19とは？

三省堂 大辞林

いっく 【一九】

⇒ 十返舎じつぺんしや一九

>>『三省堂 大辞林』の表記・記号についての解説を見る

映画情報

19

原題：
製作国：	日本
製作年：	2001
配給：	ギャガ・コミュニケーションズ

スタッフ
監督：	Kazushi Watanabe　ワタナベカズシ
製作総指揮：	Kazuhito Tanaka　タナカカスヒト
プロデューサー：	Katsuaki Takemoto　タケモトタツアキ
	Tsutomu Kuno　クノツトム
脚色：	Kazushi Watanabe　ワタナベカズシ
音楽：	Knockers Records　コッカーズ・レコーズ
美術：	Masahide Kuwabara　クワバラマサヒデ
編集：	Yoshio Sugano　スガノヨシオ
	Kazushi Watanabe　ワタナベカズシ
録音：	Kouya Sato　サトウコウヤ
スチール：	Hisashi Yoneyama　ヨネカワヒサシ
音響効果：	Yukio Fukushima　フクシマユキコ
その他：	Yoichi Sakai　サカイヨウイチ
	Toshihiro Osato　オーサトトシヒロ
	Masakazu Oka　オカマサカズ
助監督：	Makoto Oishi　オーイシマコト
照明：	Hideaki Yamakawa　ヤマカワヒデアキ

キャスト（役名）

Daijiro Kawaoka　カワオカダイジロウ　（宇佐美）

Kazushi Watanabe　ワタナベカズシ　（横浜）

Takeo Noro　ノロタケオ　（千葉）

Ryo Shinmyo　シンミョウリョウ　（神戸）

Masashi Endo　エンドウマサシ　（浜辺の男）

Nachi Nozawa　ノザワナチ　（警官）

Yusuke Suzuki　スズキユースケ

Ikko Suzuki　スズキイッコ

Shoichi Koido　コイドショーイチ

Takao Oikawa　オイカワタカオ

Kenta Shira　シラケンタ

Ryo Kato　カトーリョウ

Hiromi Nakata　ナカタヒロミ

Chicako Masuda　マスダチカコ

Yoshiyuki Shimizu　シミズヨシユキ

Taro Uchiyama　ウチヤマタロウ

Ippei Yasuda　ヤスダイッペイ

Kasunari Ikeda　イケダカスナリ

解説

3人組のチンピラと、彼らに拉致された大学生の間に芽生える奇妙な絆を描く青春ドラマ。監督は、本作が劇場用初監督作となる渡辺一志で、デビューのきっかけとなった96年PFF準グランプリ受賞の8㎜作品「19」の脚本を基に監督自ら脚色。撮影を「地雷を踏んだらサヨウナラ」の岡雅一が担当している。主演は、「ゴト師株式会社　ルーキーズ2」の川岡大次郎と「visitor Q」の渡辺一志。

ストーリー※ストーリーの結末まで記載されていますので、ご注意ください

ごく普通の大学生・宇佐美は、白昼堂々、車に乗った3人組の男・横浜、千葉、神戸に拉致される。逃げることを許されない彼は、しかし社会のルールなど無視の3人とのあてのない旅の中で、彼らに友情とも羨望ともつかない奇妙な感情を抱くようになっていく。しかし、新たに浜辺で拉致した男を誤って宇佐美が射殺してしまったことから事態は一変。死体を隠した4人は、逃走用の車を奪う為、またしても殺人を犯すこととなる。警察の検問を潜り抜け、更なる旅を続ける4人。だが突然、横浜が宇佐美を解放した。意外な展開に戸惑いを隠せない宇佐美は、彼を残して走り去る車を寂しそうにいつまでも見送るのだった。

ウィキペディア

19

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/05/03 02:01 UTC 版)

18 ← 19 → 20
素因数分解	19 （素数）
二進法	10011
六進法	31
八進法	23
十二進法	17
十六進法	13
十八進法	11
二十進法	J
ローマ数字	XIX
漢数字	十九
大字	拾九
算木

