はめ込み

デジタル大辞泉

はめ‐こみ【^▽塡め込み／^×嵌め込み】

読み方：はめこみ

はめこむこと。また、はめこむ構造・仕組み。「—の蓋(ふた)」

印刷関係用語集

はめ込み

写真や模様の中に、別の写真や模様を入れること。

ウィキペディア

はめ込み

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/28 14:20 UTC 版)

3次元空間にはめ込まれたクラインの壺．

数学において，はめ込み (immersion) は可微分多様体の間の可微分写像であって微分がいたるところ単射であるもののことである．明示的には，f: M → N がはめ込みであるとは，

$D_{p}f\colon T_{p}M\to T_{f(p)}N\,$

埋め込みではない単射にはめ込まれた部分多様体．

M がコンパクトならば，単射なはめ込みは埋め込みであるが，M がコンパクトでなければ，そうとは限らない；連続全単射と同相を比較せよ．

正則ホモトピー

多様体 M から N への2つのはめ込み f と g の間の正則ホモトピーは次のような可微分関数 H: M × [0, 1] → N と定義される：すべての t ∈ [0, 1] に対して，すべての x ∈ M に対して H_t(x) = H(x, t) によって定義される関数 H_t: M → N ははめ込みで，H₀ = f, H₁ = g である．正則ホモトピーはしたがってはめ込みを通したホモトピーである．

分類

ハスラー・ホイットニーは1940年代にはめ込みと正則ホモトピーの系統的な研究を創始し，2m < n + 1 に対して m 次元多様体から n 次元多様体へのすべての写像 f: M^m → Nⁿ がはめ込みにホモトープであること，そして 2m < n に対しては実は埋め込みにホモトープであることを証明した．これらがホイットニーのはめ込み定理とホイットニーの埋め込み定理である．

スティーブン・スメールははめ込み f: M^m → Rⁿ の正則ホモトピー類をあるスティーフェル多様体のホモトピー群として表した．sphere eversion は特に著しい結果であった．

Morris Hirsch は Smale の表示を任意の n 次元多様体 Nⁿ 内の任意の m 次元多様体 M^m のはめ込みの正則ホモトピー類のホモトピー論による記述に一般化した．

はめ込みの Hirsch–Smale 分類は Mikhail Gromov によって一般化された．

存在

メビウスの帯は接束が非自明だから余次元 0 にはめ込めない．

例と性質

• クラインの壺や，すべての他の向き付け不可能な閉曲面は，3次元空間にはめ込むことができるが，埋め込むことはできない．

四葉，4弁のバラ．

• k 弁のバラは円周の平面へのただ1つの k 重点を持ったはめ込みである．k は任意の奇数でよいが，偶数なら4の倍数で，8の字はバラでない．
• Whitney–Graustein の定理により，円周の平面へのはめ込みの正則ホモトピー類は回転数によって分類され，この数は代数的に（すなわち符号付きで）数えた二重点の個数でもある．
• 球面は表裏をひっくり返すことができる：標準的な埋め込み f: S² → R³ ははめ込みの正則ホモトピー f_t: S² → R³ によって f₁ = −f₀: S² → R³ と結ばれる．
• ボーイ曲面は実射影平面の3次元空間へのはめ込みである；したがって球面の2対1のはめ込みでもある．
• モラン曲面は球面のはめ込みである；これとボーイ曲面はともに sphere eversion の途中のモデルとして生じる．

• 

  ボーイ曲面

• 

  モラン曲面

はめ込まれた平面曲線

この曲線の全曲率 は 6π で，turning number は 3 だが，p についての回転数 は 2 である．

はめ込まれた平面曲線は well-defined な Turning number をもち，全曲率を 2π で割ったものとして定義できる．これは Whitney–Graustein の定理により正則ホモトピーで不変である――位相幾何学的には，それはガウス写像の次数，あるいは同じことであるが，原点についての（消えない）unit tangent の回転数である．さらに，これは完全不変量である――同じ回転数を持つ任意の2つの平面曲線は正則ホモトピックである．

すべてのはめ込まれた平面曲線は交差する点を分離して埋め込まれた空間曲線に持ちあがるが，これは高次元では正しくない．追加の情報（どの紐が上にあるか）により，はめ込まれた平面曲線は knot diagram を生じ，これは結び目理論において中心的に興味を持たれる．はめ込まれた平面曲線は正則ホモトピーの違いを除いて回転数によって決定されるが，結び目は非常に豊かで複雑な構造を持つ．

一般化

はめこみ理論の遠大な一般化はホモトピー原理である：はめこみの条件（微分の階数がつねに k）は，関数の偏微分のことばで述べられるから，偏微分関係式 (partial differential relation, PDR) と考えることができる．すると Smale–Hirsch のはめ込み理論はこれがホモトピー論に帰着されるという結果であり，ホモトピー原理は PDR がホモトピー論に帰着する一般の条件や理由を与える．

