14

短編小説作品名辞典

14

作者kayo

収載図書うそ日記―57人のブロガーによる初のアンソロジー
出版社アメーバブックス
刊行年月2005.12

ウィキペディア

14

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/11/17 07:25 UTC 版)

13 ← 14 → 15
素因数分解	2×7
二進法	1110
三進法	112
四進法	32
五進法	24
六進法	22
七進法	20
八進法	16
十二進法	12
十六進法	E
二十進法	E
二十四進法	E
三十六進法	E
ローマ数字	XIV
漢数字	十四
大字	拾四
算木

14（十四、じゅうし、じゅうよん、とおよん、とおあまりよつ）は自然数、また整数において、13の次で15の前の数である。ラテン語では quattuordecim（クァットゥオルデキム）。

性質

• 14は合成数であり、正の約数は 1, 2, 7, 14 である。
  • 約数の和は24。
    • 約数の和が3の倍数になる7番目の数である。1つ前は11、次は15。
    • 約数の和が4の倍数になる5番目の数である。1つ前は12、次は15。
    • 自身の数14を除く約数の和は10より不足数である。
  • 約数を4個もつ4番目の数である。1つ前は10、次は15。
    • 約数を n 個もつ n 番目の数である。1つ前は25。次は14641。(オンライン整数列大辞典の数列 A073916)
• 14 = 1² + 2² + 3²
  • 3番目の四角錐数である。1つ前は5、次は30。
    • 初めの3つの四角数の和 (14 = 1 + 4 + 9) である。
  • 3連続整数の平方和で表せる自然数の範囲では最小の数である。ただし整数の範囲だと1つ前は5、次は29。
  • 自然数の平方和とみたとき1つ前は5、次は30。
  • n = 2 のときの 1ⁿ + 2ⁿ + 3ⁿ の値とみたとき1つ前は6、次は36。
    • 14 = 0² + 1² + 2² + 3²
      • 4連続整数の平方和とみたとき1つ前は6、次は30。ただし負の数を含まないときは最小。
  • 3つの平方数の和1通りで表せる6番目の数である。1つ前は12、次は17。(オンライン整数列大辞典の数列 A025321)
  • 異なる3つの平方数の和1通りで表せる最小の自然数である。次は21。(オンライン整数列大辞典の数列 A025339)
  • 異なる3つの平方数の和 n 通りで表せる自然数のうち最小のものである。次の2通りは62。(オンライン整数列大辞典の数列 A025415)
• 4番目のカタラン数である。1つ前は5、次は42。

${\displaystyle 14={\frac {8!}{5!\times 4!}}={\frac {6\times 7\times 8}{1\times 2\times 3\times 4}}}$

1/4

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/09/29 16:52 UTC 版)

この項目では、有理数 1/4 （4分の1）について説明しています。月日については「1月4日」をご覧ください。

1/4（4分の1、よんぶんのいち、しぶんのいち）は、0 と 1 の間にある有理数の一つであり、4 の逆数である。小数表示は 0.25 である。

数学的性質

• 1 ÷ 4 に等しい。
• 1/2 の自乗に等しい。1/4 = (1/2)²
• 単偶数の 1/4 は半整数である。
• ${\displaystyle {\sqrt {\sqrt {x}}}}$

丸数字

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/09/12 01:27 UTC 版)

この項目には、一部のコンピュータや閲覧ソフトで表示できない文字（丸数字）が含まれています（詳細）。

丸数字（まるすうじ）とは、数字を丸で囲っているもののことである。丸付き数字（まるつきすうじ）・丸囲み数字（まるかこみすうじ）とも呼ばれる。

数字を丸で囲むことによってほかの数字と区別する目的などで多く使用される。

手書きのころから、数字を丸で囲むことは頻繁に行われていた。

丸数字は古くから使われており、出版にも使われていたことから、印刷機では活字として早い時期から実装されていた。また官庁などの刊行物においては、頻繁に使用される。

日本の多くの地域において丸数字を読み上げるときは囲いの部分を先に読み、中の数字を後に読む。ただし山形県では中の数字を先に読み、囲いの部分を後に読む。①を例に挙げると前者は「まるいち」、後者は「いちまる」となる^[1]。