19（十九、じゅうきゅう、じゅうく、とおあまりここのつ）は自然数、また整数において、18 の次で 20 の前の数である。英語の序数詞では、19th、nineteenth となる。ラテン語では undeviginti（ウーンデーウィーギンティー）。

性質

• 8番目の素数である。1つ前は17、次は23。
  • 約数の和は20 。
• 17 とペアの (17, 19) は4番目に小さな双子素数である。一つ前は (11, 13)、次は (29, 31)。
• 4数の組 (11, 13, 17, 19) は2番目に小さな四つ子素数である。一つ前は (5, 7, 11, 13)、次は (101, 103, 107, 109)。
• 3番目の 8n + 3 型の素数であり、この類の素数は x² + 2y² と表せるが、19 = 1² + 2 × 3² である。1つ前は11、次は43。
• レピュニット R₁₉ = 1,111,111,111,111,111,111 は 2 番目に小さなレピュニット素数である。1つ前のレピュニット素数は R₂ = 11、次は R₂₃。
• 2¹⁹ − 1 = 524287 は7番目のメルセンヌ素数である。1つ前は17、次は31。
• 4番目の交互階乗 4! − 3! + 2! − 1! である。1つ前は 5、次は 101。
• 19919, 19 + 9 + 19 = 47, 19 − 9 + 19 = 1 + 9 + 9 + 1 + 9 = 29, 1 + 9 + 9 + 1 − 9 = 11, 1 + 9 + 919 = 929 はいずれも素数である。
• 1/19 は取りうる中で最大の18桁の循環小数となる。

  0.052631578947368421…（下線部は循環節）

  • 循環節が n − 1（全ての余りを巡回する）である3番目の素数である。1つ前は17、次は23。
  • 前の素数 17 もこの仲間であり、双子素数のうち最初の組み合わせとなる。1000 以下でこのような双子素数は「59・61」、「179・181」、「821・823」である。
  • 17, 19 の次の 23, 29 も該当するため、連続する4つ以上の素数が「循環節 ＝ n − 1」となる最初の組み合わせとなる。次は「487・491・499・503・509」（5つ連続）である。
• 全ての自然数は、高々19個の4乗数の和で表すことができる。（ウェアリングの問題）
• 19⁵ + 19² + 19¹ + 19³ + 19⁵ + 19⁶ + 19⁴ + 19⁰ = 52135640

左辺の指数を取り出して並べると、右辺の各桁の数に一致するという特徴を併せ持つ。

• 19! = 121645100408832000 である（18桁）。
• 1辺3の立方体を1辺1の立方体27個を使って作ったとき、同時に見ることができる1辺1の立方体は最大19個である。
• 各位の和が19となるハーシャッド数の最小は874、1000までに1個、10000までに33個ある。
• 19 = (1 + 9) + (1 × 9) 、各位の和と各位の積を加えてできる最小の数である。ただし整数の範囲だと1つ前は0、次は29。(オンライン整数列大辞典の数列 A038364)
• 各位の和が10になる最小の数である。次は28。
  • 各位の和が10になる数で素数になる最小の数である。次は37。(オンライン整数列大辞典の数列 A107579)
• 各位の積が9になる2番目の数である。1つ前は9、次は33。(オンライン整数列大辞典の数列 A034056)
  • 各位の積が9になる数で最小の素数である。次は191。(オンライン整数列大辞典の数列 A107695)
• フィボナッチ数列を構成する最初の5数の和である。(1+2+3+5+8=19)1つ前は11、次は32。
• 異なる平方数の和で表すことの出来ない31個の数の中で10番目の数である。1つ前は18、次は21。
• 八面体数の第3の自然数。1つ前は6、次は44。
• 19 = 3³ − 2³
  • (n + 1)³ − n³ で表せる3番目の数である。1つ前は7、次は37。(オンライン整数列大辞典の数列 A003215)
  • 連続する立方数の差で表せる2番目の素数である。1つ前は7、次は37。
• 中心つき三角数かつ中心つき六角数である。

