偏微分関係式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/09/09 01:26 UTC 版)
三つの変数 x, y, z が適当な可微分函数 F に関する条件 F(x, y, z) = (一定) によって束縛されているとすれば、全微分 d x = ( ∂ x ∂ y ) z d y + ( ∂ x ∂ z ) y d z , d z = ( ∂ z ∂ x ) y d x + ( ∂ z ∂ y ) x d y {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathit {dx}}&={\Bigl (}{\frac {\partial x}{\partial y}}{\Big )}_{z}{\mathit {dy}}+{\Bigl (}{\frac {\partial x}{\partial z}}{\Big )}_{y}{\mathit {dz}},\\[5pt]{\mathit {dz}}&={\Bigl (}{\frac {\partial z}{\partial x}}{\Big )}_{y}{\mathit {dx}}+{\Bigl (}{\frac {\partial z}{\partial y}}{\Big )}_{x}{\mathit {dy}}\end{aligned}}} が存在する:667&669。最初の式に二つ目の式を入れて並べ替えれば [ 1 − ( ∂ z ∂ x ) y ( ∂ x ∂ z ) y ] d z = [ ( ∂ z ∂ x ) y ( ∂ x ∂ y ) z + ( ∂ z ∂ y ) x ] d y {\displaystyle {\Bigl [}1-{\Bigl (}{\frac {\partial z}{\partial x}}{\Big )}_{y}{\Bigl (}{\frac {\partial x}{\partial z}}{\Big )}_{y}{\Bigr ]}{\mathit {dz}}={\Bigl [}{\Bigl (}{\frac {\partial z}{\partial x}}{\Big )}_{y}{\Bigl (}{\frac {\partial x}{\partial y}}{\Big )}_{z}+{\Bigl (}{\frac {\partial z}{\partial y}}{\Big )}_{x}{\Bigr ]}{\mathit {dy}}} を得る:669。y, z は独立な変数であるから、dy, dz は制限なく選べる。最後の式が一般に成り立つためには、括弧で括った項が零とならねばならない:669。以下それが成立することを見よう: 相反関係式 左辺の括弧の中を零と置けば ( ∂ z ∂ x ) y ( ∂ x ∂ z ) y = 1 {\displaystyle {\Bigl (}{\frac {\partial z}{\partial x}}{\Big )}_{y}{\Bigl (}{\frac {\partial x}{\partial z}}{\Big )}_{y}=1} であり:60฿฿฿70、これを逆数関係 ( ∂ z ∂ x ) y = 1 ( ∂ x ∂ z ) y {\displaystyle {\Bigl (}{\frac {\partial z}{\partial x}}{\Big )}_{y}={\frac {1}{{\Bigl (}{\frac {\partial x}{\partial z}}{\Big )}_{y}}}} にすることができる:670。 三つの変数 x, y, z の置換を施して、もう二つ同様の関係式を導くことができる。逆函数の微分法則（英語版）により、逆函数の偏微分がもとの函数の偏微分の逆数に等しいことが示されるから、これらの関係式は満たされる。 輪環関係式 三重積の微分法則（英語版）とも呼ばれる輪環関係式 ( ∂ z ∂ x ) y ( ∂ x ∂ y ) z = − ( ∂ z ∂ y ) x {\displaystyle {\Bigl (}{\frac {\partial z}{\partial x}}{\Big )}_{y}{\Bigl (}{\frac {\partial x}{\partial y}}{\Big )}_{z}=-{\Bigl (}{\frac {\partial z}{\partial y}}{\Big )}_{x}} により、右辺の括弧の中も零であることが導かれる:670。 実際、∂z/∂y に対する相反関係式を用いて、上記の式を並べ替えたものは輪環関係式 ( ∂ x ∂ y ) z ( ∂ y ∂ z ) x ( ∂ z ∂ x ) y = − 1 {\displaystyle {\Bigl (}{\frac {\partial x}{\partial y}}{\Big )}_{z}{\Bigl (}{\frac {\partial y}{\partial z}}{\Big )}_{x}{\Bigl (}{\frac {\partial z}{\partial x}}{\Big )}_{y}=-1} である:670。 代わりに ∂x/∂y に対する相反関係式を用い、並べ替えれば陰函数の微分法則 ( ∂ y ∂ x ) z = − ( ∂ z ∂ x ) y ( ∂ z ∂ y ) x {\displaystyle {\Bigl (}{\frac {\partial y}{\partial x}}{\Big )}_{z}=-{\frac {{\Bigl (}{\frac {\partial z}{\partial x}}{\Big )}_{y}}{{\Bigl (}{\frac {\partial z}{\partial y}}{\Big )}_{x}}}} が得られる。
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