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14

作者kayo

収載図書うそ日記―57人のブロガーによる初のアンソロジー
出版社アメーバブックス
刊行年月2005.12

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14

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/11/27 10:06 UTC 版)

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13 ← 14 → 15
素因数分解	2×7
二進法	1110
六進法	22
八進法	16
十二進法	12
十六進法	E
二十進法	E
ローマ数字	XIV
漢数字	十四
大字	拾四
算木

14（十四、じゅうし、じゅうよん、とおよん、とおあまりよつ）は自然数、また整数において、13の次で15の前の数である。ラテン語では quattuordecim（クァットゥオルデキム）。

性質

14は合成数であり、正の約数は 1, 2, 7, 14 である。
- 約数の和は24。
  - 約数の和が3の倍数になる7番目の数である。1つ前は11、次は15。
  - 約数の和が4の倍数になる5番目の数である。1つ前は12、次は15。
  - 自身の数14を除く約数の和は10より不足数である。
- 約数を4個もつ4番目の数である。1つ前は10、次は15。
  - 約数を n 個もつ n 番目の数である。1つ前は25。次は14641。(オンライン整数列大辞典の数列 A073916)
14 = 1² + 2² + 3²
- 3番目の四角錐数である。1つ前は5、次は30。
  - 初めの3つの四角数の和 (14 = 1 + 4 + 9) である。
- 3連続整数の平方和で表せる自然数の範囲では最小の数である。ただし整数の範囲だと1つ前は5、次は29。
- 自然数の平方和とみたとき1つ前は5、次は30。
- n = 2 のときの 1ⁿ + 2ⁿ + 3ⁿ の値とみたとき1つ前は6、次は36。
  - 14 = 0² + 1² + 2² + 3²
    - 4連続整数の平方和とみたとき1つ前は6、次は30。ただし負の数を含まないときは最小。
- 3つの平方数の和1通りで表せる6番目の数である。1つ前は12、次は17。(オンライン整数列大辞典の数列 A025321)
- 異なる3つの平方数の和1通りで表せる最小の自然数である。次は21。(オンライン整数列大辞典の数列 A025339)
- 異なる3つの平方数の和 n 通りで表せる自然数のうち最小のものである。次の2通りは62。(オンライン整数列大辞典の数列 A025415)
4番目のカタラン数である。1つ前は5、次は42。

14={\frac {8!}{5!\times 4!}}={\frac {6\times 7\times 8}{1\times 2\times 3\times 4}}

記号	Unicode	JIS X 0213	文字参照	名称
⑭	`U+246D`	`1-13-14`	`⑭` `⑭`	CIRCLED DIGIT FOURTEEN
⒁	`U+2481`	`-`	`⒁` `⒁`	PARENTHESIZED DIGIT FOURTEEN
⒕	`U+2495`	`-`	`⒕` `⒕`	DIGIT FOURTEEN FULL STOP
⓮	`U+24EE`	`1-12-14`	`⓮` `⓮`	DOUBLE CIRCLED DIGIT FOURTEEN

2桁までの自然数
(0)	1	2	3	4	5	6	7	8	9
10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
20	21	22	23	24	25	26	27	28	29
30	31	32	33	34	35	36	37	38	39
40	41	42	43	44	45	46	47	48	49
50	51	52	53	54	55	56	57	58	59
60	61	62	63	64	65	66	67	68	69
70	71	72	73	74	75	76	77	78	79
80	81	82	83	84	85	86	87	88	89
90	91	92	93	94	95	96	97	98	99
斜体で表した数は素数である。

正の数と負の数

(14 から転送)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/04/07 03:45 UTC 版)

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この記事には参考文献や外部リンクの一覧が含まれていますが、脚注による参照が不十分であるため、情報源が依然不明確です。適切な位置に脚注を追加して、記事の信頼性向上にご協力ください。（2019年1月）

数学における正の数（せいのすう、英: positive number; 正数）は、0より大きい実数を言う。対照的に、負の数（ふのすう、英: negative number）は、0より小さい実数である。（とくに初等数学・算術や初等数論などの）文脈によっては、（暗黙の了解のもと）特に断りなく、より限定的な範囲の正の有理数や正の整数という意味で単に「正の数」と呼んでいる場合がある（負の数も同様）。