基本的な計算のリスト

乗法

x	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22
$19\times x$	19	38	57	76	95	114	133	152	171	190	209	228	247	266	285	304	323	342	361	380	399	418
x	23
$19\times x$	437

その他 19 に関連すること

• 19の接頭辞：novemdec,novendec（拉）、enneakaideca（希）
• 19倍をノヴェムデキュプル (novemdecuple) という。
• 原子番号19の元素は、カリウム (K)。
• 第19代天皇は、允恭天皇。
• 第19代内閣総理大臣は、原敬。
• 通算して第19代の征夷大将軍は、足利義満（室町幕府第3代将軍）。
• 大相撲第19代横綱は、常陸山谷右エ門。
• アメリカ合衆国第19代大統領は、ラザフォード・ヘイズ。
• アメリカ合衆国の19番目の州は、インディアナ州。
• JIS X 0401、ISO 3166-2:JPの都道府県コードの「19」は山梨県。
• 殷朝第19代帝は、盤庚。
• 周朝第19代王は、頃王。
• 第19代ローマ教皇はアンテルス（在位：235年11月21日 - 236年1月3日）である。
• タロットの大アルカナでXIXは、太陽。
• 易占の六十四卦で第19番目の卦は、地沢臨。
• クルアーンにおける第19番目のスーラはマルヤムである。
• テレビ大阪、TVQ九州放送のアナログ親局は、19ch。
• 日本語で発音が重苦（じゅうく）に通じるため19という数字が忌み嫌われる場合がある。
• 19年で、同じ日付の日の月相（月の缺け方）が一致する。これをメトン周期という。
• 十九日月を寝待月（ねまちづき）、臥待月（ふしまちづき）という。
• 十九路盤は、囲碁に使われる最も標準的な碁盤。（縦横19本の線が交差している事から）。
• 19インチラックは、機器類を収容する為のキャビネット。
• プロ野球で野田浩司は、1試合19奪三振のゲーム最多記録を保持。
• 山鼻19条停留場は、札幌市電山鼻線の停留場。
• ルノー・19は、フランスのルノーの乗用車。
• A-19は、ソ連のカノン砲。
• Do 19は、ドイツの爆撃機。
• F-19は、アメリカの存在しない航空機の形式番号。
• K-19は、ソ連の658型潜水艦。
  • K-19 (映画)は、この潜水艦を主題にした2002年のアメリカ映画。
• L-19
• MiG-19は、ソ連の戦闘機。
• PP-19 Bizonは、ロシアの短機関銃。
• PT-19は、アメリカの練習機。
• Su-19は、ソ連の戦闘爆撃機。
• XB-19は、アメリカの試作爆撃機。
• 伊号第一九潜水艦（伊19）は、日本の潜水艦。
• キ19は、日本の試作爆撃機。
• 第19軍
  • 大日本帝国陸軍第19軍
  • 第二次世界大戦時のドイツ陸軍第19軍
  • アメリカ空軍第19空軍
• 各国の第19師団
• 第19連隊
  • 大日本帝国陸軍歩兵第19連隊
  • 陸上自衛隊第19普通科連隊
  • フランス陸軍第19工兵連隊
• 「地球発19時」は、TBS系列で放送されたドキュメンタリー番組。
• 「19BOX21」は、CBCラジオの音楽番組。
• 『19 (ヌイーゼン)』 - ソフトプロのファミリーコンピュータ ディスクシステム用シミュレーションゲーム。
• 『NINETEEN 19』は、きたがわ翔の漫画。
• 『19 ナインティーン』 は、1987年公開の日本の映画。
• 『19（ナインティーン）』は、2001年に公開された渡辺一志監督の日本映画。
• 『サディスティック・19』は、立花晶の漫画。
• 『Baby Princess』（メディアミックス作品）0 - 18歳までの19人姉妹とこの家族の養子となった主人公の物語。
• 全国高等学校野球選手権大会における個人最多安打記録は19安打で、第68回大会で水口栄二が、第99回大会で中村奨成が達成。

