結び目理論

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結び目理論

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/05/16 03:44 UTC 版)

結び目理論（むすびめりろん、knot theory）とは、紐の結び目を数学的に表現し研究する学問で、低次元位相幾何学の1種である。組合せ的位相幾何学や代数的位相幾何学とも関連が深い。素数と結び目にもエタールホモロジーを導入して密接に関係する。

自明な結び目(左上) や三葉結び目(その下)など、様々な結び目の例。

最も単純で重要な結び目である三葉結び目の正則表示。数学における結び目は閉曲線（両端が一致し連続する弧）である。

導入

たとえば日常で、靴の紐などを蝶結びするとき、ちょっとした違いで縦結びになったり横結びになったりすることはよく知られていることである。このようなとき、結び目理論では、紐の両端をつないで輪の形にすることで、これらの結び目が図形としてどのように異なるか（あるいは同じものなのか）ということを数学的に明らかにすることができる。

一般に、二つの結び目（あるいは絡み目）が同じであるかどうかは、ライデマイスター移動などの局所変形や交差の入れ替えなどの結び目解消操作を用いて調べられる。

結び目や絡み目の分類は、結び目不変量 (knot-invariant) あるいは絡み目不変量 (link-invariant) と呼ばれる "量" の発見と構成を主として行われる。例えば、絡み目の外部の基本群を周辺構造 (peripheral structure) 込みで考えたものは、結び目の完全不変量である。しかし、肝心の群の分類が容易ではないためこれを不変量として用いることはほとんどないようである。主に使われる不変量はアレクサンダー多項式などの多項式不変量や、結び目解消数 (unknotting number) などである。

なお、Haken による正則曲面 (normal surface) の理論により、任意に与えられた 2 個の結び目が同値であるか否かを判定するアルゴリズムが存在することが知られている。

近年では DNA やタンパク質の異性体の構造などの研究や統計力学・場の量子論にも関連して注目されている。

結び目は3次元多様体の形状を調べることにも利用できる。同様のことを次元を上げて一般化して考えようとすると、4次元空間では1次元の閉多様体である結び目はほどけてしまって役に立たないが、2次元の多様体である閉曲面を使ってやれば目的を果たすことができる。これを4次元結び目理論、曲面結び目理論などと呼んで結び目理論に含めることもある。

基本的な図形

ホワイトヘッド絡み目

ボロミアン環

野性的な結び目の例

一次元球面（単位円周） S¹ から三次元ユークリッド空間 R³ または三次元球面 S³への単射連続写像 K あるいは K の像のことを結び目という。ここで、三次元球面 S³ とは R³ に、一点 {∞} を付け加えたコンパクト等質空間である。

要するに、三次元空間の中に浮かぶ絡まった 1 つの輪っかのことを数学では結び目というのである。日常語の意味での結び目とはかけ離れているように思われるが、紐の両端をくっつけて結び目を緩めた状態を想像してみると、なぜ上で言うようなものが数学で結び目と呼ばれるのか、実感できることと思われる。

結び目は絡まった輪っか一つだけである。二つ以上の結び目が互いに絡まりあったものを考えたほうがいろいろと便利であることが多いので、それを絡み目と呼ぶ。正確には結び目と同様に次のように定義される。

いくつかの一次元球面の集合としての直和 S¹ ∪ S¹ ∪ … ∪ S¹ から 三次元球面 S³ への単射連続写像 L あるいはその像のことを絡み目と呼ぶ。絡み目の連結成分の数を単に絡み目の成分数と呼ぶ。すなわち n 個の S¹ の直和を埋め込んだ絡み目の成分数は n である。

有名な絡み目としてはホップ絡み目、ホワイトヘッド絡み目、ボロミアン環などが挙げられる。

絡み目を離れた2つの部分に分けることができるとき、その絡み目は分離可能（splittable）であるといい、成分数と同じ数だけの部分に離して分けることができる場合は完全分離可能であるという。つまり、絡み目が2つ以上の連結成分のある射影図（#結び目の表示で後述）を持つときに分離可能であるといい、成分数と等しい個数の連結成分のある射影図を持つときは完全分離可能であるということになる。

