メビウス関数とは？わかりやすく解説

メビウス関数（メビウスかんすう、英: Möbius function）は、数論や組合せ論における重要な関数である。メビウスの輪で有名なドイツの数学者アウグスト・フェルディナント・メビウス (August Ferdinand Möbius) が1831年に紹介したことから、この名が付けられた。

定義

0 を含めない自然数において、メビウス関数 μ(n) は全ての自然数 n に対して定義され、n を素因数分解した結果によって -1、0、1 のいずれかの値をとる。

メビウス関数は次のように定義される（ただし 1 は 0 個の素因数を持つと考える）：

μ(n) = 0 （n が平方因子を持つ（1以外の平方数で割り切れる）とき）
μ(n) = (-1)^k （n が相異なる k 個の素因数に分解されるとき）
- n が相異なる偶数個の素数の積ならば μ(n) = 1
- n が相異なる奇数個の素数の積ならば μ(n) = -1

例えば、6 = 2 × 3 であり、素数の 2 乗で割り切れず、素因数の数は 2 で偶数であるから、μ(6) = 1 である。また、12 = 2² × 3 であり、2 の 2 乗で割り切れるため、μ(12) = 0 である。

n = 1, ..., 10 での μ(n) の値を示す^[1]

μ(1) = 1, μ(2) = -1, μ(3) = -1, μ(4) = 0, μ(5) = -1, μ(6) =1, μ(7) = -1, μ(8) = 0, μ(9) = 0, μ(10) = 1

メビウス関数は乗法的関数である。すなわち、互いに素な m, n に対して、

μ(mn) = μ(m)μ(n)

となる。また、m, n が互いに素でなければ、

μ(mn) = 0

である。

また次のような基本的な公式が成り立つ。

\sum _{d\mid n}\mu (d)={\begin{cases}1&(n=1)\\0&(n\neq 1)\end{cases}}