九章算術

デジタル大辞泉

きゅうしょうさんじゅつ〔キウシヤウサンジユツ〕【九章算術】

読み方：きゅうしょうさんじゅつ

中国古代の算術書。3世紀ころ成立。著者未詳。土地面積・穀物交換・分配などの計算術を9章に分けて記す。高度な内容を含み、後世まで重んじられた。

ウィキペディア

九章算術

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/08/31 07:31 UTC 版)

九章算術の1頁。劉徽の註釈本。

九章算術の影宋本（宋代の本を復刻した本）

『九章算術』（きゅうしょうさんじゅつ）は、古代中国の数学書。

著者は不明だが、加筆修正を経て次第に現在に伝わる形に完成したとされている。研究によると前漢の張蒼や耿寿昌も加筆した。263年に三国時代の魏の劉徽が本書の註釈本を制作したことなどから、制作年代は紀元前1世紀から紀元後2世紀と考えられている。『算数書』（1983年12月に湖北省江陵県張家山で発見された）に続いて、古い数学書である。

構成と内容

9章に分かれ、延べ246個の問題を収めた、問題集形式の数学書である。『九章算術』の書名は9章からなる構成に由来する。具体的な問題に沿いながら、算術の基本的な方法を、簡単なものから複雑なものへと順をおって導入する。

1. 方田 - 主に田畑の面積の計算、分数の四則演算。分数の掛け算は、長方形の面積で説明される。長方形、三角形、台形、円の面積を求める方法が書かれている。
2. 粟米 - 交換比率が異なる商品を物々交換するための計算。比例算の基本的な方法、いわゆる「三量法」の紹介。粟や米に関する比例や比率について書かれている。
3. 衰分 - 商品と金銭の分配。比例按分、利息の計算。財産や金銭に関する分配の問題が中心で、等比級数や等差級数になっている場合もある。
4. 少広 - 面積・体積から辺の長さを求める、平方根・立方根。土地の測量についての問題が書かれている。また、最後に球(立円)の体積から直径を求める問題が扱われている。
5. 商功 - 土石の量などを求める土木の計算、体積。城、家屋、運河などの建設に関係のある問題が書かれている。角柱、角錐、円柱、円錐やそれらを組み合わせたり切り落としたりした図形の体積。
6. 均輸 - 租税の計算、複雑な比例の問題。
7. 盈不足 - 鶴亀算、複仮定法。原語は、多すぎることや足りなすぎることを意味する。ある種の連立一次方程式の他に、非線形な問題の近似解を求めるためにも使われる。
8. 方程 - ガウスの消去法による連立一次方程式の解法、そのための負の数とその演算規則の導入。二個ないし三個の未知数の連立方程式を扱う。
9. 句股 - ピタゴラスの定理に関する問題、測量など。

数学の形式

『九章算術』は問題を出し答えと計算法を出す帰納的なアプローチである。具体的には問題の記述の後に、「答曰く、」で始まる答えと、「術曰く、」で始まる計算式（時には問題の解法としての役も得る）の記述という具合である。演繹的な手法のヨーロッパ・アラビア数学とは異なり、以後の中国の数学書はこの記述方法を採った。このスタイルは日本にも輸入され、和算の書籍や算額なども「答曰く、」や「術曰く、」を含む形で書かれている。

負の数の計算とゼロ

第8章「方程」の部においては、負の数の演算が導入されて、連立一次方程式の運用と解法に大いに用いられている。「（引き算の時）同符号は引き、異符号は加える。正を無入から引いて負とし、負を無入から引いて正とする」との一文がある。この無入（別の説には無人）は0に近い役割を果たしている。無入を含む演算が全て定義されている訳ではないが、ゼロの概念に近接している。

注釈

歴史上この本を註釈した数学者は多く、三国時代の魏の劉徽と唐の李淳風による註釈は有名である。なお、李淳風の注は本文と劉徽の注釈の両方に注をつけている。劉徽の注釈は、解法の背後にある理論をわかりやすく説明している点で、価値が高い。また、どちらの注釈も、より高度な内容を付け加えている。

例えば『九章算術』の原本では円周率を3としているのに対して、劉徽は

$3.14+{\frac {64}{62500}}<\pi <3.14+{\frac {169}{62500}}$

ウィキソースに九章算術（中国語）の原文があります。

• 九章算術（中文） - 中国哲学書電子化計画
• 塹堵（ぜんと）、陽馬（ようま）、鼈臑（べつどう）
• 内棊（ないき）,合蓋（ごうがい）

ウィキペディア小見出し辞書

九章算術

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/19 15:34 UTC 版)

「中国の数学」の記事における「九章算術」の解説

『九章算術』は中国の数学書であり、考古学上は最古で西暦179年（伝統的に紀元前1000年）であるが、恐らく紀元前300-200年に出来たとされる。作者は不明だが、彼らは東洋世界で大きな貢献をした。問題はすぐに答えと手順が続く質問が並んでいる。テキストには正式な数学的証明はなく、段階を追った手順だけである。劉徽の解説は、本文中に示された問題に対する幾何学的証明および代数的証明を提示した。 『九章算術』は中国のあらゆる数学書の中で最も影響を及ぼしたものの1つであり、それは約246の問題で構成されている。それは後の世紀に数学教育の中核となる算経十書に組み込まれることになる。この本には、測量、農産物の交換比例、商品やお金の分配、工学、課税、計算、方程式の解法、および直角三角形の性質に関する246の問題が含まれる。『九章算術』は、二次方程式をホーナー法に似た方法で解くための重要な追加をした。また「防城」あるいは現在の線型代数学として知られているものにも高度な貢献をした。第7章では『算数書』と同様に、過不足算を用いて2つの未知数を含む連立方程式を解いている。第8章では、正と負の数を使用して確定的および不確定な連立一次方程式を解くことを扱い、5つの未知数がある4つの方程式を解く問題がある。『九章算術』は、近代のガウスの消去法および後退代入と同様の方法で連立方程式を解く。