正三十角形
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/08/10 09:44 UTC 版)
正三十角形においては、中心角と外角は12°で、内角は168°となる。一辺の長さが a の正三十角形の面積 S は S = 30 4 a 2 cot π 30 = 15 2 ( 23 + 10 5 + 2 3 ( 85 + 38 5 ) ) a 2 = 15 4 ( 15 + 3 3 + 2 25 + 11 5 ) a 2 ≃ 71.35773 a 2 {\displaystyle {\begin{aligned}S={\frac {30}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{30}}=&{\frac {15}{2}}\left({\sqrt {23+10{\sqrt {5}}+2{\sqrt {3(85+38{\sqrt {5}})}}}}\right)a^{2}\\=&{\frac {15}{4}}\left({\sqrt {15}}+3{\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}{\sqrt {25+11{\sqrt {5}}}}\right)a^{2}\\\simeq &71.35773a^{2}\end{aligned}}} cos ( 2 π / 30 ) {\displaystyle \cos(2\pi /30)} は有理数と平方根の組み合わせのみで表せる。 cos 2 π 30 = cos π 15 = cos 12 ∘ = 1 8 ( 6 ( 5 + 5 ) + 5 − 1 ) {\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{30}}=\cos {\frac {\pi }{15}}=\cos 12^{\circ }={\frac {1}{8}}\left({\sqrt {6\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}+{\sqrt {5}}-1\right)\,}
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