定義

数学において負数はマイナス記号を数字の前につけて表されるが、簿記などでは数字を赤くしたり三角形を数字の前に付けることによって表すこともある。

零は増減の無い状態であるため、正でも負でもない。負でない数 (non-negative number) とは零より小さくない、つまり零または正の実数である。正でない数 (non-positive number) とは零より大きくない、つまり零または負の実数である。

注意: 複素数の体系で考えている場合、そのうち実数についてのみ正負を論じ、虚数は正でも負でもないとされる。例えば「正の数」と言えば、それが実数であることを暗黙のうちに含意するが、明確化のために「正の実数」ということもできる。; 一般に順序体において、零元より大きな元を正の元、零元より小さな元を負の元という（後述）。順序体ではない体、例えば複素数体、有限体、p 進数体においては、四則演算と両立する正負の概念を定義することができない。

負の数

負の整数は、方程式 x − y = z がどんな x と y に対しても、z に関する方程式として意味をもつように自然数の体系を拡張して得られるものだと考えられる。このような負の整数の捉え方と同様にして、負の有理数や負の実数も得られる。

負数は、温度のように目盛り上で零より低くなる値を記述するのに有用である。簿記においても、負債の表現に使用できる。簿記において、負債はしばしば赤い数字（赤字）や三角形を前に付けた数字によって表す。

負でない数

負でない数は非負（ひふ）であるといわれる。ゼロに等しいかそれより大きい（すなわち正であるかゼロである）実数を、非負実数（ひふじっすう）という。非負実数は負でない。実数は、負の実数か、非負実数のいずれかである。非負実数のうち整数となるものを非負整数（ひふせいすう）という。

関数

符号関数

定義域が実数であり、正数に対して1を、負数に対して−1を、ゼロに対して0を返す関数 sgn(x) を定義できる。この関数は符号関数と呼ばれることがある。

\operatorname {sgn}(x)=\left\{{\begin{matrix}-1&:x<0\\\;0&:x=0\\\;1&:x>0\end{matrix}}\right.

9 − 5 = 4

（9歳年下の人物と5歳年下の人物は、4歳離れている。）

7 − (−2) = 9

（7歳年下の人物と2歳年上の人物は、9歳離れている。）

−4 + 12 = 8

（4歳年上の人物から12歳年下の人物は、自分の8歳年下である。）

5 + (−3) = 5 − 3 = 2

（¥5を持っていて¥3を借りたら、純資産は¥2である）

–2 + (−5) = −2 − 5 = −7

減算と負符号の概念の混乱を避けるため、負符号を上付きで書く場合もある（ただし、会計では負符号を△で表現する）。

⁻2 + ⁻5 = ⁻2 − 5 = ⁻7

△2 + △5 = △2 − 5 = △7

正数をより小さな正数から減ずると、結果は負となる。

4 − 6 = −2

（¥4を持っていて¥6を使ったら、負債¥2が残る）

正数を任意の負数から引くと、結果は負となる。

−3 − 6 = −9

（負債が¥3あってさらに¥6を使ったら、負債は¥9となる）

負数を減ずることは、対応する正数を加えることと等価である。

5 − (−2) = 5 + 2 = 7

（純資産¥5を持っていて負債を¥2減らしたら、新たな純資産は¥7となる）

別の例

−8 − (−3) = −5

（負債が¥8あって負債を¥3減らしたら、まだ¥5の負債が残る）

乗算

負数を掛けることは、正負の方向を逆転させることになる。負数に正数を掛けると、積は負数のままとなる。しかし、負数に負数を掛けると、積は正数となる^[1]。

(−20) × 3 = −60

（負債¥20を3倍にすれば、負債¥60になる。）

(−40) × (−2) = 80

（後方へ毎時40km進む車は、2時間前には現在地から前方へ80kmの位置にいた。）

これを理解する方法の1つは、正数による乗算を、加算の繰り返しと見なすことである。3 × 2 は各グループが2を含む3つのグループと考える。したがって、3 × 2 = 2 + 2 + 2 = 6 であり、当然 −2 × 3 = (−2) + (−2) + (−2) = −6 である。

負数による乗算も、加算の繰り返しと見なすことができる。例えば、3 × −2は各グループが−2を含む3つのグループと考えられる。

3 × −2 = (−2) + (−2) + (−2) = −6

これは乗算の交換法則を満たすことに注意

3 × −2 = −2 × 3 = −6

「負数による乗算」と同じ解釈を負数に対しても適用すれば、以下のようになる。

−4 × −3	= − (−4) − (−4) − (−4)
	= 4 + 4 + 4
	= 12

しかし形式的な視点からは、2つの負数の乗算は、積の和に対する分配法則によって直接得られる。

−1 × −1	= (−1) × (−1) + (−2) + 2
	= (−1) × (−1) + (−1) × 2 + 2
	= (−1) × (−1 + 2) + 2
	= (−1) × 1 + 2
	= (−1) + 2
	= 1

