-次元超球面からそれ自身への向きを保つ全単射共形変換として定義することができる（そのような変換はその領域における共形変換のもっとも一般な形のものである）。共形写像に関するリウヴィルの定理に従えば、メビウス変換は平行移動、相似変換、直交変換、反転の合成として表すことができる。

定義

メビウス変換の一般形は、a, b, c, d を ad − bc ≠ 0 を満たす任意の複素数として

$f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}$

これらの図は単独のメビウス変換の効果を図示したものである。一径数部分群は、これを図によって示唆される円弧の族に沿って各点を「連続的に」動かすことで生成される。

双曲型変換

α が 0（または 2π の整数倍）ならば、その変換は双曲型であるという。双曲型変換では、各点は不動点の一方から他方へ円軌道に沿って動く。

任意の双曲型メビウス変換で生成される一径数部分群をとれば、この部分群の各変換が同一の二点を不動にするような、連続変換が得られる。不動点以外の点は一方の不動点から出て他方の不動点へ向かう円弧の族に沿って流れる。一般に、二つの不動点はリーマン球面上の相異なる任意の二点にとりうる。

これにも重要な物理的解釈がある。観測者が天球上の北極へ向かって加速度一定で加速する場合を考えると、夜空の様子は 0, ∞ を共通の二つの不動点とする双曲型変換全体の成す一径数部分群によって記述される仕方と全く同じように変化する。ここで実数 ρ は観測者の加速度の大きさに対応する。夜空の星は黄経に沿って南極から北極へ向けて動くように見える（黄経は球面から平面への立体射影で写せば円弧として見える）。

以下は双曲型メビウス変換がリーマン球面上へ与える効果（を平面に立体射影したもの）を図示したものである。

この図は、円弧的流線が二つの不動点の間で一定の角を内在するから、不動点に負の電荷を置いたときの電気力線の様子と似ている。

斜航型変換

ρ も α も 0 でないときは、その変換は斜航型であるという。斜航型変換では、各点は一方の不動点から他方の不動点へSの字の軌道を描いて動く。

「斜航」（loxodrome=航程線）の原義はギリシア語: λοξος（斜めの）+ ギリシア語: δρόμος（行程）である。一定方角を保つ航行を行うとき、例えば北西に進路を保つとすると、航路は対数螺旋を描いて北極の周りを無限に巻いていくものになる。メルカトール図法ではこの航路は、北極と南極を無限遠に射影するとき、直線になる。この経線に対する内在的な斜航角（つまり傾き、あるいは螺旋の巻きの「緊さ」）は、特性定数 k の偏角である。もちろん、北極と南極だけではなくて、メビウス変換はその二つの不動点をどこにでも設定できるけれども、任意の斜航型変換による各点の動きはこの斜航線に沿って各点が動く変換と必ず共軛になる。

任意の斜航型メビウス変換で生成される一係数部分群をとれば、この部分群の各変換が同じ二点を固定するような、連続変換が得られる。固定されない点は全て、一方の不動点から出て他方の不動点へ入るようなある曲線族に従って移動する。これが双曲型の場合と異なるのは、その曲線が円弧ではなくて、リーマン球面から平面への立体射影で写すと、一方の不動点を反時計回りに、他方の不動点を時計回りにそれぞれ無限回廻る、ひねられた螺旋となるような曲線になっていることである。一般に、二つの不動点はリーマン球面の相異なる任意の二点がとれる。

この場合も、二つの不動点が 0 と ∞ であるならば物理的解釈が可能である。観測者がある軸に関して角速度一定で回転しつつ同軸上を一定の速度で移動するものとすれば、このときの夜空の様子は 0 と ∞ を不動点とする斜航型変換全体の成す一径数部分群に従って変化する。実数 ρ および α はそれぞれ軸上の移動速度と軸周りの角速度の大きさを定める。