ウィキペディア日本語版においては、基本的には丸数字は使用せず、代わりに (1), (2), (3) などを使用することになっている。

詳細は「Wikipedia:表記ガイド#丸数字」を参照

用例

法律

国の法律・政令・府省令などや、自治体の条例・規則などでは、様式中で使う場合を除いて丸数字を使わないが、役所などに備え付けられている縦書・加除式の法令集・例規集では、項（各条の中で段落分けされた部分）の番号を丸数字で記載している場合がある。これは、ある時期以前に制定された古い法令・例規で、正式な条文には項番号が付されていないため、利用者の便利のために編集者が記載したものである。現在制定される法令・例規では正式な条文に算用数字で項番号を付している。

設問

設問において、選択肢の数字を丸で囲むことでその項目を選択したことを表す用法として使われる。

電算処理のためにマークシート用紙を使用する選択肢の場合は、逆に選択番号そのものを丸数字にして、マークシート用紙上の丸数字を塗りつぶす使用方法で使われる。

歯科医療

歯科医療においては歯の状態を示すために、丸数字や二重丸数字が使用される。

囲碁

囲碁において、紙面などで碁盤上の対局の局面を表す方法として使用される。白、黒の石ごとにそれぞれ黒、白で数字を記載する。

麻雀

麻雀の牌譜を文字で記録する場合、筒子を丸数字で表す場合がある。

競馬・競艇等

競馬や競艇、オートレースなどでは、馬番や選手番号などの競技対象を区別する番号を丸数字で表記する。スポーツ新聞などにおいて勝敗を予想するときに「本命」や「穴」などを示すために、白丸数字だけでなく、二重白丸数字や黒丸数字などが使用されることも多い。

スポーツ

• 多くのスポーツでは背番号を丸数字で表現することがある。
• ボウリングではスプリットの場合に丸数字で残っているピンを表示する。

コンピュータにおける丸数字

文字としての丸数字

JIS X 0208

• JIS X 0208（例えば文字コード規定例としてISO-2022-JP、EUC-JP）には丸数字が規定されていない。1978年の制定時には、0294の円を「合成用丸」としていたが、その後その記号を合成用文字として実装する環境がほとんど出てこなかったことからその後のJISの改訂において「大きな丸」という名称になり、合成用文字という用途からは外された。
• PC-9800シリーズでは、JIS X 0208内の数字では不足することから98文字（きゅーはちもじ）と呼ばれる外字をJIS X 0208に追加し、その中に丸数字が丸1（①）から丸20（⑳）まで含まれていた。
• Macintoshでは、漢字Talk 7.1で日本語TrueTypeフォントを標準添付した際、通商産業省の外郭団体「文字フォント開発普及センター」が策定した外字セット（「通産省外字」と俗称されている）を採用したため、丸1（①）から丸20（⑳）をPC-9800シリーズとは別のコード位置に追加し、また黒丸1（❶）から黒丸9（❾）までも追加し、MacJapaneseとした。PostScriptフォントでは、ほぼすべてのものが、以前からの互換性を保つため98文字をそのままのコード位置で実装し続けたため、丸数字を含む外字セットは2本立てとなった。
• Microsoft Windowsでは、PC-9800シリーズとの互換性を保つため98文字をそのままのコード位置で実装し、それをMicrosoftコードページ932（CP932）とした。
• 丸数字はJIS X 0208では規定されておらず、WindowsとMacintoshで実装されているものの、それぞれ別の符号位置であるため、コード名（CP932など）を正しく提示する場合を除けば、機種依存文字として情報交換で使用するには不適切であると見なされた。

