メビウス函数とは? わかりやすく解説

メビウス関数

(メビウス函数 から転送)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2024/12/16 03:53 UTC 版)

メビウス関数(メビウスかんすう、: Möbius function)は、数論組合せ論における重要な関数である。メビウスの輪で有名なドイツの数学者アウグスト・フェルディナント・メビウス (August Ferdinand Möbius) が1831年に紹介したことから、この名が付けられた。

定義

0 を含めない自然数において、メビウス関数 μ(n) は全ての自然数 n に対して定義され、n素因数分解した結果によって -1、0、1 のいずれかの値をとる。

メビウス関数は次のように定義される(ただし 1 は 0 個の素因数を持つと考える):

  • μ(n) = 0 (n平方因子を持つ(1以外の平方数で割り切れる)とき)
  • μ(n) = (-1)kn が相異なる k 個の素因数に分解されるとき)
    • n が相異なる偶数個の素数の積ならば μ(n) = 1
    • n が相異なる奇数個の素数の積ならば μ(n) = -1

計算例

例えば、6 = 2 × 3 であり、素数の 2 乗で割り切れず、素因数の数は 2 で偶数であるから、μ(6) = 1 である。また、12 = 22 × 3 であり、2 の 2 乗で割り切れるため、μ(12) = 0 である。

n = 1, ..., 10 での μ(n) の値を示す[1]

μ(1) = 1, μ(2) = -1, μ(3) = -1, μ(4) = 0, μ(5) = -1, μ(6) =1, μ(7) = -1, μ(8) = 0, μ(9) = 0, μ(10) = 1
50 以下の n に対する μ(n) の値

性質

メビウス関数は乗法的関数である。すなわち、互いに素m, n に対して、

μ(mn) = μ(m)μ(n)

となる。また、m, n が互いに素でなければ、

μ(mn) = 0

である。

基本公式

また次のような基本的な公式が成り立つ。


メビウス函数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2018/02/06 14:14 UTC 版)

隣接代数 (順序理論)」の記事における「メビウス函数」の解説

ζ は隣接代数において(上で定義した畳み込みに対して可逆であることを示すことができる。(一般に隣接代数の元 h が可逆であるための必要十分条件任意の x に対して h(x,x) が可逆であることである。)ゼータ関数乗法逆元は、メビウス関数 μ(a, b) である。メビウス関数の値は常に、係数環の単位元 1 の整数倍である。

※この「メビウス函数」の解説は、「隣接代数 (順序理論)」の解説の一部です。
「メビウス函数」を含む「隣接代数 (順序理論)」の記事については、「隣接代数 (順序理論)」の概要を参照ください。

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