立体射影

以下の図は、メビウス変換がリーマン球面の上への立体射影であることを示すものである。球面の上への射影をするとき、不動点が無限遠にある特別の場合には、任意の場所に不動点を持つ場合と何も違わないように見えることに特に注意。

一方の不動点が無限遠にある場合
楕円型	双曲型	斜航型
二つの不動点が対蹠の位置にある場合
楕円型	双曲型	斜航型
不動点が任意の場所にある場合
楕円型	双曲型	斜航型

変換の反復適用

メビウス変換 ${\mathfrak {H}}$ が不動点 γ₁, γ₂ と特性定数 k を持つならば、同じ変換の反復合成変換

${\mathfrak {H}}'={\mathfrak {H}}^{n}$

は不動点 γ′₁ = γ₁, γ′₂ = γ₂ と特性定数 k′ = kⁿ を持つ。このことは、反復合成を各段階に分けて図示するときにも利用できる。

変換の極

メビウス変換 ${\mathfrak {H}}$ によって無限遠点 ∞ へ移される点

$z_{\infty }=-{\frac {d}{c}}$

は変換 ${\mathfrak {H}}$ の極 (pole) と呼ばれる。また、無限遠点 ∞ が ${\mathfrak {H}}$ によって移る点

$Z_{\infty }={\frac {a}{c}}$

をしばしば逆極 (inverse pole) と呼ぶ。メビウス変換がひとつ与えられると、この二種類の極の中点は必ずその変換のふたつの不動点の中点にもなっており、したがって

$\gamma _{1}+\gamma _{2}=z_{\infty }+Z_{\infty }$

なる関係式が成立する。これらよっつの点を頂点として平行四辺形が形成され、それをしばしばメビウス変換の特性平行四辺形 (characteristic parallelogram) などと呼び表す。

メビウス変換 ${\mathfrak {H}}$ をそのふたつの不動点 γ₁, γ₂ と極 z_∞ を指定することによって特定することもできる。実際、行列

${\mathfrak {H}}={\begin{pmatrix}Z_{\infty }&-\gamma _{1}\gamma _{2}\\1&-z_{\infty }\end{pmatrix}},\quad Z_{\infty }=\gamma _{1}+\gamma _{2}-z_{\infty }$

で与えられる変換は、γ₁, γ₂ を不動点に持ち、z_∞ を極とする変換になる。このようにすれば、不動点 γ₁, γ₂ が与えられたとき、乗数 k と極 z_∞ の間の変換則として

$z_{\infty }={\frac {k\gamma _{1}-\gamma _{2}}{1-k}},$

$k={\frac {\gamma _{2}-z_{\infty }}{\gamma _{1}-z_{\infty }}}={\frac {Z_{\infty }-\gamma _{1}}{Z_{\infty }-\gamma _{2}}}={\frac {a-c\gamma _{1}}{a-c\gamma _{2}}}$

が得られる。これを成分を用いて書き下せば、

$k={\frac {(a+d)+{\sqrt {(a-d)^{2}+4bc}}}{(a+d)-{\sqrt {(a-d)^{2}+4bc}}}}$

となるが、この最後の式はメビウス変換を表す行列

${\mathfrak {H}}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$

の固有値比 λ₁/λ₂（どちらの固有値を分母にするかで、それらの比は互いに逆数の関係にあるふたつを考えることができるが、そのうちのひとつ）に一致している（先の特性定数に関する節における議論と比較せよ）。実際、この行列の特性多項式は

$\det(\lambda I_{2}-{\mathfrak {H}})=\lambda ^{2}-({\text{tr}}\,{\mathfrak {H}})\lambda +\det {\mathfrak {H}}=\lambda ^{2}-(a+d)\lambda +(ad-bc)$

となり、これは

$\lambda _{i}={\frac {(a+d)\pm {\sqrt {(a-d)^{2}+4bc}}}{2}}={\frac {(a+d)\pm {\sqrt {(a+d)^{2}-4(ad-bc)}}}{2}}=c\gamma _{i}+d$

