形式ローラン級数

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ローラン級数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/16 21:14 UTC 版)

ローラン級数（ローランきゅうすう、英: Laurent series）とは負冪の項も含む形での冪級数としての関数の表示のことである。テイラー級数展開できない複素関数を表示する場合に利用される。ローラン級数の名は、最初の発表が1843年にピエール・アルフォンス・ローランによってなされたことに由来する。ローラン級数の概念自体はそれより先の1841年にカール・ワイエルシュトラスによって発見されていたが公表されなかった。

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形式ローラン級数

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「ローラン級数」の記事における「形式ローラン級数」の解説

ローラン級数の収束性を問題にすることなく形式ローラン級数 (formal Laurent series) は定義される。係数 ak は適当な可換環 K から取ることができる。この場合、負冪の項はその係数が有限個の例外を除き 0 であるもののみを扱う。また特に、中心を 0 にとる。つまり、K に係数を持つ形式ローラン級数とは K 内の適当な（多くは負の）整数 N から添字をはじめる数列 (an)n=N,N+1,N+2,... によって定まる級数 ∑ n = N ∞ a n x n のことである。これを、紛れのおそれの無い場合には ∑ n = − ∞ ∞ a n x n と記す。正冪の項も有限個の例外を除いたすべての係数が 0 であるとき、つまり正冪部分が多項式であるような形式ローラン級数をローラン多項式 (Laurent polynomial) という。 二つの形式ローラン級数が等しいというのは、全ての係数が数列として互いに等しいときである： ∑ n = − ∞ ∞ a n x n = ∑ n = − ∞ ∞ b n x n ⟺ a n = b n  for any  n . 係数環 K 上で x を不定元として定義される形式ローラン級数の全体を K((x)) と記す。 K ( ( x ) ) := { ∑ n = N ∞ a n x n ∣ a n ∈ K , N ∈ Z } 二つの形式ローラン級数の和は各項の係数和 を係数とするローラン級数 ( ∑ n = − ∞ ∞ a n x n ) + ( ∑ n = − ∞ ∞ b n x n ) := ∑ n = − ∞ ∞ ( a n + b n ) x n として定義される。また、二つのローラン級数の係数列の畳み込み c n := ∑ i + j = n a i b j を係数として持つローラン級数 ( ∑ n = − ∞ ∞ a n x n ) ( ∑ n = − ∞ ∞ b n x n ) := ∑ n = − ∞ ∞ c n x n として積が定まる。ここで、畳み込みが実質的有限和として確定の値を持つために負冪の項の有限性が本質的に効いてくる。この二つの演算に関して K((x)) は可換環となる。さらに c ∈ K に対して c ⋅ ( ∑ n = − ∞ ∞ a n x n ) := ∑ n = − ∞ ∞ ( c a n ) x n によってスカラー倍を定めると K((x)) は K 上の多元環となる。 さらに K が体であるならば、K 上の形式冪級数環 K[[x]] は整域であるからその商体が考えられるが、それは K((x)) に一致する。すなわち、体 K 上で定義された K((x)) は多元体であり、これを形式ローラン級数体あるいは単にローラン級数体と呼ぶ。特に有限体上のローラン級数体は局所体の重要な例である。