JIS X 0213

• JIS X 0213においては、丸1（①）から丸50（㊿）、黒丸1（❶）から黒丸20（⓴）、二重丸1（⓵）から二重丸10（⓾）までが追加された。例えば文字コード規定例としてISO-2022-JP-2004では、丸1（①）から丸20（⑳）までのコード位置はPC-9800シリーズやWindowsなどにおける同じ位置としてある。
• Unicodeには、JIS X 0213で規定された記号が含まれている。ただし、JIS X 0213とUnicodeのいずれにおいても丸1から丸50までが連続したコード位置にあるわけではない。このほかにゴシック体の丸数字（🄋-➉）および黒丸数字（🄌-➓）が装飾文字として収録されているほか、丸0（⓪）・黒丸0（⓿）も収録されている。
• 丸数字はJIS X 0213ではJIS規格に含まれるようになったため、コード名（UTF-8など）を正しく提示する限りにおいて、機種依存文字などとして不適切視しない考え方も増えている。
• Adobe-Japan1-4では、丸51から丸100まで、さらに丸「00」から丸「09」まで、2桁の数字を丸の中に割り付けたグリフが定義されており、このグリフを持ったフォントであれば表示・印刷等の対応が可能であるものの、フォントによって実装の状況が異なるため、使用には注意を要する。

合成する使用方法

ワープロソフトなどの中には数字と丸を組み合わせる、「囲い文字」という機能が付いているものがある。

これは、丸などの中に数字などを入れて、囲い文字を作成する方法で、この方法によって丸数字を作成することもできる。

また、合成用の丸 (U+20DD) を数字の後につけることでの表現も可能。例えば丸で囲んだ「1」（①）は、U+0031, U+20DDのシーケンスで 「 1⃝ 」のように表せる^[2]。

この節の加筆が望まれています。

符号位置

丸数字

記号	Unicode	JIS X 0213	文字参照	名称
⓪	U+24EA	-	⓪ ⓪	丸0
①	U+2460	1-13-1	① ①	丸1
②	U+2461	1-13-2	② ②	丸2
③	U+2462	1-13-3	③ ③	丸3
④	U+2463	1-13-4	④ ④	丸4
⑤	U+2464	1-13-5	⑤ ⑤	丸5
⑥	U+2465	1-13-6	⑥ ⑥	丸6
⑦	U+2466	1-13-7	⑦ ⑦	丸7
⑧	U+2467	1-13-8	⑧ ⑧	丸8
⑨	U+2468	1-13-9	⑨ ⑨	丸9
⑩	U+2469	1-13-10	⑩ ⑩	丸10
⑪	U+246A	1-13-11	⑪ ⑪	丸11
⑫	U+246B	1-13-12	⑫ ⑫	丸12
⑬	U+246C	1-13-13	⑬ ⑬	丸13
⑭	U+246D	1-13-14	⑭ ⑭	丸14
⑮	U+246E	1-13-15	⑮ ⑮	丸15
⑯	U+246F	1-13-16	⑯ ⑯	丸16
⑰	U+2470	1-13-17	⑰ ⑰	丸17
⑱	U+2471	1-13-18	⑱ ⑱	丸18
⑲	U+2472	1-13-19	⑲ ⑲	丸19
⑳	U+2473	1-13-20	⑳ ⑳	丸20
㉑	U+3251	1-8-33	㉑ ㉑	丸21
㉒	U+3252	1-8-34	㉒ ㉒	丸22
㉓	U+3253	1-8-35	㉓ ㉓	丸23
㉔	U+3254	1-8-36	㉔ ㉔	丸24
㉕	U+3255	1-8-37	㉕ ㉕	丸25
㉖	U+3256	1-8-38	㉖ ㉖	丸26
㉗	U+3257	1-8-39	㉗ ㉗	丸27
㉘	U+3258	1-8-40	㉘ ㉘	丸28
㉙	U+3259	1-8-41	㉙ ㉙	丸29
㉚	U+325A	1-8-42	㉚ ㉚	丸30
㉛	U+325B	1-8-43	㉛ ㉛	丸31
㉜	U+325C	1-8-44	㉜ ㉜	丸32
㉝	U+325D	1-8-45	㉝ ㉝	丸33
㉞	U+325E	1-8-46	㉞ ㉞	丸34
㉟	U+325F	1-8-47	㉟ ㉟	丸35
㊱	U+32B1	1-8-48	㊱ ㊱	丸36
㊲	U+32B2	1-8-49	㊲ ㊲	丸37
㊳	U+32B3	1-8-50	㊳ ㊳	丸38
㊴	U+32B4	1-8-51	㊴ ㊴	丸39
㊵	U+32B5	1-8-52	㊵ ㊵	丸40
㊶	U+32B6	1-8-53	㊶ ㊶	丸41
㊷	U+32B7	1-8-54	㊷ ㊷	丸42
㊸	U+32B8	1-8-55	㊸ ㊸	丸43
㊹	U+32B9	1-8-56	㊹ ㊹	丸44
㊺	U+32BA	1-8-57	㊺ ㊺	丸45
㊻	U+32BB	1-8-58	㊻ ㊻	丸46
㊼	U+32BC	1-8-59	㊼ ㊼	丸47
㊽	U+32BD	1-8-60	㊽ ㊽	丸48
㊾	U+32BE	1-8-61	㊾ ㊾	丸49
㊿	U+32BF	1-8-62	㊿ ㊿	丸50
🄋	U+1F10B	-	🄋 🄋	DINGBAT CIRCLED SANS-SERIF DIGIT ZERO
➀	U+2780	-	➀ ➀	DINGBAT CIRCLED SANS-SERIF DIGIT ONE
➁	U+2781	-	➁ ➁	DINGBAT CIRCLED SANS-SERIF DIGIT TWO
➂	U+2782	-	➂ ➂	DINGBAT CIRCLED SANS-SERIF DIGIT THREE
➃	U+2783	-	➃ ➃	DINGBAT CIRCLED SANS-SERIF DIGIT FOUR
➄	U+2784	-	➄ ➄	DINGBAT CIRCLED SANS-SERIF DIGIT FIVE
➅	U+2785	-	➅ ➅	DINGBAT CIRCLED SANS-SERIF DIGIT SIX
➆	U+2786	-	➆ ➆	DINGBAT CIRCLED SANS-SERIF DIGIT SEVEN
➇	U+2787	-	➇ ➇	DINGBAT CIRCLED SANS-SERIF DIGIT EIGHT
➈	U+2788	-	➈ ➈	DINGBAT CIRCLED SANS-SERIF DIGIT NINE
➉	U+2789	-	➉ ➉	DINGBAT CIRCLED SANS-SERIF DIGIT TEN