関連項目

• はめ込まれた部分多様体
• 等長はめ込み
• 沈め込み

参考文献

• Adachi, Masahisa (1993), Embeddings and immersions, ISBN 978-0-8218-4612-4, http://books.google.com/books?id=JcMwHWSBSB4C, translation Kiki Hudson 
• Arnold, V. I.; Varchenko, A. N.; Gusein-Zade, S. M. (1985), Singularities of Differentiable Maps: Volume 1, Birkhäuser, ISBN 0-8176-3187-9 
• Bishop, Richard Lawrence; Crittenden, Richard J. (1964), Geometry of manifolds, New York: Academic Press, ISBN 978-0-8218-2923-3 
• Bishop, R.L.; Goldberg, S.I. (1968), Tensor Analysis on Manifolds (First Dover 1980 ed.), The Macmillan Company, ISBN 0-486-64039-6 
• Bruce, J. W.; Giblin, P. J. (1984), Curves and Singularities, Cambridge University Press, ISBN 0-521-42999-4 
• Carter, J. Scott; Saito, Masahico (1998), “Surfaces in 3-space that do not lift to embeddings in 4-space”, Knot theory (Warsaw, 1995), Banach Center Publ., 42, Polish Acad. Sci., Warsaw, pp. 29–47, MR 1634445, CiteSeer^x: 10.1.1.44.1505 .
• Carter, J. Scott; Saito, Masahico (1998), Knotted Surfaces and Their Diagrams, Mathematical Surveys and Monographs, 55, pp. 258, ISBN 978-0-8218-0593-0 
• Carter, Scott; Kamada, Seiichi; Saito, Masahico (2004), Surfaces in 4-space, Encyclopaedia of Mathematical Sciences, 142, Berlin: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-662-10162-9, ISBN 3-540-21040-7, MR 2060067 .
• Cohen, Ralph L. (1985), “The immersion conjecture for differentiable manifolds”, Annals of Mathematics, Second Series 122 (2): 237–328, doi:10.2307/1971304, MR 808220 .
• Crampin, Michael; Pirani, Felix Arnold Edward (1994), Applicable differential geometry, Cambridge, England: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-23190-9 
• Darling, Richard William Ramsay (1994), Differential forms and connections, Cambridge, UK: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-46800-8 .
• do Carmo, Manfredo Perdigao (1994), Riemannian Geometry, ISBN 978-0-8176-3490-2 
• Frankel, Theodore (1997), The Geometry of Physics, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-38753-1 
• Gallot, Sylvestre; Hulin, Dominique; Lafontaine, Jacques (2004), Riemannian Geometry (3rd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-20493-0 
• Gromov, M. (1986), Partial differential relations, Springer, ISBN 3-540-12177-3 
• Hirsch, Morris W. (1959), “Immersions of manifolds”, Transactions of the American Mathematical Society 93: 242–276, doi:10.2307/1993453, MR 0119214 .
• Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1963), Foundations of Differential Geometry, Volume 1, New York: Wiley-Interscience 
• Koschorke, Ulrich (1979), “Multiple points of immersions, and the Kahn-Priddy theorem”, Mathematische Zeitschrift 169 (3): 223–236, doi:10.1007/BF01214837, MR 554526 .
• Kosinski, Antoni Albert (2007) [1993], Differential manifolds, Mineola, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-46244-8 
• Lang, Serge (1999), Fundamentals of Differential Geometry, Graduate Texts in Mathematics, New York: Springer, ISBN 978-0-387-98593-0 
• Massey, W. S. (1960), “On the Stiefel-Whitney classes of a manifold”, American Journal of Mathematics 82: 92–102, doi:10.2307/2372878, MR 0111053 .
• Smale, Stephen (1958), “A classification of immersions of the two-sphere”, Transactions of the American Mathematical Society 90: 281–290, doi:10.2307/1993205, MR 0104227 .
• Smale, Stephen (1959), “The classification of immersions of spheres in Euclidean spaces”, Annals of Mathematics, Second Series 69: 327–344, doi:10.2307/1970186, MR 0105117 .
• Spivak, Michael (1999) [1970], A Comprehensive introduction to differential geometry (Volume 1), Publish or Perish, ISBN 0-914098-70-5 
• Spring, David (2005), “The golden age of immersion theory in topology: 1959–1973: A mathematical survey from a historical perspective”, Bulletin of the American Mathematical Society, New Series 42 (2): 163–180, doi:10.1090/S0273-0979-05-01048-7, MR 2133309 .
• Szekeres, Peter (2004), A course in modern mathematical physics: groups, Hilbert space and differential geometry, Cambridge, United Kingdom: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-82960-1 
• Wall, C. T. C. (1999), Surgery on compact manifolds, Mathematical Surveys and Monographs, 69 (Second ed.), Providence, RI: American Mathematical Society, doi:10.1090/surv/069, ISBN 0-8218-0942-3, MR 1687388 .

外部リンク

• Immersion at the Manifold Atlas
• Immersion of a manifold at the Encyclopedia of Mathematics

Weblio日本語例文用例辞書

「はめ込み」の例文・使い方・用例・文例

• はめ込みの本箱.
• 火格子の下にはめ込み、積もった灰を取り除く容器
• 宝石のはめ込み台で個々の石を入れる帯またはカラー
• 鉄に金または銀のはめ込みをすることでできるデザイン
• はめ込みあるいは上掛けとして表面に塗る、対照的に異なる材料の化粧塗料
• 細長いものや小さいものをはめ込み立てる