正三百六十角形
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/01 08:59 UTC 版)
正三百六十角形においては、中心角と外角は1°で、内角は179°となる。一辺の長さが a の正三百六十角形の面積 S は S = 360 4 a 2 cot π 360 ≃ 10312.97851 a 2 {\displaystyle S={\frac {360}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{360}}\simeq 10312.97851a^{2}} sin 1 ∘ {\displaystyle \sin {1^{\circ }}} を平方根と立方根で表すと、 sin 1 ∘ = 1 + 3 i 16 4 30 − 8 15 + 3 5 + 8 5 + 5 + 4 10 − 4 6 − 4 2 + ( 4 30 + 8 15 + 3 5 + 8 5 + 5 − 4 10 − 4 6 + 4 2 ) i 3 + {\displaystyle \sin {1^{\circ }}={\frac {1+{\sqrt {3}}i}{16}}{\sqrt[{3}]{4{\sqrt {30}}-8{\sqrt {15+3{\sqrt {5}}}}+8{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+4{\sqrt {10}}-4{\sqrt {6}}-4{\sqrt {2}}+\left(4{\sqrt {30}}+8{\sqrt {15+3{\sqrt {5}}}}+8{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}-4{\sqrt {10}}-4{\sqrt {6}}+4{\sqrt {2}}\right)i}}+} cos ( 2 π / 360 ) {\displaystyle \cos(2\pi /360)} を平方根と立方根で表すと、 2 cos 2 π 360 = cos 2 π 120 + i sin 2 π 120 3 + cos 2 π 120 − i sin 2 π 120 3 8 cos 2 π 360 = 64 cos 2 π 120 + i ⋅ 64 sin 2 π 120 3 + 64 cos 2 π 120 − i ⋅ 64 sin 2 π 120 3 cos 2 π 360 = 4 ( 2 ( 1 + 3 ) 5 + 5 + ( 10 − 2 ) ( 3 − 1 ) ) + 4 ( 2 ( 1 − 3 ) 5 + 5 + ( 10 − 2 ) ( 3 + 1 ) ) i 3 + 4 ( 2 ( 1 + 3 ) 5 + 5 + ( 10 − 2 ) ( 3 − 1 ) ) − 4 ( 2 ( 1 − 3 ) 5 + 5 + ( 10 − 2 ) ( 3 + 1 ) ) i 3 8 {\displaystyle {\begin{aligned}2\cos {\frac {2\pi }{360}}=&{\sqrt[{3}]{\cos {\frac {2\pi }{120}}+i\sin {\frac {2\pi }{120}}}}+{\sqrt[{3}]{\cos {\frac {2\pi }{120}}-i\sin {\frac {2\pi }{120}}}}\\8\cos {\frac {2\pi }{360}}=&{\sqrt[{3}]{64\cos {\frac {2\pi }{120}}+i\cdot 64\sin {\frac {2\pi }{120}}}}+{\sqrt[{3}]{64\cos {\frac {2\pi }{120}}-i\cdot 64\sin {\frac {2\pi }{120}}}}\\\cos {\frac {2\pi }{360}}=&{\tfrac {{\sqrt[{3}]{4\left(2\left(1+{\sqrt {3}}\right){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+\left({\sqrt {10}}-{\sqrt {2}}\right)\left({\sqrt {3}}-1\right)\right)+4\left(2\left(1-{\sqrt {3}}\right){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+\left({\sqrt {10}}-{\sqrt {2}}\right)\left({\sqrt {3}}+1\right)\right)i}}+{\sqrt[{3}]{4\left(2\left(1+{\sqrt {3}}\right){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+\left({\sqrt {10}}-{\sqrt {2}}\right)\left({\sqrt {3}}-1\right)\right)-4\left(2\left(1-{\sqrt {3}}\right){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+\left({\sqrt {10}}-{\sqrt {2}}\right)\left({\sqrt {3}}+1\right)\right)i}}}{8}}\\\end{aligned}}}
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