除算

除算も乗算と同じく、負数で割ることは、正負の方向を逆転させることになる。負数を正数で割ると、商は負数のままとなる。しかし、負数を負数で割ると、商は正数となる。

被除数と除数の符号が異なるなら、商は負数となる。

(−90) ÷ 3 = −30

（負債¥90を3人で分けると、負債¥30ずつ継承される。）

24 ÷ (−4) = −6

（東を正数、西を負数とする場合：4時間後に東へ24km地点に進む車は、1時間前には西へ6kmの位置にいる。）

両方の数が同じ符号を持つなら、商は（両方が負数であっても）正数となる。

(−12) ÷ (−3) = 4

累乗

累乗は乗算や除算と同じく、指数を正数にすると、「n乗」に倍増される。しかし、指数を負数にすると、「1 / n乗」に分割される。つまり、指数 n を正数にすると「n 回乗算を繰り返す」ことになるが、指数 n を負数にすると「n 回除算を繰り返す」ことになる。

3³ = 27

（×3 ×3 ×3 = 27）

3⁻³ = 1/27

（÷3 ÷3 ÷3 = 1/27）

360 × 2³ = 2880

（360 ×2 ×2 ×2 = 2880）

36 × 5⁻¹ = 7.2

（36 ÷5 = 7.2）

負の整数と負でない整数の形式的な構成

有理数の場合と同様、整数を自然数の順序対 (a, b) （これは整数 a − b を表していると考えることができる）を下に述べるようにして同一視したものとして定義することによって自然数の集合Nを整数の集合Zに拡張できる。これらの順序対に対する加法と乗法の拡張は以下の規則による。

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)

(a, b) × (c, d) = (a × c + b × d, a × d + b × c)

ここで以下の規則により、これらの順序対に同値関係 ~ を定義する。

(a, b) ~ (c, d) となるのは a + d = b + c なる場合、およびこの場合に限る

この同値関係は上記の加法と乗法の定義と矛盾せず、ZをN²の ~ による商集合として定義できる。すなわち2つの順序対 (a, b) と (c, d) が上記の意味で同値であるとき同一視する。

さらに以下の通り全順序をZに定義できる。

(a, b) ≤ (c, d) となるのは a + d ≤ b + c となる場合、およびこの場合に限る

これにより加法の零元が (a, a) の形式で、(a, b) の加法の逆元が (b, a) の形式で、乗法の単位元が (a + 1, a) の形式で導かれ、減法の定義が以下のように導かれる。

(a, b) − (c, d) = (a + d, b + c).

負の数の起源

長い間、問題に対する負の解は「誤り」であると考えられていた。これは、負数を実世界で見付けることができなかったためである（例えば、負数のリンゴを持つことはできない）。その抽象概念は早ければ紀元前100年 – 紀元前50年には認識されていた。中国の『九章算術』には図の面積を求める方法が含まれている。赤い算木で正の係数を、黒い算木で負の係数を示し、負の数がかかわる連立方程式を解くことができた。紀元後7世紀ごろに書かれた古代インドの『バクシャーリー写本』^[2]は"+"を負符号として使い、負の数による計算を行っていた。これらが現在知られている最古の負の数の使用である。

プトレマイオス朝エジプトではディオファントスが3世紀に『算術』で 4x + 20 = 0 （解は負となる）と等価な方程式に言及し、この方程式はばかげていると言っており、古代地中海世界に負数の概念がなかったことを示している。

7世紀の間に、負数はインドで負債を表すために使われていた。インドの数学者ブラーマグプタは『ブラーフマスプタ・シッダーンタ』（628年）において、今日も使われている一般化された形式の解の公式を作るために、負数を使うことについて論じている。彼は二次方程式の負の解を発見し、負数と零が関わる演算に関する規則も与えている。彼は正数を「財産」、零を「0 (cipher)」、負の数を「借金」と呼んだ^[3]^[4]。12世紀のインドで、バースカラ2世も二次方程式に負の根を与えていたが、問題の文脈では不適切なものとして負の根を拒絶している。