を根に持つ。

ローレンツ変換

実ミンコフスキー空間は、実数の順序四つ組 (x₀, x₁, x₂, x₃) 全体からなる四次元座標空間 R⁴ に二次形式

$Q(x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})=x_{0}^{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}-x_{3}^{2}$

をあわせて考えたものである。特殊相対論の用語を借りれば、Q > 0 となる点は時間的 (timelike) であると考えられ、さらに x₀ > 0 となる点は未来方向 (future-pointing) であるという。また、Q < 0 となる点は空間的 (spacelike) であるという。零錐 (null cone) S は Q = 0 なる点全体の成す集合をいい、未来方向零錐 (future null cone) N⁺ は零錐の中でも x₀ > 0 なる点全体から成る。したがって、天球は R⁴ の原点を始点とする N⁺ 内の半直線全体の成す集合と同一視される。行列式が正で二次形式 Q と時間方向を保つ R⁴ 上の線型変換全体の成す集合は制限ローレンツ群 SO⁺(1, 3) を成す。

天球の幾何学に関して、その変換群 SO⁺(1, 3) はスピノル上のスピン群の作用を見ることにより、メビウス変換の群 PSL(2, C) と同一視される (Penrose & Rindler 1986)。各 (x₀, x₁, x₂, x₃) ∈ R⁴ に対して、エルミート行列

$X={\begin{bmatrix}x_{0}+x_{1}&x_{2}+ix_{3}\\x_{2}-ix_{3}&x_{0}-x_{1}\end{bmatrix}}$

を対応させれば、この行列 X の行列式は二次形式 Q(x₀, x₁, x₂, x₃) に等しい。このような行列全体の成す空間には、特殊線型群 SL(2, C) がその各元 A に対して

$X\mapsto AXA^{*}$

となるものとして作用する。det A = 1 であるから、SL(2, C) のこの作用は X の行列式を保つ。ゆえに、X の行列式と二次形式 Q との同一視を通して、SL(2, C) の各元はローレンツ変換として作用している。次元的な理由で SL(2,C) は SO(1, 3) の近傍を被覆するが、SL(2, C) は連結ゆえ、制限ローレンツ群 SO⁺(1, 3) の全体を被覆する。さらにいえば、上で与えた作用の核が {±I} なる部分群ならば、商をとることで群の同型

${\mathit {PSL}}(2,\mathbb {C} )\cong {\mathit {SO}}^{+}(1,3)$

が得られる。(x₀, x₁, x₂, x₃) がヌル、つまり行列 X の行列式が 0 であり、したがって複素二次元のベクトル ξ とその複素共軛によって

$X=\xi {\bar {\xi }}^{T}=\xi \xi ^{*}$

と直積に分解される場合に注意を向けよう。二次元ベクトル ξ には SL(2, C) が上で与えた作用と両立するような仕方で作用する。ここで、エルミート行列からなる空間における SL(2, C) の表現の核が {±I} となることは明らかである。

PSL(2, C) の天球への作用も立体射影を用いて幾何学的に記述することができる。まずは、x₀ = 1 で与えられる R⁴ 内の超平面を考え、その超平面と未来方向零錐 N⁺との交わりとして得られる球面 S⁺ と天球とを同一視する。この球面の北極 (1,0,0,1) から平面 x₃ = 0 の上への立体射影は、x₁² + x₂² + x₃² = 1 とするとき、

(1, x₁, x₂, x₃)

なる座標を持つ点を

$\left(1,{\frac {x_{1}}{1-x_{3}}},{\frac {x_{2}}{1-x_{3}}},0\right)$

へ写す。

複素座標函数

$\zeta ={\frac {x_{1}+ix_{2}}{1-x_{3}}}$

を導入すれば、この立体射影の逆変換は S⁺ 上の各点 (x₁, x₂, x₃) に対して

${\begin{aligned}x_{1}&={\frac {\zeta +{\bar {\zeta }}}{\zeta {\bar {\zeta }}+1}}\\x_{2}&={\frac {\zeta -{\bar {\zeta }}}{i(\zeta {\bar {\zeta }}+1)}}\\x_{3}&={\frac {\zeta {\bar {\zeta }}-1}{\zeta {\bar {\zeta }}+1}}\end{aligned}}$

