アレクサンダー多項式

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アレクサンダー多項式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/07/26 23:30 UTC 版)

数学におけるアレクサンダー多項式（アレクサンダーたこうしき、英: Alexander polynomial）は、各種結び目に整数係数多項式を割り当てる結び目不変量である。アレクサンダー多項式は最初に発見された多項式不変量（英語版）で、1923年にJ.W.アレクサンダー（英語版）が発見した。1969年にジョン・コンウェイは、この多項式（の、今日ではアレクサンダー・コンウェイ多項式と呼ばれている形）が、スケイン関係式を用いて計算できることを示した。1984年にジョーンズ多項式が発見されて初めて、アレクサンダー多項式の幾何学的な意味が明らかになった。また、コンウェイは、すぐにアレクサンダー多項式を再研究し、アレクサンダー自身の論文の中で、すでに同様の スケイン関係式 が示されていることを明らかにしている^[1]。

定義

3次元球面における結び目を K とし、X を K の結び目補空間の無限巡回被覆（英語版）とする。この被覆 X は、K の結び目補空間を K のザイフェルト曲面に沿って切って得られる境界付き多様体の可算無限個のコピーを、巡回的に貼合せることで得られる。X に作用する被覆変換 t が存在するが、X の（整数係数の）一次元ホモロジー群 H₁(X) を考えれば、被覆変換 t の作用を H₁(X) 上へ移すことができるので、H₁(X) をローラン多項式環 Z[t, t⁻¹] 上の加群とみなすことができる。このような加群と見た H₁(X) をアレクサンダー不変量または（一次の）アレクサンダー加群と呼ぶ。

アレクサンダー加群は有限表示可能であり、アレクサンダー加群に関する行列表示をアレクサンダー行列と呼ぶ。表示の生成元の数 r が表示の基本関係式の数 s 以下のときは、アレクサンダー行列の r × r 小行列式全体の生成するイデアル（これを、零次フィッティングイデアルまたはアレククサンダーイデアルという）を考える。また r > s のときはアレクサンダーイデアルは零イデアルであるものとする。アレクサンダーイデアルが主イデアルであれば、ただ一つの生成元が取れて、各元がその生成元の多項式として書ける（これを結び目のアレクサンダー多項式と呼ぶ）。この時の生成元はローラン単項式 ±tⁿ を掛ける違いを除いて一意であるから、特定の形を決めて一通りに表せるようにすることも多い。特にアレクサンダーは多項式の定数項が正の値になるようにアレクサンダー多項式の正規形を定めた。

アレクサンダーはアレクサンダーイデアルが零イデアルでないことおよび常に主イデアルとなることを示した。故に結び目 K のアレクサンダー多項式 Δ_K(t) は常に存在し、かつ明らかに結び目不変量となる。しかし、1本の紐からなる結び目のときアレクサンダー多項式 Δ_K(t) は、t² の多項式となり、鏡像に対しも同じ多項式となる。つまり、アレクサンダー多項式は、鏡像関係にある 2つの結び目を識別できない。

アレクサンダー多項式の計算

アレクサンダー多項式に対する以下の計算手法はアレクサンダーが自身の論文で与えたものである。

結び目の向きづけられた射影図の交叉点の数が n であるとする。この図は平面を n + 2 個の領域に分ける。アレクサンダー多項式を計算するには、まずサイズが n × (n + 2) の接続行列を作らねばならない。この行列の n 本の行が n 個の交叉点に対応し、n + 2 本の列が領域に対応する。この接続行列の各成分の値は 0, 1, −1, t, −t のいずれかである。

行列の各成分は、ある特定の領域と交叉点に対応して決まる。その領域がその交叉点に隣接しないならば成分の値は 0 である。また領域がその交叉点に隣接するときは、その位置関係で成分の値が決まる。位置関係は下をくぐる線が入ってくる方から交叉点を見てのものとして、成分は以下の表のように与えられる。

領域が交叉点をくぐる前の左側にあるとき: −t

領域が交叉点をくぐる前の右側にあるとき: 1

領域が交叉点をくぐった後の左側にあるとき: t

領域が交叉点をくぐった後の右側にあるとき: −1

接続行列から隣接する領域に対応する二つの列を取り除いてできる n × n 行列に対してその行列式を考えることができる。このときどの列を取り除くかに依って、得られる行列式の値は ±tⁿ を掛ける分だけ違ってくるが、このあいまいさを取り除くために t の可能な限り最大の冪で割り、必要ならば −1 を掛けて、定数項が正になるようにする。こうして得られる多項式がアレクサンダー多項式である。

ザイフェルト行列からもアレクサンダー多項式を計算することができる。

アレクサンダーの仕事の後、フォックス(R. Fox)は結び目群 ${\displaystyle \pi _{1}(S^{3}\backslash K)}$

スケイン関係式

の指し示すとおり交叉を取り替えたり円滑化したりして得られる絡み目の射影図を表すものである。

コンウェイによるスケイン関係式は以下のようなものである。

• ${\displaystyle \nabla (O)=1}$ カテゴリ
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