写像

デジタル大辞泉

しゃ‐ぞう〔‐ザウ〕【写像】

読み方：しゃぞう

１ 対象物をあるがままに写して描き出すこと。

「人生の精確なる—ということを」〈抱月・文芸上の自然主義〉

２ 物体から出た光線が鏡やレンズなどによって反射または屈折されたのち、集合して再びつくられる像。

３ 数学で、二つの集合A、Bがあって、Aの各要素aにBの一つの要素bを対応させる規則fをAからBへの写像といい、f：a→bと書く。

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写像

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写像（しゃぞう、英: mapping, map）は、二つの集合が与えられたときに、一方の集合の各元に対し、他方の集合のただひとつの元を指定して結びつける対応のことである。関数、変換、作用素、射などが写像の同義語として用いられる^[1][2]こともある。

ブルバキに見られるように、写像は集合とともに現代数学の基礎となる道具の一つである。現代的な立場では、「写像」と（一価の）「関数」は論理的におなじ概念を表すものと理解されているが、歴史的には「関数」の語は解析学に出自を持つものであり、一部には必ずしも写像でないものも関数の名の下におなじ範疇に扱われる（多価関数参照）。文献によっては「数の集合（大抵の場合実数体 R または複素数体 C の部分集合）を終域に持つ写像」をして特に「関数」と呼び、「写像」はより一般の場合に用いる^[3][4]。関数、二項関係、対応の各項も参照のこと。

定義

素朴な説明

「関数 (数学)」も参照

集合 A の各元に対してそれぞれ集合 B の元をただひとつずつ指定するような規則 f が与えられているとき、f を「定義域（あるいは始域） A から終域 B への写像」といい

${\displaystyle f\colon A\to B,\quad A{\stackrel {f}{{}\to {}}}B}$

全射であり単射でない。

単射であり全射でない。

全単射。

詳細は「全射・単射・全単射（英語版）」を参照

「全射」、「単射」、「全単射」、および「逆写像」も参照

全射・単射・全単射

右全域性「f: A → B について ran(f) = B」が成り立つとき（つまり値域と終域が一致するとき）、f を A から B への全射という。

左一意性「A の任意の元 a₁, a₂ に対して、a₁ ≠ a₂ ならば f(a₁) ≠ f(a₂)」が成り立つとき、 f を単射という。包含写像は単射である。単射の制限写像も単射である。

A から B への全射 f がさらに単射でもあるとき、f は A から B への全単射であると言われる。定義域を A とする任意の単射 f はあきらかにその値域 f(A) への全単射である。

逆写像

f を A から B への全単射とする。そのとき、 B の元 b に対して、 f(a) = b であるような A の元 a がちょうど1つ存在する。そこで、 B の元 b にそのような A の元 a を対応させる B から A への写像を f の逆写像といい、f⁻¹ と表す。定義より次が成り立つ：

f⁻¹ : B→A、　∀a∈A ∀b∈B ( f⁻¹(b) = a ⇔ f(a) = b )^[9]。

f⁻¹は B から A への全単射である。f⁻¹ の構成から、

${\displaystyle f^{-1}\circ f=\operatorname {id} _{A},\quad f\circ f^{-1}=\operatorname {id} _{B}}$

写像の合成: 可換三角形

可換矩形

などを挙げることができる。任意の頂点から別の任意の頂点への写像が経路の取り方に依らないとき、図式は可換であるという^[19]。例えば h = g ∘ f のとき図式

は可換であり、逆もまた成り立つ。

一般化と応用

部分写像

詳細は「部分写像」を参照

一般には、定義域と始域が異なる（値の定められていない始域の元が存在する）という場合も考え得る。集合 A, B の元の順序対からなる集合（すなわち二項関係）G_f が

• 右一意性: (x, y₁) ∈ G_f かつ (x, y₂) ∈ G_f ならば y₁ = y₂

をみたすとき G_f は A から B への関数関係であると言われる。このとき、三つ組 f := (A, B, G_f) をこの関数関係 G_f から定まる A から B への部分写像と呼び^{[注釈 4]}、f: A → B で表す。部分写像 f: A → B すなわち G_f ⊆ A × B の定義域 dom(f) と値域 ran(f) は次のように定義される：

${\displaystyle \operatorname {dom} (f)=\{x\mid \exists y((x,y)\in G_{f})\}\subseteq A,\quad \operatorname {ran} (f)=\{y\mid \exists x((x,y)\in G_{f})\}\subseteq B.}$

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