なる式で与えられる。N⁺ への SO⁺(1,3) の作用は超平面 S⁺ を保たないが、S⁺ の各点について（N⁺ の点と思って）作用させたものを、その移動先が再び S⁺ に属するように再スケールしてやることで、SO⁺(1, 3) を複素変数 ζ への作用まで込めて球面 S⁺ に作用させることができる。天球のこの表現から調べるのは用意ではないが、実はこの作用は一次分数変換による作用になっている。逆に、複素変数 ζ に関する任意の一次分数変換を、適当な（一意的に決まる）再スケールを施すことになるかもしれないが、一意的に N⁺ 上のローレンス変換にすることができる。

立体射影の記述をなるべく変えずにより作用が見やすくなるようにするには、変数 ζ = z : w を複素射影直線 CP¹ に対する斉次座標の対の比と考えることである。この立体射影は、C² − {0} から N⁺ への実スケールに関して斉二次の変換

$(z,w)\mapsto (x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})=(z{\bar {z}}+w{\bar {w}},z{\bar {w}}+w{\bar {z}},i^{-1}(z{\bar {w}}-w{\bar {z}}),z{\bar {z}}-w{\bar {w}})$

にすることができて、これは zz + ww = 1 なるスケールに制限すれば、上で述べた対応に一致する。この式の各成分はちょうど、直積

${\begin{bmatrix}x_{0}+x_{1}&x_{2}+ix_{3}\\x_{2}-ix_{3}&x_{0}-x_{1}\end{bmatrix}}=2{\begin{bmatrix}z\\w\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\bar {z}}&{\bar {w}}\end{bmatrix}}$

から得られる。まとめると、制限ローレンツ群 SO⁺(1,3) の作用はメビウス群 PSL(2, C) のそれと一致する。このことは、以下の定義の動機付けになっている。n ≥ 2 に対して、

n-次元メビウス群 Möb(n) とは、n-次元球面 Sⁿ からそれ自身への向きを保つ共形等距変換全体の成す群のことである。

ミンコフスキー空間 R^1,n+1 内の零錐の未来方向半直線全体の成す空間として共形球面を実現することにより、Möb(n) と、行列式が正で時間方向を保つローレンツ変換全体の成す制限ローレンツ変換群 SO⁺(1, n + 1) との間に同型が存在する。

双曲空間

既に見たように、メビウス群 PSL(2,C) はミンコフスキー空間に原点、空間の向き、時間方向を全て保存する等距変換全体の成す群として作用する。また、この作用を正光錐における Q = 1 なる点の全体（これは三次元双曲空間 H³ のモデルを為す）に制限することにより、メビウス群を各元が H³ に向きを保つ等距変換として作用する群として捉えることができる（実際には、メビウス群と三次元双曲空間上の向きを保つ等距変換全体の成す群とは一致する）。

ポアンカレ球体模型を用いて、R³ における単位球体と H³ とを同一視するならば、リーマン球面を H³ の「共形的境界」として考えることができる。これにより、どのような H³ の向きを保つ等距変換からでもリーマン球面上のメビウス変換がえられ、逆にメビウス変換から向きを保つ等距変換もまた同様に得られる。このことは、物理学におけるAdS/CFT対応予想へ至るまさにその最初の所見である。

メビウス群の部分群

メビウス変換の係数 a, b, c, d が ad − bc = 1 を満たす実数である場合を考えると、PSL(2, R)で表されるメビウス群の部分群が得られる。この群は、上半平面 H = {x + iy | y > 0} をそれ自身へ写すメビウス変換全体の成す群であり、また H から H への双正則（あるいは同じことだが、全単射等角かつ向きを保つ）変換全体の成す群である。上半平面に計量を導入して、双曲平面 H² の模型（ポアンカレ平面模型と呼ばれるもの）にすることができるが、このとき PSL(2, R) はこの模型において H² の向きを保つ等距変換全体の成す群に等しい。