音楽関係

• 19頭身は、日本を拠点とするレコードレーベル。
• 19（ジューク） - 岡平健治と岩瀬敬吾のフォークデュオユニット。
  • 『19 BEST』、『19 〜すべての人へ』は、19のアルバム。
• 『19 (Nineteen)』 - イギリス人ミュージシャン、ポール・ハードキャッスルが1985年に発表したシングル。
• 『19 (nineteen) 』- THE ALFEEのシングル。
• 『19』は、THE COLLECTORSの楽曲。アルバム「ロック教室〜THE ROCK'N ROLL CULTURE SCHOOL〜」に収録。
• 『19 Memories』は、加藤ミリヤのシングル。
• 『19roll』は、STANCE PUNKSのシングル。
• 『SWEET 19 BLUES』は、安室奈美恵のアルバム。
• 『19 -Road to AMAZING WORLD-』は、EXILEのアルバム。

符号位置

記号	Unicode	JIS X 0213	文字参照	名称
⑲	U+2472	1-13-19	⑲ ⑲	CIRCLED DIGIT NINETEEN
⒆	U+2486	-	⒆ ⒆	PARENTHESIZED DIGIT NINETEEN

関連項目

• 数に関する記事の一覧
  • 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
  • 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
  • 19 38 57 76 95 114 133 152 171 190 209
• 西暦19年 紀元前19年 1919年 19世紀 - 平成19年 昭和19年 明治19年 - 1月9日
• 名数一覧
• 19歳（才）、十九歳（才）

2桁までの自然数

(0)	1	2	3	4	5	6	7	8	9
10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
20	21	22	23	24	25	26	27	28	29
30	31	32	33	34	35	36	37	38	39
40	41	42	43	44	45	46	47	48	49
50	51	52	53	54	55	56	57	58	59
60	61	62	63	64	65	66	67	68	69
70	71	72	73	74	75	76	77	78	79
80	81	82	83	84	85	86	87	88	89
90	91	92	93	94	95	96	97	98	99
斜体で表した数は素数である。

1/9

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2015/12/04 15:53 UTC 版)

この項目には、一部のコンピュータや閲覧ソフトで表示できない文字（Unicode5.2で表現したARIB外字）が含まれています。

1/9（9分の1、きゅうぶんのいち）は、0 と 1 の間にある有理数の一つであり、9 の逆数である。

数学的性質

• 1/9 は 1÷9 に等しく、小数では 0.1111…（下線部は循環節）となる。自然数の逆数の循環小数のうち、小数第1位の数字が無限に続くものは他に 1/3 = 0.3333… と 1/1 = 0.9999… または = 1.0000… のみ。

符号位置

Unicodeで表記することも可能。OS X MavericksおよびWindows 8.1では最初から表示に対応している。それ以外の環境であれば、ARIB外字をUnicodeでサポートしたフォントなどが必要。

記号	Unicode	JIS X 0213	文字参照	名称
⅑	U+2151	-	⅑ ⅑	9分の1

19.

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/09/14 08:51 UTC 版)

『19.』
ЯeaL の スタジオアルバム
リリース	2017年5月10日
ジャンル	J-POP ロック
時間	45分02秒
レーベル	SME Records
チャート最高順位
週間49位（オリコン）
ЯeaL 年表
Change Your ЯeaL （2014年） 19. （2017年）
『19.』収録のシングル
「秒速エモーション」 リリース: 2016年3月9日 「仮面ミーハー女子」 リリース: 2016年8月3日 「カゲロウ」 リリース: 2017年3月1日
ミュージック・ビデオ
ЯeaL「チョコレートコスモス」 - YouTube