8世紀以降、イスラム世界はブラーマグプタの著書のアラビア語訳から負の数を学び、紀元1000年頃までには、アラブの数学者は負債に負の数を使うことを理解していた。

負の数の知識は、最終的にアラビア語とインド語の著書のラテン語訳を通してヨーロッパに到達した。

しかし、ヨーロッパの数学者はそのほとんどが、17世紀まで負数の概念に抵抗を見せた。ただしフィボナッチは、『算盤の書』（1202年）の第13章で負数を負債と解釈し、後には『精華』で損失と解釈して金融問題に負の解を認めた。同時に、中国人は右端のゼロでない桁に斜線を引くことによって負数を表した。ヨーロッパ人の著書で負数が使われたのは、15世紀中のシュケによるものが最初であった。彼は負数を指数として使ったが、「馬鹿げた数」であると呼んだ。

イギリスの数学者フランシス・マセレス[2]は1759年、負数は存在しないという結論に達した^[5]。

負数は現代まで十分に理解されていなかった。つい18世紀まで、スイスの数学者レオンハルト・オイラーは負数が無限大より大きいと信じており（この見解はジョン・ウォリスと共通である）、方程式が返すあらゆる負の解を意味がないものとして無視することが普通だった^[6]。負数が無限大より大きいという論拠は、 ${\frac {1}{x}}$ の商と、x が正の側から x = 0 の点に近づき、交差した時何が起きるかの考察によって生じている。

一般化

正の行列

正行列: 実行列Aについて、Aが負でないということを、Aのすべての成分が負でない、というふうに定めることができる。このとき、実行列のうちには正とも負とも言えないものもあることになる。また、実行列Aについて、Aの全ての正方部分行列の行列式が負でないとき、Aのことを完全に非負（行列理論）あるいは、完全に正（コンピュータ科学者）と呼ぶことがある。
正定値行列: 一方で、線形代数学的な観点から、実対称行列やより一般に複素エルミート行列について、上とは異なった正負の概念がしばしば用いられる。エルミート行列Aは、その固有値の全てが負でないときに、負でない（あるいは単に、正である）とよばれる。Aが負でないということはある行列BについてAが B*.Bと書けることと同値になる（行列の定値性も参照）。無限次元の場合として、函数解析学における正作用素の概念が対応する。

正錐

「順序群#定義」、「順序線型空間#正錐（英語版）」、および「順序体#定義」も参照

抽象代数学の言葉では、正の数の全体 $P$ は実数全体 $ℝ$ の正錐（英語版）と呼ばれる対象を成す。これにより $ℝ$ は加法に関して順序群、加法と乗法に関して順序体と呼ばれる構造を持ち、また逆に、順序群や順序体としての $ℝ$ の正錐 $P$ が与えられれば「正の数とは $P$ の任意の元のことである」と述べることができる。

$xy$ -平面 $ℝ 2$ の第一象限（英語版）や $xyz$ -空間 $ℝ 2$ の $x > 0, y > 0, z > 0$ なる八分象限（英語版）などが順序線型空間としての正錐の例であり、この構造に「錐」の名称がつけられている理由をみることができる。

これらのような順序構造において、正錐はそれぞれの付加構造によって記述できる良い性質を様々に持つ。

函数解析学における正作用素全体の成す凸錐もまたそのような例であり、より抽象的にバナッハ環、C*-環における正の元（英語版）などが考察の対象となる。

脚注

^ 『相対論の式を導いてみよう、そして、人に話そう』（小笠英志、ベレ出版、ISBN 978-4860642679）の PP.121-127にマイナス×マイナスがプラスになることの小学生も納得できる説明が書いてある。
^ Hayashi, Takao (2005), "Indian Mathematics", in Flood, Gavin, The Blackwell Companion to Hinduism, Oxford: Basil Blackwell, 616 pages, pp. 360-375, ISBN 978-1-4051-3251-0.
^ Colva Roney-Dougal, Lecturer in Pure Mathematics at the University of St Andrews, stated this on the BBC Radio 4 "In Our Time", on Negative Numbers, 9 March 2006.
^ Knowledge Transfer and Perceptions of the Passage of Time, ICEE-2002 Keynote Address by Colin Adamson-Macedo. [1]
^ Maseres, Francis, 1731–1824. A dissertation on the use of the negative sign in algebra, 1758.
^ Alberto A. Martinez, Negative Math: How Mathematical Rules Can Be Positively Bent, Princeton University Press, 2006; おもに1600年代から1900年代前半にかけての、負数に関する論争の歴史。

