アレクサンダー・コンウェイ多項式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/01 00:56 UTC 版)
「アレクサンダー多項式」の記事における「アレクサンダー・コンウェイ多項式」の解説
アレクサンダーはアレキサンダー多項式がスケイン関係式を満たすことを証明した。のちにコンウェイが別の形の関係式としてこれを再発見し、スケイン関係式と自明な結び目における値とを考えればアレクサンダー多項式を決定するのに十分であることを示した。コンウェイ版のアレクサンダー多項式は z を変数とする整数係数多項式 ∇(z) で、アレクサンダー・コンウェイ多項式（あるいはコンウェイ多項式、コンウェイ・アレクサンダー多項式など）と呼ばれる。 向きを持つ絡み目の射影図が与えられたとき、L+, L−, L0 は与えられた図の特定の交叉点の近くの領域で、以下の図 の指し示すとおり交叉を取り替えたり円滑化したりして得られる絡み目の射影図を表すものである。 コンウェイによるスケイン関係式は以下のようなものである。 ∇ ( O ) = 1 {\displaystyle \nabla (O)=1} （ただし O は自明な結び目の任意の射影図） ∇ ( L + ) − ∇ ( L − ) = z ∇ ( L 0 ) {\displaystyle \nabla (L_{+})-\nabla (L_{-})=z\nabla (L_{0})} コンウェイ多項式と標準アレクサンダー多項式との関係は Δ L ( t 2 ) = ∇ L ( t − t − 1 ) {\displaystyle \Delta _{L}(t^{2})=\nabla _{L}(t-t^{-1})} で与えられる。ここで ΔL は（±tn/2 を掛けて）スケイン関係式 Δ ( L + ) − Δ ( L − ) = ( t 1 / 2 − t − 1 / 2 ) Δ ( L 0 ) {\displaystyle \Delta (L_{+})-\Delta (L_{-})=(t^{1/2}-t^{-1/2})\Delta (L_{0})} を満たすようにきちんと正規化されている必要がある。この関係式は変数 t1/2 に関するローラン多項式を与えるものになっていることに注意。 三葉結び目(trefoil)のコンウェイ多項式の計算例についてはknot theoryを参照。
※この「アレクサンダー・コンウェイ多項式」の解説は、「アレクサンダー多項式」の解説の一部です。
「アレクサンダー・コンウェイ多項式」を含む「アレクサンダー多項式」の記事については、「アレクサンダー多項式」の概要を参照ください。
- アレクサンダー・コンウェイ多項式のページへのリンク