『 19. 』（ナインティーンピリオド）は、ЯeaLの1stフルアルバムである。2017年5月10日にSME Recordsから発売された。

解説

ЯeaL初のフルアルバム。「ナンセンス」以外の収録曲はRyokoが高校生の頃に作ったもので、選曲の際に「今までの集大成にしたい」と思って選曲したら結果的にそうなったという。

販売形態はデジタル配信のほかに、CDのみの「通常盤」(SECL-2157)、CD+DVD仕様の「初回生産限定盤」(SECL-2155/6)の2形態でパッケージリリースされた。

初回生産限定盤には、ミュージックビデオや2017年3月12日に渋谷TSUTAYA O-WESTにて行われたメジャーデビュー1周年記念イベント「ЯeaL Яock Яevolution vol.5」の模様を収録したDVD、ЯeaL特製ステッカーが付属する。

収録内容

CD

1. カゲロウ
   • 作詞・作曲：Ryoko

   3rdシングル

   テレビ東京系アニメ「銀魂．」オープニングテーマ

2. ゆらりゆらりゆら
   • 作詞・作曲：Ryoko
3. ナンセンス
   • 作詞・作曲：Ryoko
4. 仮面ミーハー女子
   • 作詞・作曲：Ryoko

   2ndシングル

5. H.O.L
   • 作詞：Ryoko　作曲：中村瑛彦
6. カタリナ
   • 作詞・作曲：Ryoko
7. チョコレートコスモス
   • 作詞・作曲：Ryoko

   PVが制作された。

8. エゴサーチ症候群
   • 作詞・作曲：Ryoko
9. 秒速エモーション
   • 作詞・作曲：Ryoko

   1stシングル

10. それを恋と呼ぶのなら
    • 作詞・作曲：Ryoko
11. スタートライン
    • 作詞・作曲：Ryoko

    1stシングル「秒速エモーション」カップリング曲

初回生産限定盤DVD

1. 秒速エモーション (Music Video)
2. 仮面ミーハー女子 (Music Video)
3. 星が見えないこの街で (Music Video)
4. カゲロウ (Music Video)
5. 秒速エモーション (Live/ЯeaL Яock Яevolution vol.5)
6. カゲロウ (Live/ЯeaL Яock Яevolution vol.5)
7. エゴサーチ症候群 (Live/ЯeaL Яock Яevolution vol.5)

外部リンク

• ЯeaL Official Site Discography
  • 19. (初回生産限定盤)
  • 19. (通常盤)
• Sony Musicによる紹介ページ
  • 19. (初回生産限定盤)
  • 19. (通常盤)

正の数と負の数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/04/17 10:28 UTC 版)

正の数（せいのすう、英: positive number）とは、0より大きい実数である。負の数（ふのすう、英: negative number）とは、0より小さい実数である。

定義

数学において負数はマイナス記号を数字の前につけて表されるが、簿記などでは数字を赤くしたり三角形を数字の前に付けることによって表すこともある。

零は増減の無い状態であるため、正でも負でもない。負でない数 (non-negative number) とは零より小さくない、つまり零または正の実数である。正でない数 (non-positive number) とは零より大きくない、つまり零または負の実数である。

複素数の体系で考えている場合、そのうち実数についてのみ正負を論じ、虚数は正でも負でもないとされる。例えば「正の数」と言えば、それが実数であることを暗黙のうちに含意するが、明確化のために「正の実数」と言うこともできる。

一般に順序体において、零元より大きな元を正の元、零元より小さな元を負の元という。順序体ではない体、例えば複素数体、有限体、p 進数体においては、四則演算と両立する正負の概念を定義することができない。

負の数

負の整数は、方程式 x − y = z がどんな x と y に対しても、z に関する方程式として意味をもつように自然数の体系を拡張して得られるものだと考えられる。このような負の整数の捉え方と同様にして、負の有理数や負の実数も得られる。

負数は、温度のように目盛り上で零より低くなる値を記述するのに有用である。簿記においても、負債の表現に使用できる。簿記において、負債はしばしば赤い数字（赤字）や三角形を前に付けた数字によって表す。