結び目を切ったり貼ったりしている間に絡み目が現れることがあり、結び目のみを研究の対象とする場合でも絡み目を合わせて考えるほうが自然であることも多い。

絡み目の定義を少し変形拡張した概念が幾つか提唱され、特に以下のものは活発に研究されている。

• 組み紐----領域 $R^{2}\times [0,1]$
  向き付けられたホップ絡み目

  結び目には円周を一周する向きにしたがって向きが入る。一つの結び目には正逆二つの向きを入れることができる。また、それぞれに成分について向きをつけることによって絡み目の向き付けもできる。向きをつけた結び目（絡み目）を、有向結び目（有向絡み目）という。

  向き付けられた結び目（絡み目）の向きを逆にしても元の結び目（絡み目）と同じになるとき、その結び目（絡み目）は可逆または可反であるという。例えば三葉結び目、8の字結び目は可逆となっている。交点数が少ない結び目は可逆のものが多く、交点数が最も小さい非可逆で素な結び目は8交点のものである。

  結び目の表示

  結び目（絡み目）は三次元空間に浮かんでいるが、これを二次元に射影して二次元の曲線のように表現することができる（ふつうは平面に射影する）。この図式のことを射影図（しゃえいず）または投影図（とうえいず）などという。このとき、

  1. 結び目（絡み目）の異なる3つ以上の点が、射影面において同一の点に写されない
  2. 射影面において2つの成分が1点で接することがない

  という条件を満たすように射影することを正則表示（せいそくひょうじ、regular presentation）という（どんな結び目や絡み目でも適当に位置をずらすことによって正則表示することができる）。正則表示された結び目の図式を正則図式といい、結び目理論においては単に射影図といえば正則なものをさすことが多い。 正則図式において、結び目（絡み目）の2箇所の成分が1点に写されているところを交点または交差点といい、奥にある線の上を手前にある線が横切るとき、その交点で奥にある線がちょっと切れているように描けば、線の前後関係を損なうことなく結び目を二次元に射影することができる。

  結び目とその正則表示の例

  自明な結び目	三葉結び目
  8の字結び目（リスティングの結び目）	ホップ絡み目（成分数 2 の絡み目のひとつ）

  上の射影図の中央にある交点が除去可能な交点。下図のように簡単に取り除くことができる。

  結び目（絡み目）の射影図の中に右図のように簡単に取り除ける交点があるとき、それを除去可能な交点または無駄な交点という。除去可能な交点を全て取り除いた射影図は既約射影図（きやくしゃえいず）といわれる。

  結び目（絡み目）を射影図として図示するほかにも、以下のような表示方法がある。

  • ドウカーの表示法

  n交点の結び目の射影図を、n個の偶数の列によって表示する手法。

  • コンウェイの表示法

  タングルという概念を用いて結び目や絡み目を表示する手法。

  • 組み紐による表示法

  組み紐を用いて結び目や絡み目を表示する。1923年にアレキサンダーが任意の結び目や絡み目が組み紐として表現できることを証明している。

  結び目の同値性

  位相幾何学では、連続写像を用いて連続的に変形して互いに一致させることができる図形は同相といって、一般に同じものであると考える。結び目理論も位相幾何学の理論であるから、同様な同一視を行うのであるが、しかしいかなる結び目も円周 S¹ と同相であるので、同相であるかどうかを見るだけではどんな結び目も区別することはできない。そこで、与えられた結び目が、ある結び目を切ったり貼ったりすることなく連続的に変形していったものと一致するなら、もともと 2 つの結び目は同じであったと考える。これは、結び目のみならずその周辺の空間まで含めて連続的に変形できるかどうかということであって、以下のように定式化される。