開円板 D = {z | |z| < 1} をそれ自身に写すメビウス変換全体の成す部分群は、φ ∈ R, b ∈ C, |b| < 1 なる定数によって得られる

$f(z)=e^{i\phi }{\frac {z+b}{{\bar {b}}z+1}}$

なる形の変換全体から成る。これはまた、D から D への双正則（あるいは同じことだが、全単射、等角かつ向きを保つ）変換全体の成す群にも等しい。適当な計量を入れることにより、D はポアンカレ円板模型と呼ばれる先程のものとは異なる双曲平面の模型にすることができるが、この群は、この模型における H² の向きを保つ等距変換全体の成す群に一致する。

本節に述べたふたつの部分群は、何れも H² の等距変換群としてえられるから、これらは互いに同型である。具体的な同型写像は、開円板を上半平面に全単射に写す変換

$f(z)={\frac {z+i}{iz+1}}$

と共軛変換によって得られる。

メビウス群 ${\mathcal {M}}$ の極大コンパクト部分群は

${\mathcal {M}}_{0}:=\left\{z\mapsto {\frac {uz-{\bar {v}}}{vz+{\bar {u}}}}:|u|^{2}+|v|^{2}=1\right\}$

で与えられる。この部分群は、同型 ${\mathcal {M}}\cong {\mathit {PSL}}(2,\mathbb {C} )$ を通じて、射影特殊ユニタリ群 PSU(2, C) に同型で、この群は 3-次元における回転全体の成す群である特殊直交群 SO(3) にも同型なので、メビウス群の極大コンパクト部分群をリーマン球面における回転全体の成す群として解釈することができる。任意の有限部分群は共軛変換でこの極大コンパクト部分群の中に写され、それゆえそれらの群はちょうど多面体群、三次元における点群に対応する。

メビウス変換からなる正二十面体群はクラインによって (Klein 1888) において五次方程式の解析解を与えるために用いられた（現代的な解説が (Tóth 2012) にある）。

さて、メビウス変換の係数 a, b, c, d を ad − bc = 1 なる整数と仮定するならば、モジュラー群 PSL(2, Z) と呼ばれる PSL(2, R) の離散部分群で、ガウス平面上の格子および、楕円函数、楕円曲線の研究において重要な群を生じる。PSL(2, R) の離散部分群はフックス群として知られ、リーマン面の研究において重要である。

関連項目

• 共形幾何学
• クライン群
• 広義の円
• 射影幾何学
• 双曲幾何
• 双線型写像
• 反転環幾何
• 反転幾何学
• 反転変換
• フックス群
• ポアンカレの上半平面モデル
• モジュラー群
• リー球面幾何学
• ローレンツ群

