ローラン多項式

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ローラン多項式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/10/31 09:35 UTC 版)

数学におけるローラン多項式（ローランたこうしき、英: Laurent polynomial; 形式ローラン多項式）は、ピエール・アルフォンス・ローランに名を因む、与えられた体に係数を持つ不定元の正冪および負冪たちの線型結合を言う。 X を不定元とする体 F 上の（一変数）ローラン多項式全体の成す集合 F[X, X⁻¹] は、ローラン多項式環と呼ばれる環を成す。通常の多項式と異なり、ローラン多項式は次数がマイナスの項を持つことに注意する。一変数ローラン多項式の構成を再帰的に繰り返すことにより、多変数ローラン多項式も定義される。ローラン多項式は、多変数複素函数論において特に重要である。

定義

X を不定元（形式的な変数）として、体 F に係数をとるローラン多項式は

$$p:=\sum _{k}p_{k}X^{k},\quad (p_{k}\in \mathbb {F} )$$

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ローラン多項式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/04 06:28 UTC 版)

「多項式」の記事における「ローラン多項式」の解説

詳細は「ローラン級数」および「ローラン多項式」を参照 冪級数に対して、さらに有限個の負冪の項も許した一般化として形式ローラン級数が定義される。形式ローラン級数もまた最大の非零項を持つとは限らないが、必ず最小の非零項を持つ（が、略式的には両側無限和として ∑+∞n=−∞ anxn のようにも書く）。 形式冪級数の特別の場合が多項式であったことの（形式）ローラン級数において対応する概念として、（形式）ローラン多項式は不定元の負冪の項を有限個含む多項式の類似物である。すなわち、ローラン多項式は正負の次数の項を含む有限和 ∑ i = − N M a i x i ( N , M ∈ N ) {\textstyle \sum _{i=-N}^{M}a_{i}x^{i}\quad (N,M\in \mathbb {N} )} であり、最小の非零項および最大の非零項を持つ。