黒丸数字

記号	Unicode	JIS X 0213	文字参照	名称
⓿	U+24FF	-	⓿ ⓿	黒丸0
❶	U+2776	1-12-1	❶ ❶	黒丸1
❷	U+2777	1-12-2	❷ ❷	黒丸2
❸	U+2778	1-12-3	❸ ❸	黒丸3
❹	U+2779	1-12-4	❹ ❹	黒丸4
❺	U+277A	1-12-5	❺ ❺	黒丸5
❻	U+277B	1-12-6	❻ ❻	黒丸6
❼	U+277C	1-12-7	❼ ❼	黒丸7
❽	U+277D	1-12-8	❽ ❽	黒丸8
❾	U+277E	1-12-9	❾ ❾	黒丸9
❿	U+277F	1-12-10	❿ ❿	黒丸10
⓫	U+24EB	1-12-11	⓫ ⓫	黒丸11
⓬	U+24EC	1-12-12	⓬ ⓬	黒丸12
⓭	U+24ED	1-12-13	⓭ ⓭	黒丸13
⓮	U+24EE	1-12-14	⓮ ⓮	黒丸14
⓯	U+24EF	1-12-15	⓯ ⓯	黒丸15
⓰	U+24F0	1-12-16	⓰ ⓰	黒丸16
⓱	U+24F1	1-12-17	⓱ ⓱	黒丸17
⓲	U+24F2	1-12-18	⓲ ⓲	黒丸18
⓳	U+24F3	1-12-19	⓳ ⓳	黒丸19
⓴	U+24F4	1-12-20	⓴ ⓴	黒丸20
🄌	U+1F10C	-	🄌 🄌	DINGBAT NEGATIVE CIRCLED SANS-SERIF DIGIT ZERO
➊	U+278A	-	➊ ➊	DINGBAT NEGATIVE CIRCLED SANS-SERIF DIGIT ONE
➋	U+278B	-	➋ ➋	DINGBAT NEGATIVE CIRCLED SANS-SERIF DIGIT TWO
➌	U+278C	-	➌ ➌	DINGBAT NEGATIVE CIRCLED SANS-SERIF DIGIT THREE
➍	U+278D	-	➍ ➍	DINGBAT NEGATIVE CIRCLED SANS-SERIF DIGIT FOUR
➎	U+278E	-	➎ ➎	DINGBAT NEGATIVE CIRCLED SANS-SERIF DIGIT FIVE
➏	U+278F	-	➏ ➏	DINGBAT NEGATIVE CIRCLED SANS-SERIF DIGIT SIX
➐	U+2790	-	➐ ➐	DINGBAT NEGATIVE CIRCLED SANS-SERIF DIGIT SEVEN
➑	U+2791	-	➑ ➑	DINGBAT NEGATIVE CIRCLED SANS-SERIF DIGIT EIGHT
➒	U+2792	-	➒ ➒	DINGBAT NEGATIVE CIRCLED SANS-SERIF DIGIT NINE
➓	U+2793	-	➓ ➓	DINGBAT NEGATIVE CIRCLED SANS-SERIF DIGIT TEN

