正三角形に近いヘロンの三角形
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/08 10:19 UTC 版)
「ヘロンの三角形」の記事における「正三角形に近いヘロンの三角形」の解説
辺の長さが整数である正三角形の面積は無理数となるので、全ての正三角形はヘロンの三角形ではない。3辺の長さが公差1の等差数列をなす「正三角形に近い」ヘロンの三角形は無限に存在する（オンライン整数列大辞典の数列 A003500）。以下に最初のいくつかを示す。 辺の長さ面積内接円の半径n − 1nn + 13 4 5 6 1 13 14 15 84 4 51 52 53 1170 15 193 194 195 16296 56 723 724 725 226974 209 2701 2702 2703 3161340 780 10083 10084 10085 44031786 2911 37633 37634 37635 613283664 10864 中央の値 n は、前の n を4倍してもう1つ前の n を引いたものになっている(52 = 4 × 14 − 4, 194 = 4 × 52 − 14, etc.)。漸化式で表すと以下のようになる。 n t = 4 n t − 1 − n t − 2 {\displaystyle n_{t}=4n_{t-1}-n_{t-2}} この数列はリュカ数列の一種であり、 n = ( 2 + 3 ) t + ( 2 − 3 ) t {\displaystyle n=(2+{\sqrt {3}})^{t}+(2-{\sqrt {3}})^{t}} と表すこともできる。面積 = A, 内接円の半径 = yとおくと、 ( ( n − 1 ) 2 + n 2 + ( n + 1 ) 2 ) 2 − 2 ( ( n − 1 ) 4 + n 4 + ( n + 1 ) 4 ) = ( 6 n y ) 2 = ( 4 A ) 2 {\displaystyle {\big (}(n-1)^{2}+n^{2}+(n+1)^{2}{\big )}^{2}-2{\big (}(n-1)^{4}+n^{4}+(n+1)^{4}{\big )}=(6ny)^{2}=(4A)^{2}} となり、{n, y} の組は n2 − 12y2 = 4 を満たす。n = 2x と変換すると、ペル方程式 x2 − 3y2 = 1 が得られる。この解は√3の連分数展開によって得られる。
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