ペル方程式とは？わかりやすく解説

ペル方程式（ペルほうていしき、英: Pell's equation）とは、 $n$ を平方数ではない自然数として、未知整数 $x$ , $y$ について

x 2 - ny 2 = 1

の形のディオファントス方程式である。

ペル方程式の一般的な解法は、1150年にインドのバースカラ2世が見つけている。彼はブラーマグプタのチャクラバーラ法（英語版）を改良した解法を使い、同じ技法を応用して不定二次方程式や二次ディオファントス方程式の一般解も見つけた。西洋におけるペル方程式の一般的な解法は、ウィリアム・ブランカーが発見した。しかし、オイラーはこの方程式を研究したのはジョン・ペルであると誤解し「ペル方程式」と命名したため、その名前が広く使われるようになった。

解法

平方数でない正の整数 $n$ に対してペル方程式は必ず自明な解 ( $x = 1, y = 0$ ) 以外の整数解を持つことが知られている。また1つの解 $(x, y)$ を得たとすれば、

x_{k}+y_{k}{\sqrt {n}}=(x+y{\sqrt {n}})^{k}

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