偏微分方程式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/08/02 05:27 UTC 版)
偏微分方程式（へんびぶんほうていしき、英: partial differential equation, PDE）は、未知関数の偏導関数を含む微分方程式である。
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偏微分方程式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/10/13 23:42 UTC 版)
クレローの一階偏微分方程式 u = xux + yuy + f(ux,uy) p = ux、q = uy、F(x,y,u,p,q) = u - xp - yq - f(p,q) Fx = -p、Fy = - q、Fu = 1 Fp = -x - fp、Fq = -y - fq d x x + f p = d y y + f q = d u x p + p f p + y q + q f q = d p 0 = d q 0 {\displaystyle {\frac {dx}{x+f_{p}}}={\frac {dy}{y+f_{q}}}={\frac {du}{xp+pf_{p}+yq+qf_{q}}}={\frac {dp}{0}}={\frac {dq}{0}}} u = ax + by + f(a,b) … (1) である。 よって、a、b を積分定数と解すれば、(1) が完全解となる。 完全解の平面族に包絡面が存在すれば、その包絡面の方程式は特異解を与える。 実際、(1) を a、b で偏微分した関係式 x + fa(a,b) = y + fb(a,b) = 0 と (1) から a、b を消去できる場合には、解が得られる。 また、任意関数 g により、完全解の平面族の積分定数に関係 b = g(a) を与えたとき、その平面族に包絡面が存在すれば、その包絡面の方程式は一般解を与える。 実際、(1) に b = g(a) を代入した式を a で微分した関係式 x + g’(a)y + fa(a,g(a)) + fb(a,g(a))g’(a) = 0 と (1) から a を消去できる場合には、解が得られる。
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偏微分方程式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/11 22:02 UTC 版)
n 変数関数 F ( x 1 , x 2 , … , x n ) {\displaystyle F(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})} についての偏微分方程式を解くにあたって、その解の形を F = F 1 ( x 1 ) F 2 ( x 2 ) ⋯ F n ( x n ) {\displaystyle F=F_{1}(x_{1})\,F_{2}(x_{2})\cdots F_{n}(x_{n})} あるいは F = f 1 ( x 1 ) + f 2 ( x 2 ) + ⋯ + f n ( x n ) {\displaystyle F=f_{1}(x_{1})+f_{2}(x_{2})+\cdots +f_{n}(x_{n})} のように仮定すると、偏微分方程式がいくつかの常微分方程式になる場合がある。多くの場合、個々の変数に対して、微分方程式からは決定できない分離定数が現れることになる。
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偏微分方程式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/24 02:45 UTC 版)
「エドマンド・テイラー・ホイッテーカー」の記事における「偏微分方程式」の解説
ホイッテーカーは偏微分方程式論において3次元のラプラス方程式の一般解を与え、波動方程式を解いた。さらにエネルギーが双方向の電気ポテンシャル場の理論を進展させた。ホイッテーカーの1903年と1904年の2枚の論文は、任意のポテンシャルは波のフーリエ級数に似た概念により地電流や惑星の重力場のようなものが解析的に示せることを示した。内部の重ね合わせと外部の波の対は静的な場(またはスカラーポテンシャル)を作り出すのである。ここで調和的な関係が生じる。この概念によって、電位は2極の対立から生じるものであって、しかもバランスがとれ対をなすことが示される。ホイッテーカーは既に重力が波のようにうねりをもった性質を持っていることを暗喩していたといえる。
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偏微分方程式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/05/17 14:20 UTC 版)