  2 つの結び目 K, K′ に対し、S³ × [0, 1] 上の自己同相写像（ホモトピー）H と自己同相 h: S³ → S³ の組で次の条件

  h(K) = K′,

  H|_S³×{i} (∀i ∈ [0, 1]) は S³ × {i} 上の同相写像,

  H|_S³×{0} = id_S³, H|_S³×{1} = h

  を満たすもの（全同位写像）が存在するとき、K と K′ は同値な結び目であるという。

  自明な結び目と同値な結び目は解けている（ほどけている）という。

  同値な結び目の例

  解けている結び目

  結び目の局所変形（きょくしょへんけい、local move）すなわち、一部分を連続的に変形することで、幾つかの結び目が "同じ" かどうか調べることができるが、その代表的なものとして、次の変形を考えることができる。

  ライデマイスター移動

  Type I	Type II	Type III

  さらには、結び目の局所変形の手順というのは、このライデマイスター移動と呼ばれる変形の組合せで行うことができる。二つの同値な結び目は有限回のライデマイスター移動で互いに移りあう。また特に、ライデマイスター移動 II, III のみによって移りあう結び目どうしは正則同位 (regular isotopic) であるといい、すべてのライデマイスター移動で移りあう結び目どうしは全同位 (ambient istopic)である。

  結び目の合成

  三葉結び目と8の字結び目の合成

  三次元球面 S³ の北半球に結び目 K₁ 、 南半球に結び目 K₂ があるとする(共に向き付けられているとする)。K₁ の一部と K₂ の一部を変形して、両方の結び目が赤道のある一点の十分小さな近傍を通り、かつ赤道と交わらないようにできる。このとき、この近傍の中で結び目の向きにあわせて「紐のつなぎかえ」を行うことで K₁ と K₂ から一つの結び目ができる。このように、「分離されている二つの結び目から一つの結び目をつくる」操作を結び目の合成といい、できあがった結び目を K₁ $\sharp$ ↔

  • 交点数
  • 交差交換
    • 結び目解消数
    • ゴルディアス距離
    • ゴルディアス複体
  • デルタ型結び目解消操作
    • デルタ型結び目解消数
    • デルタ型ゴルディアス距離

  高次元結び目・絡み目

  高次元結び目とは高次元球面Sⁿ一個の高次元・数空間R^mもしくは高次元球面S^mへの埋込みのこと。mはnより2以上大きい。 高次元絡み目とは高次元球面Sⁿ複数個の高次元・数空間R^mもしくは高次元球面S^mへの埋込みのこと。 いずれもm=n+2の場合もm>n+2の場合も研究されている。 高次元結び目・絡み目の場合、1次元結び目・絡み目と違った興味深い現象も少なくなく、excitingな研究テーマの一つである。

  関連項目

  • トポロジー
  • ホモトピー - 基本群
  • 絡み目ホモトピー
  • 結び目コボルディズム
  • ひも理論
  • 交代結び目（概交代結び目）
  • トーラス結び目
  • 双曲的結び目
  • サテライト結び目
  • デーン手術
  • ライデマイスター移動
  • 交点数 (結び目理論)
  • タングル
  • あやとり - 全ての作品がループと相似である。