負でない数

実数はゼロに等しいかそれより大きい（すなわち正であるかゼロである）ときかつそのときに限り、負でない。したがって負でない整数はゼロ以上の全ての整数であり、負でない実数はゼロ以上の全ての実数である。

実行列

実行列Aについて、Aが負でないということを、Aのすべての成分が負でない、というふうに定めることができる。このとき、実行列のうちには正とも負とも言えないものもあることになる。また、実行列Aについて、Aの全ての正方部分行列の行列式が負でないとき、Aのことを完全に非負（行列理論）あるいは、完全に正（コンピュータ科学者）と呼ぶことがある。

一方で、線形代数的な観点から、実対称行列やより一般に複素エルミート行列について、上とは異なった正負の概念がしばしば用いられる。エルミート行列Aは、その固有値の全てが負でないときに、負でない（あるいは単に、正である）とよばれる。Aが負でないということはある行列BについてAが B*.Bと書けることと同値になる（行列の定値性も参照）。

関数

符号関数

定義域が実数であり、正数に対して1を、負数に対して−1を、ゼロに対して0を返す関数 sgn(x) を定義できる。この関数は符号関数と呼ばれることがある。

$\operatorname {sgn} (x)=\left\{{\begin{matrix}-1&:x<0\\\;0&:x=0\\\;1&:x>0\end{matrix}}\right.$

このとき（x=0の場合を除き）以下の式が得られる。

$\operatorname {sgn} (x)={\frac {x}{|x|}}={\frac {|x|}{x}}={\frac {d{|x|}}{d{x}}}=2H(x)-1.$

ここで |x| は x の絶対値であり、H(x) はヘヴィサイドの階段関数である。微分法も参照。

複素符号関数

定義域が複素数であり、正数に対して1を、負数に対して-1を、ゼロに対して0を返す csgn(x) を定義できる 。この関数は複素符号関数と呼ばれることがある。

$\operatorname {csgn} (x)=\left\{{\begin{matrix}-1&:x<0\\\;0&:x=0\\\;1&:x>0\end{matrix}}\right.$

複素数の大小は以下のように解釈する。

${\begin{cases}x>0\iff \operatorname {Re} (x)>0\vee (\operatorname {Re} (x)=0\land \operatorname {Im} (x)>0)\\x<0\iff \operatorname {Re} (x)<0\vee (\operatorname {Re} (x)=0\land \operatorname {Im} (x)<0)\\\end{cases}}$

符号付き数の算術演算

加算と減算

数列は、零・正数・負数の三種類が組み合わさって構成されており、基準点が零、基準点から増えている分が正数、基準点から減っている分が負数となる。

従って、加算と減算では、負数は負債であり、正数は収益であると考えることができる。同じく、時間や世代の距離を数える場合にも、零は現在や自分、負数は過去や年上（親や祖父母など）、正数は未来や年下（子供や孫など）であると考えることもできる。