二重丸数字

記号	Unicode	JIS X 0213	文字参照	名称
⓵	U+24F5	1-6-58	⓵ ⓵	二重丸1
⓶	U+24F6	1-6-59	⓶ ⓶	二重丸2
⓷	U+24F7	1-6-60	⓷ ⓷	二重丸3
⓸	U+24F8	1-6-61	⓸ ⓸	二重丸4
⓹	U+24F9	1-6-62	⓹ ⓹	二重丸5
⓺	U+24FA	1-6-63	⓺ ⓺	二重丸6
⓻	U+24FB	1-6-64	⓻ ⓻	二重丸7
⓼	U+24FC	1-6-65	⓼ ⓼	二重丸8
⓽	U+24FD	1-6-66	⓽ ⓽	二重丸9
⓾	U+24FE	1-6-67	⓾ ⓾	二重丸10

脚注

[脚注の使い方]

1. ^ 山形県民はなぜ（1）を「いちかっこ」と読むのか　専門家に見解を聞いた, Jタウンネット, 閲覧日:2021年12月04日
2. ^ OSやフォントによっては、2桁の数字が1つの合成用丸に収まるレンダリングになる場合がある（例: 「42⃝」、これはWindows XPのFirefoxにて「Cambria Math」のフォントを使用すると「㊷」のような表示となるが、本来は合成用丸が1文字に対応しているため「4②」と表示されるべきである）。

関連項目

• 囲み文字
• ARIB外字
• 機種依存文字

正の数と負の数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/02/01 01:43 UTC 版)

この記事には参考文献や外部リンクの一覧が含まれていますが、脚注による参照が不十分であるため、情報源が依然不明確です。適切な位置に脚注を追加して、記事の信頼性向上にご協力ください。（2019年1月）

数学における正の数（せいのすう、英: positive number, plus number, above number; 正数）は、0より大きい実数である。対照的に負の数（ふのすう、英: negative number, minus number, below number; 負数）は、0より小さい実数である。とくに初等数学・算術や初等数論などの文脈によっては、（暗黙の了解のもと）特に断りなく、より限定的な範囲の正の有理数や正の整数という意味で単に「正の数」と呼んでいる場合がある。負の数も同様である。

関数

符号関数

定義域が実数であり、正数に対して1を、負数に対して−1を、ゼロに対して0を返す関数 sgn(x) を定義できる。この関数は符号関数と呼ばれることがある

${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)=\left\{{\begin{matrix}-1&:x<0\\\;0&:x=0\\\;1&:x>0\end{matrix}}\right.}$