外部リンク

Weisstein, Eric W. "Positive Number". MathWorld（英語）. / Weisstein, Eric W. "Negative Number". MathWorld（英語）.
positive - PlanetMath.（英語） / negative number - PlanetMath.（英語）
positive number in nLab
Definition:Positive Number at ProofWiki / Definition:Negative Number at ProofWiki
BBC Radio 4 series "In Our Time", on Negative Numbers, March 9, 2006（英語）
Endless Examples & Exercises: Operations With Signed Integers（英語）
Math Forum: Ask Dr. Math FAQ: Negative Times a Negative（英語）

1/4

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/01/05 09:22 UTC 版)

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この項目では、有理数 1/4 （4分の1）について説明しています。月日については「1月4日」をご覧ください。

1/4（4分の1、よんぶんのいち、しぶんのいち）は、0 と 1 の間にある有理数の一つであり、4 の逆数である。

数学的性質

1 ÷ 4 に等しい。
1/4は、素因数に2が含まれているN進法であれば有限小数になる。
- 1/4 = 0.01₍₂₎ = 0.0202…₍₃₎ = 0.1111…₍₅₎ = 0.13₍₆₎ = 0.2₍₈₎ = 0.2222…₍₉₎ = 0.25₍₁₀₎ = 0.3₍₁₂₎ = 0.3B3B…₍₁₅₎ = 0.4₍₁₆₎ = 0.49₍₁₈₎ = 0.5₍₂₀₎ になる。(下線部は循環節)
1/2 の自乗に等しい。1/4 = (1/2)²
単偶数の 1/4 は半整数である。
${\sqrt {\sqrt {x}}}$ は $x^{\frac {1}{4}}$ に等しい。
級数 1 − 2 + 3 − 4 + … は 1/4 に収束すると考えることもできる。

その他 1/4 に関すること

全体に占める割合が 1/4 の物を、日本語では四半（例：四半期、四半世紀）、英語では quarter という（ラテン語で 1/4 を意味する quartus から）。
中国数学では弱半と呼ぶ。
日本では、4人の祖父母のうち1人だけが外国人である人をクォーターという。民族などが異なる血が 1/4 流れている人、という意味である。
日本国憲法第53条では臨時国会について「いずれかの議院の総議員の四分の一以上の要求があれば、内閣は、その召集を決定しなければならない。」と規定している。
かつてFIFAワールドカップ・予選にて、1/4枠が振り分けられたサッカー連盟があった。
- 1966年イングランドW杯予選では、AFCとOFCに 1/4枠が振り分けられた。しかし、枠の振り分けに不満を持った AFC、OFC、予選で同組に入れられたCAFはFIFAに提訴するも却下され、予選出場を辞退・不参加（日本も含む）する国が続出した（詳細は1966 FIFAワールドカップ・アフリカ・アジア・オセアニア予選を参照）。
- 1994年アメリカW杯予選では、OFCに 1/4枠が振り分けられた。オーストラリアがオセアニア予選を勝ち抜き、大陸間プレーオフに出場。2連勝すればW杯出場だったが、1戦目のカナダ（北中米カリブ海予選2位チーム）に勝つも、2戦目のアルゼンチンに敗れ、本大会出場を逃した（詳細は1994 FIFAワールドカップ・予選を参照）。
新約聖書には1か所「四分の一」という表現がある。
「そして見ていると、見よ、青白い馬が現れ、乗っている者の名は「死」といい、これに陰府が従っていた。彼らには、地上の四分の一を支配し、剣と飢饉と死をもって、更に地上の野獣で人を滅ぼす権威が与えられた。」(ヨハネの黙示録 6章 8節)

符号位置

記号	Unicode	JIS X 0213	文字参照	名称
¼	`U+00BC`	`1-9-19`	`¼` `¼` `¼`	4分の1

14とは？

14

14

目次

性質

その他 14 に関連すること

符号位置

関連項目

正の数と負の数

目次

定義

負の数

負でない数

関数

符号関数

乗算

除算

累乗

負の整数と負でない整数の形式的な構成

負の数の起源

一般化

正の行列

正錐

関連項目

脚注

外部リンク

1/4

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数学的性質

その他 1/4 に関すること

符号位置

関連項目

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