負数を加えることは、対応する正数を減ずることになる。逆に、負数を減ずることは、対応する正数を加えることになる。

9 − 5 = 4

（9歳年下の人物と5歳年下の人物は、4歳離れている。）

7 − (−2) = 9

（7歳年下の人物と2歳年上の人物は、9歳離れている。）

−4 + 12 = 8

（4歳年上の人物から12歳年下の人物は、自分の8歳年下である。）

5 + (−3) = 5 − 3 = 2

（¥5を持っていて¥3を借りたら、純資産は¥2である）

–2 + (−5) = −2 − 5 = −7

減算と負符号の概念の混乱を避けるため、負符号を上付きで書く場合もある（ただし、会計では負符号を△で表現する）。

⁻2 + ⁻5 = ⁻2 − 5 = ⁻7

△2 + △5 = △2 − 5 = △7

正数をより小さな正数から減ずると、結果は負となる。

4 − 6 = −2

（¥4を持っていて¥6を使ったら、負債¥2が残る）

正数を任意の負数から引くと、結果は負となる。

−3 − 6 = −9

（負債が¥3あってさらに¥6を使ったら、負債は¥9となる）

負数を減ずることは、対応する正数を加えることと等価である。

5 − (−2) = 5 + 2 = 7

（純資産¥5を持っていて負債を¥2減らしたら、新たな純資産は¥7となる）

別の例

−8 − (−3) = −5

（負債が¥8あって負債を¥3減らしたら、まだ¥5の負債が残る）

乗算

負数を掛けることは、正負の方向を逆転させることになる。負数に正数を掛けると、積は負数のままとなる。しかし、負数に負数を掛けると、積は正数となる。

(−20) × 3 = −60

（負債¥20を3倍にすれば、負債¥60になる。）

(−40) × (−2) = 80

（後方へ毎時40km進む車は、2時間前には現在地から前方へ80kmの位置にいた。）

これを理解する方法の1つは、正数による乗算を、加算の繰り返しと見なすことである。3 × 2 は各グループが2を含む3つのグループと考える。したがって、3 × 2 = 2 + 2 + 2 = 6 であり、当然 −2 × 3 = (−2) + (−2) + (−2) = −6 である。

負数による乗算も、加算の繰り返しと見なすことができる。例えば、3 × −2は各グループが−2を含む3つのグループと考えられる。

3 × −2 = (−2) + (−2) + (−2) = −6

これは乗算の交換法則を満たすことに注意

3 × −2 = −2 × 3 = −6

「負数による乗算」と同じ解釈を負数に対しても適用すれば、以下のようになる。

−4 × −3	=   − (−4) − (−4) − (−4)
	=  4 + 4 + 4
	=  12

しかし形式的な視点からは、2つの負数の乗算は、積の和に対する分配法則によって直接得られる。

−1 × −1	=  (−1) × (−1) + (−2) + 2
	=  (−1) × (−1) + (−1) × 2 + 2
	=  (−1) × (−1 + 2) + 2
	=  (−1) × 1 + 2
	=  (−1) + 2
	=  1

除算

除算も乗算と同じく、負数で割ることは、正負の方向を逆転させることになる。負数を正数で割ると、商は負数のままとなる。しかし、負数を負数で割ると、商は正数となる。

被除数と除数の符号が異なるなら、商は負数となる。

(−90) ÷ 3 = −30

（負債¥90を3人で分けると、負債¥30ずつ継承される。）

24 ÷ (−4) = −6

（東を正数、西を負数とする場合：4時間後に東へ24km地点に進む車は、4時間前には西へ6kmの位置にいる。）

両方の数が同じ符号を持つなら、商は（両方が負数であっても）正数となる。

(−12) ÷ (−3) = 4

累乗

累乗は乗算や除算と同じく、指数を正数にすると、「n乗」に倍増される。しかし、指数を負数にすると、「1 / n乗」に分割される。つまり、指数 n を正数にすると「n 回乗算を繰り返す」ことになるが、指数 n を負数にすると「n 回除算を繰り返す」ことになる。

3³ = 27

（×3 ×3 ×3 = 27）

3⁻³ = 1/27

（÷3 ÷3 ÷3 = 1/27）

360 × 2³ = 2880

（360 ×2 ×2 ×2 = 2880）

36 × 5⁻¹ = 7.2

（36 ÷5 = 7.2）

負の整数と負でない整数の形式的な構成

有理数の場合と同様、整数を自然数の順序対 (a, b) （これは整数 a − b を表していると考えることができる）を下に述べるようにして同一視したものとして定義することによって自然数の集合Nを整数の集合Zに拡張できる。これらの順序対に対する加法と乗法の拡張は以下の規則による。

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)

(a, b) × (c, d) = (a × c + b × d, a × d + b × c)

