可換環に対する圏論的記述
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/08/17 13:58 UTC 版)
「零化イデアル」の記事における「可換環に対する圏論的記述」の解説
R が可換環で M が R-加群のとき、AnnR(M) を、Hom とテンソルの随伴性（英語版）によって恒等写像 M → M の随伴写像によって決定される作用写像 R → EndR(M) の核として、記述することができる。 より一般に、加群の双線型写像 F : M × N → P {\displaystyle F\colon M\times N\to P} が与えられたとき、部分集合 S ⊂ M {\displaystyle S\subset M} の annihilator は S {\displaystyle S} を零化する N {\displaystyle N} のすべての元からなる集合である。 Ann ( S ) := { n ∈ N ∣ ∀ s ∈ S , F ( s , n ) = 0 } {\displaystyle \operatorname {Ann} (S):=\{\,n\in N\mid \forall s\in S,F(s,n)=0\,\}} 逆に、 T ⊂ N {\displaystyle T\subset N} が与えられたとき、 M {\displaystyle M} の部分集合として annihilator を定義できる。 annihilator は M {\displaystyle M} と N {\displaystyle N} の部分集合の間のガロワ対応（英語版）を与え、それに伴う閉包演算子（英語版） は span よりも強い。とくに： annihilator は部分加群である。 Span ( S ) ≤ Ann ( Ann ( S ) ) {\displaystyle \operatorname {Span} \,(S)\leq \operatorname {Ann} (\operatorname {Ann} (S))} Ann ( Ann ( Ann ( S ) ) ) = Ann ( S ) {\displaystyle \operatorname {Ann} (\operatorname {Ann} (\operatorname {Ann} (S)))=\operatorname {Ann} (S)} 重要な例はベクトル空間上の非退化形式、特に内積が与えられているときに現れる。このとき写像 V × V → K {\displaystyle V\times V\to K} に伴う annihilator は直交補空間と呼ばれる。
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