• 9 − 5 = 4

（9歳年下の人物と5歳年下の人物は、4歳離れている。）

• 7 − (−2) = 9

（7歳年下の人物と2歳年上の人物は、9歳離れている。）

• −4 + 12 = 8

（¥4の負債があって収益による¥12の資産を得たら、純資産は¥8である）（注:純資産＝資産総額－負債総額）

• 5 + (−3) = 5 − 3 = 2

（¥5の資産を持っていて¥3の負債ができたら、純資産は¥2である）

• –2 + (−5) = −2 − 5 = −7

（¥2の負債があってさらに¥5の負債ができたら、負債は合わせて¥7になる）

減算と負符号の概念の混乱を避けるため、負符号を上付きで書く場合もある（ただし、会計では負符号を△で表現する）。

⁻2 + ⁻5 = ⁻2 − 5 = ⁻7

△2 + △5 = △2 − 5 = △7

正数をより小さな正数から減ずると、結果は負となる。

4 − 6 = −2

（¥4を持っていて¥6を使ったら、負債¥2が残る）

正数を任意の負数から引くと、結果は負となる。

−3 − 6 = −9

（負債が¥3あってさらに¥6を使ったら、負債は¥9となる）

負数を減ずることは、対応する正数を加えることと等価である。

5 − (−2) = 5 + 2 = 7

（純資産¥5を持っていて負債を¥2減らしたら、新たな純資産は¥7となる）

別の例

−8 − (−3) = −5

（負債が¥8あって負債を¥3減らしたら、まだ¥5の負債が残る）

乗算

負数を掛けることは、正負の方向を逆転させることになる。負数に正数を掛けると、積は負数のままとなる。しかし、負数に負数を掛けると、積は正数となる^[1]。

(−20) × 3 = −60

（負債¥20を3倍にすれば、負債¥60になる。）

(−40) × (−2) = 80

（後方へ毎時40km進む車は、2時間前には現在地から前方へ80kmの位置にいた。）

これを理解する方法の1つは、正数による乗算を、加算の繰り返しと見なすことである。3 × 2 は各グループが2を含む3つのグループと考える。したがって、3 × 2 = 2 + 2 + 2 = 6 であり、当然 −2 × 3 = (−2) + (−2) + (−2) = −6 である。

負数による乗算も、加算の繰り返しと見なすことができる。例えば、3 × −2は各グループが−2を含む3つのグループと考えられる。

3 × −2 = (−2) + (−2) + (−2) = −6

これは乗算の交換法則を満たすことに注意

3 × −2 = −2 × 3 = −6

「負数による乗算」と同じ解釈を負数に対しても適用すれば、以下のようになる。

−4 × −3	=   − (−4) − (−4) − (−4)
	=  4 + 4 + 4
	=  12

しかし形式的な視点からは、2つの負数の乗算は、積の和に対する分配法則によって直接得られる。

−1 × −1	=  (−1) × (−1) + (−2) + 2
	=  (−1) × (−1) + (−1) × 2 + 2
	=  (−1) × (−1 + 2) + 2
	=  (−1) × 1 + 2
	=  (−1) + 2
	=  1

除算

除算も乗算と同じく、負数で割ることは、正負の方向を逆転させることになる。負数を正数で割ると、商は負数のままとなる。しかし、負数を負数で割ると、商は正数となる。

被除数と除数の符号が異なるなら、商は負数となる。

(−90) ÷ 3 = −30

（負債¥90を3人で分けると、負債¥30ずつ継承される。）

24 ÷ (−4) = −6

（東を正数、西を負数とする場合：4時間後に東へ24km地点に進む車は、1時間前には西へ6kmの位置にいる。）

両方の数が同じ符号を持つなら、商は（両方が負数であっても）正数となる。

(−12) ÷ (−3) = 4

累乗

累乗は乗算や除算と同じく、指数を正数にすると、「n乗」に倍増される。しかし、指数を負数にすると、「1 / n乗」に分割される。つまり、指数 n を正数にすると「n 回乗算を繰り返す」ことになるが、指数 n を負数にすると「n 回除算を繰り返す」ことになる。

