正三十八角形
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/10 21:57 UTC 版)
正三十八角形においては、中心角と外角は9.473…°で、内角は170.526…°となる。一辺の長さが a の正三十八角形の面積 S は S = 38 4 a 2 cot π 38 ≃ 114.64795 a 2 {\displaystyle S={\frac {38}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{38}}\simeq 114.64795a^{2}} cos ( 2 π / 38 ) {\displaystyle \cos(2\pi /38)} を平方根と立方根で表すことが可能である。正十九角形も参照。 以下ように x 1 , x 2 , x 3 {\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}} をおくと x 1 = 2 cos 2 π 38 + 2 cos 22 π 38 + 2 cos 14 π 38 = 1 + − 133 + 57 3 i 2 3 + − 133 − 57 3 i 2 3 3 x 2 = 2 cos 6 π 38 + 2 cos 10 π 38 + 2 cos 34 π 38 = 1 + ω 2 − 133 + 57 3 i 2 3 + ω − 133 − 57 3 i 2 3 3 x 3 = 2 cos 18 π 38 + 2 cos 30 π 38 + 2 cos 26 π 38 = 1 + ω − 133 + 57 3 i 2 3 + ω 2 − 133 − 57 3 i 2 3 3 {\displaystyle {\begin{aligned}&x_{1}=2\cos {\frac {2\pi }{38}}+2\cos {\frac {22\pi }{38}}+2\cos {\frac {14\pi }{38}}={\frac {1+{\sqrt[{3}]{\frac {-133+57{\sqrt {3}}i}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {-133-57{\sqrt {3}}i}{2}}}}{3}}\\&x_{2}=2\cos {\frac {6\pi }{38}}+2\cos {\frac {10\pi }{38}}+2\cos {\frac {34\pi }{38}}={\frac {1+\omega ^{2}{\sqrt[{3}]{\frac {-133+57{\sqrt {3}}i}{2}}}+\omega {\sqrt[{3}]{\frac {-133-57{\sqrt {3}}i}{2}}}}{3}}\\&x_{3}=2\cos {\frac {18\pi }{38}}+2\cos {\frac {30\pi }{38}}+2\cos {\frac {26\pi }{38}}={\frac {1+\omega {\sqrt[{3}]{\frac {-133+57{\sqrt {3}}i}{2}}}+\omega ^{2}{\sqrt[{3}]{\frac {-133-57{\sqrt {3}}i}{2}}}}{3}}\\\end{aligned}}} 以下の三次方程式を解くことにより求めることができる。 x 3 − x 2 − 6 x + 7 = 0 {\displaystyle x^{3}-x^{2}-6x+7=0} さらに、以下のような関係式が得られる。 ( 2 cos 2 π 38 + ω ⋅ 2 cos 22 π 38 + ω 2 ⋅ 2 cos 14 π 38 ) 3 = 3 x 1 + 7 x 2 − 12 − 6 ω ( x 2 − 1 ) + 3 ω 2 ( x 1 + 1 ) ( 2 cos 2 π 38 + ω 2 ⋅ 2 cos 22 π 38 + ω ⋅ 2 cos 14 π 38 ) 3 = 3 x 1 + 7 x 2 − 12 − 6 ω 2 ( x 2 − 1 ) + 3 ω ( x 1 + 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}&\left(2\cos {\frac {2\pi }{38}}+\omega \cdot 2\cos {\frac {22\pi }{38}}+\omega ^{2}\cdot 2\cos {\frac {14\pi }{38}}\right)^{3}=3x_{1}+7x_{2}-12-6\omega (x_{2}-1)+3\omega ^{2}(x_{1}+1)\\&\left(2\cos {\frac {2\pi }{38}}+\omega ^{2}\cdot 2\cos {\frac {22\pi }{38}}+\omega \cdot 2\cos {\frac {14\pi }{38}}\right)^{3}=3x_{1}+7x_{2}-12-6\omega ^{2}(x_{2}-1)+3\omega (x_{1}+1)\\\end{aligned}}} 両辺の立方根を取ると 2 cos 2 π 38 + ω ⋅ 2 cos 22 π 38 + ω 2 ⋅ 2 cos 14 π 38 = 3 x 1 + 7 x 2 − 12 − 6 ω ( x 2 − 1 ) + 3 ω 2 ( x 1 + 1 ) 3 2 cos 2 π 38 + ω 2 ⋅ 2 cos 22 π 38 + ω ⋅ 2 cos 14 π 38 = 3 x 1 + 7 x 2 − 12 − 6 ω 2 ( x 2 − 1 ) + 3 ω ( x 1 + 1 ) 3 {\displaystyle {\begin{aligned}2\cos {\frac {2\pi }{38}}+\omega \cdot 2\cos {\frac {22\pi }{38}}+\omega ^{2}\cdot 2\cos {\frac {14\pi }{38}}=&{\sqrt[{3}]{3x_{1}+7x_{2}-12-6\omega (x_{2}-1)+3\omega ^{2}(x_{1}+1)}}\\2\cos {\frac {2\pi }{38}}+\omega ^{2}\cdot 2\cos {\frac {22\pi }{38}}+\omega \cdot 2\cos {\frac {14\pi }{38}}=&{\sqrt[{3}]{3x_{1}+7x_{2}-12-6\omega ^{2}(x_{2}-1)+3\omega (x_{1}+1)}}\\\end{aligned}}} よって 6 cos 2 π 38 = x 1 + 3 x 1 + 7 x 2 − 12 − 6 ω ( x 2 − 1 ) + 3 ω 2 ( x 1 + 1 ) 3 + 3 x 1 + 7 x 2 − 12 − 6 ω 2 ( x 2 − 1 ) + 3 ω ( x 1 + 1 ) 3 {\displaystyle {\begin{aligned}6\cos {\frac {2\pi }{38}}=&x_{1}+{\sqrt[{3}]{3x_{1}+7x_{2}-12-6\omega (x_{2}-1)+3\omega ^{2}(x_{1}+1)}}+{\sqrt[{3}]{3x_{1}+7x_{2}-12-6\omega ^{2}(x_{2}-1)+3\omega (x_{1}+1)}}\\\end{aligned}}} 整理すると cos 2 π 38 = 1 6 ( 1 + − 133 + 57 3 i 2 3 + − 133 − 57 3 i 2 3 3 + − 38 + ( 10 ω 2 − 3 ) − 133 + 57 3 i 2 3 + ( 10 ω + 6 ) − 133 − 57 3 i 2 3 3 3 + − 38 + ( 10 ω 2 + 6 ) − 133 + 57 3 i 2 3 + ( 10 ω − 3 ) − 133 − 57 3 i 2 3 3 3 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\cos {\frac {2\pi }{38}}=&{\frac {1}{6}}\left({\tfrac {1+{\sqrt[{3}]{\frac {-133+57{\sqrt {3}}i}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {-133-57{\sqrt {3}}i}{2}}}}{3}}+{\sqrt[{3}]{\tfrac {-38+(10\omega ^{2}-3){\sqrt[{3}]{\frac {-133+57{\sqrt {3}}i}{2}}}+(10\omega +6){\sqrt[{3}]{\frac {-133-57{\sqrt {3}}i}{2}}}}{3}}}+{\sqrt[{3}]{\tfrac {-38+(10\omega ^{2}+6){\sqrt[{3}]{\frac {-133+57{\sqrt {3}}i}{2}}}+(10\omega -3){\sqrt[{3}]{\frac {-133-57{\sqrt {3}}i}{2}}}}{3}}}\right)\\\end{aligned}}}
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