参考文献

• Arnold, Douglas N.; Rogness, Jonathan (November 2008), “Möbius Transformations Revealed”, Notics of AMS 55 (10): 1226-1231, http://www-users.math.umn.edu/~arnold/papers/moebius.pdf 
• Beardon, Alan F. (2012) [1983], The Geometry of Discrete Groups (Softcover reprint of the original 1st ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-1-4612-7022-5 
• Jones, Gareth A.; Singerman, David (1987), Complex Functions: an Algebraic and Geometric Viewpoint, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-31366-7  - ガロア群として見たローレンツ群とその同型に関しては第2章を参照。
• Hall, G. S. (2004), Symmetries and Curvature Structure in General Relativity, Singapore: World Scientific, ISBN 981-02-1051-5  - ローレンツ群のリー代数におけるリー部分代数および共役に関する類別に関しては第6章を参照。
• Katok, Svetlana (1992), Fuchsian Groups, Chicago:University of Chicago Press, ISBN 978-0-226-42583-2  - 第2章を参照。
• Klein, Felix (2003) [1888], Lectures on the ikosahedron and the solution of equations of the fifth degree, Dover Publication, ISBN 978-0-486-49528-6, http://digital.library.cornell.edu/cgi/t/text/text-idx?c=math;cc=math;view=toc;subview=short;idno=03070001 
  • クライン, フェリックス 著、関口次郎 訳『正20面体と5次方程式』シュプリンガー・フェアラーク東京〈シュプリンガー数学クラシックス〉、1997年4月。 ISBN 978-4-431-70692-2。 
  • クライン, フェリックス 著、関口次郎・前田博信 訳『正20面体と5次方程式』（改訂新版）シュプリンガー・フェアラーク東京〈シュプリンガー数学クラシックス 第5巻〉、2005年10月。 ISBN 978-4-431-71118-6。 
• Knopp, Konrad (2016) [1952], Elements of the Theory of Functions, New York: Dover Publication, ISBN 978-0-486-60154-0  - リーマン球面・立体射影・メビウス変換に関する美しい導入方法についてはこの古典的書籍の第3章から第5章を参照。
• Mumford, David; Series, Caroline; Wright, David (2015) [2002], Indra's Pearls: The Vision of Felix Klein, Cambridge University Press, ISBN 978-1-107-56474-9  - 非数学者向け。図形のイラストが豊富で、理論と結果に関する優れた解説を提供している。
  • マンフォード, D.、シリーズ, C.、ライト, D. 著、小森洋平 訳『インドラの真珠 クラインの夢みた世界』日本評論社、2013年3月。 ISBN 978-4-535-78361-4。 
• Needham, Tristan (1999) [1997], Visual Complex Analysis, Oxford: Clarendon Press, ISBN 978-0-19-853446-4  - メビウス変換とその共役に関する類別を含み、美しいイラストがある導入については第3章を参照。
• Penrose, Roger; Rindler, Wolfgang (1987), Spinors and space-time, Volume 1: Two-spinor calculus and relativistic fields, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-33707-6 
• Tóth, Gábor (2012) [2002], Finite Möbius groups, minimal immersions of spheres, and moduli, Springer, ISBN 978-1-4612-6546-7 

関連文献

• Lawson, M. V. (1998). “The Möbius Inverse Monoid”. Journal of Algebra 200 (2): 428. doi:10.1006/jabr.1997.7242. 

外部リンク

• A java applet allowing you to specify a transformation via its fixed points and so on.
• A java applet demonstrating iterated application of a Möbius transformation to a circle.
• Conformal maps gallery
• Weisstein, Eric W. “Linear Fractional Transformation”. mathworld.wolfram.com (英語).
• Möbius Transformation Module by John H. Mathews
• Linear Fractional Transformations at MathPages
• Möbius Transformations Revealed, by Douglas N. Arnold and Jonathan Rogness (a video by two University of Minnesota professors explaining and illustrating Möbius transformations using stereographic projection from a sphere). A high resolution version in QuickTime format is available at http://www.ima.umn.edu/~arnold/moebius/index.html .

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メビウス変換

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/01 23:03 UTC 版)

「三角関数の公式の一覧」の記事における「メビウス変換」の解説

ƒ(x) と g(x) を以下のようなメビウス変換関数として定義する。 f ( x ) = ( cos ⁡ α ) x − sin ⁡ α ( sin ⁡ α ) x + cos ⁡ α , g ( x ) = ( cos ⁡ β ) x − sin ⁡ β ( sin ⁡ β ) x + cos ⁡ β , このとき以下が成り立つ。 f ( g ( x ) ) = g ( f ( x ) ) = ( cos ⁡ ( α + β ) ) x − sin ⁡ ( α + β ) ( sin ⁡ ( α + β ) ) x + cos ⁡ ( α + β ) . 以下のように書くこともできる。 f α ∘ f β = f α + β .