ここで以下の規則により、これらの順序対に同値関係 ~ を定義する。

(a, b) ~ (c, d) となるのは a + d = b + c なる場合、およびこの場合に限る

この同値関係は上記の加法と乗法の定義と矛盾せず、ZをN²の ~ による商集合として定義できる。すなわち2つの順序対 (a, b) と (c, d) が上記の意味で同値であるとき同一視する。

さらに以下の通り全順序をZに定義できる。

(a, b) ≤ (c, d) となるのは a + d ≤ b + c となる場合、およびこの場合に限る

これにより加法の零元が (a, a) の形式で、(a, b) の加法の逆元が (b, a) の形式で、乗法の単位元が (a + 1, a) の形式で導かれ、減法の定義が以下のように導かれる。

(a, b) − (c, d) = (a + d, b + c).

負の数の起源

長い間、問題に対する負の解は「誤り」であると考えられていた。これは、負数を実世界で見付けることができなかったためである（例えば、負数のリンゴを持つことはできない）。その抽象概念は早ければ紀元前100年 – 紀元前50年には認識されていた。中国の『九章算術』には図の面積を求める方法が含まれている。赤い算木で正の係数を、黒い算木で負の係数を示し、負の数がかかわる連立方程式を解くことができた。紀元後7世紀ごろに書かれた古代インドの『バクシャーリー写本』は"+"を負符号として使い、負の数による計算を行っていた。これらが現在知られている最古の負の数の使用である。

プトレマイオス朝エジプトではディオファントスが3世紀に『算術』で 4x + 20 = 0 （解は負となる）と等価な方程式に言及し、この方程式はばかげていると言っており、古代地中海世界に負数の概念がなかったことを示している。

7世紀の間に、負数はインドで負債を表すために使われていた。インドの数学者ブラーマグプタは『ブラーフマスプタ・シッダーンタ』（628年）において、今日も使われている一般化された形式の解の公式を作るために、負数を使うことについて論じている。彼は二次方程式の負の解を発見し、負数と零が関わる演算に関する規則も与えている。彼は正数を「財産」、零を「0 (cipher)」、負の数を「借金」と呼んだ。12世紀のインドで、バースカラ2世も二次方程式に負の根を与えていたが、問題の文脈では不適切なものとして負の根を拒絶している。

8世紀以降、イスラム世界はブラーマグプタの著書のアラビア語訳から負の数を学び、紀元1000年頃までには、アラブの数学者は負債に負の数を使うことを理解していた。

負の数の知識は、最終的にアラビア語とインド語の著書のラテン語訳を通してヨーロッパに到達した。

しかし、ヨーロッパの数学者はそのほとんどが、17世紀まで負数の概念に抵抗を見せた。ただしフィボナッチは、『算盤の書』（1202年）の第13章で負数を負債と解釈し、後には『精華』で損失と解釈して金融問題に負の解を認めた。同時に、中国人は右端のゼロでない桁に斜線を引くことによって負数を表した。ヨーロッパ人の著書で負数が使われたのは、15世紀中のシュケによるものが最初であった。彼は負数を指数として使ったが、「馬鹿げた数」であると呼んだ。

イギリスの数学者フランシス・マセレス[2]は1759年、負数は存在しないという結論に達した。

負数は現代まで十分に理解されていなかった。つい18世紀まで、スイスの数学者レオンハルト・オイラーは負数が無限大より大きいと信じており（この見解はジョン・ウォリスと共通である）、方程式が返すあらゆる負の解を意味がないものとして無視することが普通だった。負数が無限大より大きいという論拠は、${\frac {1}{x}}$ の商と、x が正の側から x = 0 の点に近づき、交差した時何が起きるかの考察によって生じている。

関連項目

• プラス記号とマイナス記号
• 符号付数値表現：負の二進数と負でない二進数
• ゼロの発見
• −0

外部リンク

• BBC Radio 4 series "In Our Time", on Negative Numbers, March 9, 2006（英語）
• Endless Examples & Exercises: Operations With Signed Integers（英語）
• Math Forum: Ask Dr. Math FAQ: Negative Times a Negative（英語）