  参考文献

  • C・C・アダムス 『結び目の数学』 培風館、1998年(ISBN 978-4563002541)。
  • 河内明夫 『結び目理論』 シュプリンガー・フェアラーク東京、1990年(ISBN 4-431-70571-6 C3041)
  • 河内明夫 『レクチャー結び目理論』 共立出版、2007年(ISBN 978-4-320-01697-2)
  • 村杉邦男 『結び目理論とその応用』 日本評論社、1993年(ISBN 4-535-78199-0)
  • 鈴木晋一 『結び目理論入門』 サイエンス社、1991年(ISBN 4-7819-0633-8)
  • W. B. R. リコリッシュ 『結び目理論概説』 シュプリンガー・フェアラーク東京、2000年(ISBN 4-431-70859-6 C3041)
  • クロウェル・フォックス 『結び目理論入門』 岩波書店、2000年(ISBN 4-00-006046-5)
  • S. C. カールソン 『曲面・結び目・多様体のトポロジー』 培風舘、2003年 (ISBN 4-563-00331-X)
  • 村上順 『結び目と量子群』 朝倉書店、2000年 (ISBN 4-254-11553-9)
  • 大槻知忠 『量子不変量』 日本評論社、1999年 (ISBN 4-535-78260-1)
  • 落合豊行・山田修司・豊田英美子 『コンピュータによる結び目理論入門』 牧野書店、1996年 (ISBN 4-7952-0109-9)
  • 小林一章 『曲面と結び目のトポロジー』 朝倉書店、1992年 (ISBN 4-254-11471-0)
  • 村上斉 『結び目のはなし』 遊星社、1990年 (ISBN 4-7952-6865-7)
  • L・H・カウフマン 『結び目の数学と物理』 培風館、1995年 (ISBN 4-563-00237-2)
  • 和達三樹 『結び目と統計力学』 岩波書店、2002年 (ISBN 4-00-011152-3)
  • 鎌田聖一 『曲面結び目理論』"シュプリンガー現代数学シリーズ・第16巻" 丸善出版、2012年 (ISBN 978-4-621-08509-7)
  • 大槻知忠：『結び目の不変量』、共立出版、ISBN 978-4-320-11198-1 (2015年6月25日).
  • 河内明夫：「結び目の理論」、共立出版、ISBN 978-4-320-11183-7 (2015年8月8日).
  • 伊藤昇：「結び目理論の圏論：「結び目」のほどき方」、日本評論社、ISBN 978-4-53578813-8 (2018年3月23日)．
  • 村上斉：「結び目理論入門（上）」、岩波書店、ISBN 978-4-00-029826-1（2019年12月21日）.
  • C. アダムス：「結び目の数学: 結び目理論への初等的入門 原書改訂版」、丸善出版、ISBN 978-4-62130595-9（2021年1月27日).
  • 村上順：「結び目理論:分解定理・不変量・体積予想」、森北出版、ISBN 978-4-62706321-1 (2021年9月18日).
  • 村上斉：「結び目のはなし[新装版]」、日本評論社、ISBN 978-4-53578947-0 (2022年1月24日).
  • 谷山公規：「結び目理論: 一般の位置から観るバシリエフ不変量」、共立出版、ISBN 978-4-320-11394-7（2023年3月3日）.
  • 新庄玲子、田中心：「絵で学ぶ数学　結び目理論：この紐、ほどけますか？」、オーム社、ISBN 978-4-274-23247-3 (2024年10月)．

  外部リンク

  • Weisstein, Eric W. "Knot Theory". mathworld.wolfram.com (英語).
  • knot theory in nLab
  • knot theory - PlanetMath.（英語）
  • Farber, M.Sh.; Chernavskii, A.V. (2001), “Knot theory”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Knot_theory 
  • Definition:Knot Theory at ProofWiki
  • The Knot Atlas -- （結び目と絡み目の射影図および結び目理論）（英語）
  • Table of Knot Invariants -- （結び目と絡み目の射影図および結び目不変量）（英語）
  • This is MEGA Mathematics! -- （結び目理論）（英語）
  • Knot Theory -- （結び目理論）（英語）
  • Morwen Thistlethwaite's home page -- （結び目射影図と結び目理論）（英語）
  • Free Software in Knot Theory -- （結び目不変量）（英語）

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結び目理論

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「計算論的トポロジー」の記事における「結び目理論」の解説

結び目が自明か否かを判定する問題はNPに属する。 結び目の種数を決定する問題はPSPACEに属する[要出典]。 結び目のアレキサンダー多項式を計算する多項式時間のアルゴリズムが存在する。