3³ = 27

（×3 ×3 ×3 = 27）

3⁻³ = 1/27

（÷3 ÷3 ÷3 = 1/27）

360 × 2³ = 2880

（360 ×2 ×2 ×2 = 2880）

36 × 5⁻¹ = 7.2

（36 ÷5 = 7.2）

負の整数と負でない整数の形式的な構成

有理数の場合と同様、整数を自然数の順序対 (a, b) （これは整数 a − b を表していると考えることができる）を下に述べるようにして同一視したものとして定義することによって自然数の集合Nを整数の集合Zに拡張できる。これらの順序対に対する加法と乗法の拡張は以下の規則による。

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)

(a, b) × (c, d) = (a × c + b × d, a × d + b × c)

ここで以下の規則により、これらの順序対に同値関係 ~ を定義する。

(a, b) ~ (c, d) となるのは a + d = b + c なる場合、およびこの場合に限る

この同値関係は上記の加法と乗法の定義と矛盾せず、ZをN²の ~ による商集合として定義できる。すなわち2つの順序対 (a, b) と (c, d) が上記の意味で同値であるとき同一視する。

さらに以下の通り全順序をZに定義できる。

(a, b) ≤ (c, d) となるのは a + d ≤ b + c となる場合、およびこの場合に限る

これにより加法の零元が (a, a) の形式で、(a, b) の加法の逆元が (b, a) の形式で、乗法の単位元が (a + 1, a) の形式で導かれ、減法の定義が以下のように導かれる。

(a, b) − (c, d) = (a + d, b + c).

負の数の起源

長い間、問題に対する負の解は「誤り」であると考えられていた。これは、負数を実世界で見付けることができなかったためである（例えば、負数のリンゴを持つことはできない）。その抽象概念は早ければ紀元前100年 – 紀元前50年には認識されていた。中国の『九章算術』には図の面積を求める方法が含まれている。赤い算木で正の係数を、黒い算木で負の係数を示し、負の数がかかわる連立方程式を解くことができた。紀元後7世紀ごろに書かれた古代インドの『バクシャーリー写本』^[2]は"+"を負符号として使い、負の数による計算を行っていた。これらが現在知られている最古の負の数の使用である。

プトレマイオス朝エジプトではディオファントスが3世紀に『算術』で 4x + 20 = 0 （解は負となる）と等価な方程式に言及し、この方程式はばかげていると言っており、古代地中海世界に負数の概念がなかったことを示している。

7世紀の間に、負数はインドで負債を表すために使われていた。インドの数学者ブラーマグプタは『ブラーフマスプタ・シッダーンタ』（628年）において、今日も使われている一般化された形式の解の公式を作るために、負数を使うことについて論じている。彼は二次方程式の負の解を発見し、負数と零が関わる演算に関する規則も与えている。彼は正数を「財産」、零を「0 (cipher)」、負の数を「借金」と呼んだ^[3][4]。12世紀のインドで、バースカラ2世も二次方程式に負の根を与えていたが、問題の文脈では不適切なものとして負の根を拒絶している。

8世紀以降、イスラム世界はブラーマグプタの著書のアラビア語訳から負の数を学び、紀元1000年頃までには、アラブの数学者は負債に負の数を使うことを理解していた。

負の数の知識は、最終的にアラビア語とインド語の著書のラテン語訳を通してヨーロッパに到達した。

しかし、ヨーロッパの数学者はそのほとんどが、17世紀まで負数の概念に抵抗を見せた。ただしフィボナッチは、『算盤の書』（1202年）の第13章で負数を負債と解釈し、後には『精華』で損失と解釈して金融問題に負の解を認めた。同時に、中国人は右端のゼロでない桁に斜線を引くことによって負数を表した。ヨーロッパ人の著書で負数が使われたのは、15世紀中のシュケによるものが最初であった。彼は負数を指数として使ったが、「馬鹿げた数」であると呼んだ。

イギリスの数学者フランシス・マセレス[2]は1759年、負数は存在しないという結論に達した^[5]。

負数は現代まで十分に理解されていなかった。つい18世紀まで、スイスの数学者レオンハルト・オイラーは負数が無限大より大きいと信じており（この見解はジョン・ウォリスと共通である）、方程式が返すあらゆる負の解を意味がないものとして無視することが普通だった^[6]。負数が無限大より大きいという論拠は、${\displaystyle {\frac {1}{x}}}$

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