可換環
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/02/17 01:59 UTC 版)
| 代数的構造 → 環論 環論 |
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数学、特に抽象代数学の一分野である環論における可換環（かかんかん、英: commutative ring）は、その乗法が可換であるような環をいう。可換環の研究は可換環論あるいは可換代数学と呼ばれる。
いくつか特定の種類の可換環は以下のようなクラスの包含関係にある。
導入
定義
環 R は加法 "+" と乗法 "⋅" という二種類の二項演算（つまり任意の二元を結合して第三の元 a + b や a ⋅ b を与える操作）を備えた集合である。環を成すためにはこれら二つの演算がいくつかの適当な性質を満たさねばならない。即ち、環 R は加法についてアーベル群を成し、乗法に関して単位的半群を成し、かつ乗法は加法に対して分配的（つまり a ⋅ (b + c) = (a ⋅ b) + (a ⋅ c)）である。加法および乗法の単位元はそれぞれ 0 および 1 で表される。
この時さらに乗法が可換律
- a ⋅ b = b ⋅ a
をも満たすならば、環 R は可換であると言う。以後、本項で扱う環は特に断りのない限りすべて可換であるものとする。
簡単な例
重要かついくつかの意味で重大な例は、整数全体 Z が通常の加法と乗法に関して成す環である。整数の乗法は可換な演算だから、これは可換環である。これをふつう Z と書くのはドイツ語で「数」を意味する Zahlen の略からである。
可換体は任意の非零元 a が可逆である、つまり a ⋅ b = 1 を満たす乗法逆元 b を持つような可換環をいう。従って定義により任意の可換体は可換環を成す。有理数の全体、実数の全体、複素数の全体はそれぞれ体を成す。
二次正方行列全体の成す環は可換でない。行列の乗法が可換でないことは、例えば
-
Z のスペクトル 素イデアルは、環 R の素イデアル全体の成す集合である環のスペクトル Spec R [nb 1]を通じて、環を「幾何学的」に解釈するための鍵となる概念である。既に述べたように、零でない任意の環は少なくとも一つの素イデアルを持つから、スペクトルは空でない。R が体ならば唯一の素イデアルが零イデアルであるから、そのスペクトルも一点からなる。一方、有理整数環 Z のスペクトルは零イデアルに対応する一点のほかに、（素イデアル pZ を生成する）各素数 p に対応する点を持つ。スペクトルにはザリスキー位相と呼ばれる位相が入っている。これは環の各元 f に対して部分集合 D(f) = {p ∈ Spec R : f ∉ p} が開となるものとして定義される位相である。この位相は解析学や微分幾何学に見るような位相とは異なり、例えば一点集合が一般には閉にならなかったりする。また例えば、零イデアル 0 ⊂ Z に対応する点の閉包は Z のスペクトル全体に一致する。
可換環
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2016/03/15 08:14 UTC 版)
「主イデアルに関する昇鎖条件」の記事における「可換環」の解説
ネーター整域において 0 でない非単元は既約元に分解するということはよく知られている。このことの証明は (ACC) ではなく (ACCP) のみに頼っているので、(ACCP) の成り立つ任意の整域において、既約元分解が存在する。（言い換えると、(ACCP) の成り立つ任意の整域は原子整域（英語版）である。しかし逆は、(Grams 1974) において証明されているように、間違いである。）そのような分解は一意でないかもしれない。分解の一意性を証明する通常の方法はユークリッドの補題を使うが、これは因子が単に既約であるだけでなく素元であることを要求する。実際、次の特徴づけがある： A を整域とする。このとき以下は同値である。 A は UFD である。 A は (ACCP) を満たし、A のすべての既約元は素元である。 A は (ACCP) を満たすGCD整域である。 いわゆる永田判定法 (Nagata criterion) が (ACCP) を満たす整域 A に対して成り立つ： S を素元で生成される A の乗法的閉部分集合とする。局所化 S−1A が UFD であれば、A も UFD である。(Nagata 1975, Lemma 2.1) （これの逆は自明であることを注意しよう。） 整域 A が (ACCP) を満たすことと多項式環 A[t] が (ACCP) を満たすことは同値である。A が整域でないとき類似の主張は誤りである。 すべての有限生成イデアルが主であるような整域（すなわちベズー整域）が (ACCP) を満たすこととそれが主イデアル整域であることは同値である。 定数項が整数であるすべての有理係数多項式からなる環 Z+XQ[X] は (ACCP) を満たさない整域（実は GCD 整域）の例である、というのも主イデアルの鎖 は無限に続くからである。
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