偏微分方程式における選点法は、単独の方法より、あるスキームを実装するために必要とされる手法の一つに近い。例えば、放物型偏微分方程式の解を計算する場合、有限差分法より方程式の空間変数を離散化すると時間変数の常微分方程式となるので上述の選点法が適用できる。 現在よく使われているほとんどのスキームに選点法（必ずしも常微分方程式における選点法ではない）が使える。特に重要と見なされるスキームの中には、有限要素法（重み付き残差法も参照）、スペクトル法（英語版）（選点法に基づいたスペクトル法は時々擬スペクトル法（英語版）として知られている）がある（具体的な方法は、それぞれの記事を参照）。ここでは例として、フーリエ選点法と呼ばれるスペクトル法を簡単に紹介する。 フーリエ選点法は（理想的に）指数的収束速度を持ち、周期的境界条件を持つ方程式に対し特に効果的である。空間領域 [0, 2π] 上の（周期的境界条件付き）移流方程式 u t + a ( x ) u x = 0 , u ( x , 0 ) = f ( t ) {\displaystyle u_{t}+a(x)u_{x}=0,\;u(x,0)=f(t)} を考える。偶数の N に対し、等距離の点 xj = jh （h = 2π/N）を選点として選ぶ。簡単のために、まず方程の時間変数を（前進）差分法より離散化し、次のようにする。 U n + 1 − U n Δ t = − a ( x ) u x {\displaystyle {\frac {U^{n+1}-U^{n}}{\Delta t}}=-a(x)u_{x}} ここで、Un は時間 tn での近似解である。したがって、正しく ux を近似することで、次の時刻での近似解がわかるようになる。 既知の数値 vj = Un(xj) から空間上のグリッド関数 v = {vj} を定義し、周期的に拡張する。そして a(x)ux を次のように各選点で近似する。 a ( x j ) u x ( x j ) ≈ a ( x j ) ( D v ) j {\displaystyle a(x_{j})u_{x}(x_{j})\approx a(x_{j})(Dv)_{j}} ここで、D は スペクトル微分作用素 (spectral differentiation operator) という線型作用素であり、以下のように定義される。 D v = F h − 1 ( i ξ F h ( v ) ) {\displaystyle Dv={\mathcal {F}}_{h}^{-1}(i\xi {\mathcal {F}}_{h}(v))} ここで、 F h {\displaystyle {\mathcal {F}}_{h}} は半離散フーリエ変換 (semi-discrete Fourier transform) といい、以下のように定義される。 F h ( v ) = h ∑ j = − ∞ ∞ e i ξ x j v j , ξ ∈ [ − π / h , π / h ] {\displaystyle {\mathcal {F}}_{h}(v)=h\sum _{j=-\infty }^{\infty }e^{i\xi x_{j}}v_{j},\;\xi \in [-\pi /h,\pi /h]} そして対応する逆変換は ( F h − 1 ( v ^ ) ) j = 1 2 π ∫ − π / h π / h e i ξ x j v ^ ( ξ ) d ξ , j ∈ Z {\displaystyle ({\mathcal {F}}_{h}^{-1}({\hat {v}}))_{j}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi /h}^{\pi /h}e^{i\xi x_{j}}{\hat {v}}(\xi )d\xi ,\;j\in \mathbb {Z} } である。上述の近似から、次の時刻 tn+1 での近似解がわかる。 また、グリッド関数を空間全体に周期的に拡張する代わりに、そのまま離散フーリエ変換を使って近似することも可能である。この方法は高速フーリエ変換を活用できるため、計算速度が相応に上がる。離散フーリエ変換は以下のように定義される。 ( F ( v ) ) j = 1 N ∑ k = 0 N v k e i j x k , j = 0 , ± 1 , … , ± N / 2 {\displaystyle ({\mathcal {F}}(v))_{j}={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N}v_{k}e^{ijx_{k}},\;j=0,\pm 1,\ldots ,\pm N/2} そして対応する逆変換は、 ( F − 1 ( v ^ ) ) j = ∑ k = − N / 2 N / 2 v ^ k e i k x j , j = 0 , 1 , … , N {\displaystyle ({\mathcal {F}}^{-1}({\hat {v}}))_{j}=\sum _{k=-N/2}^{N/2}{\hat {v}}_{k}e^{ikx_{j}},\;j=0,1,\ldots ,N} である。スペクトル微分作用素 D を使わずに、まず周波数領域の導関数を以下のように設定する。 v ^ j = { i j ( F ( v ) ) j j ≠ ± N / 2 0 j = ± N / 2 {\displaystyle {\hat {v}}_{j}={\begin{cases}ij({\mathcal {F}}(v))_{j}\;&j\neq \pm N/2\\0\;&j=\pm N/2\end{cases}}} それから、ux を以下のように近似できる。 a ( x j ) u x ( x j ) ≈ a ( x j ) ( F − 1 ( v ^ ) ) j {\displaystyle a(x_{j})u_{x}(x_{j})\approx a(x_{j})({\mathcal {F}}^{-1}({\hat {v}}))_{j}} 最後に、次の時刻での近似解を同じように計算する。
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偏微分方程式
出典:『Wiktionary』 (2021/11/25 00:21 UTC 版)
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