一次変換

デジタル大辞泉

いちじ‐へんかん〔‐ヘンクワン〕【一次変換】

読み方：いちじへんかん

平面上の点から平面上の点への写像。点（x,y）と点（x′,y′）の関係が一般にx′＝ax＋by, y′＝cx＋dyで表されるもの。

算数用語集・数学用語集

一次変換

座標平面上の点 Pに点 Q を対応させる変換が、

で定められるとき、を一次変換という。

上の関係式を行列で表すと、
となり、
を一次変換を表す行列という。

ウィキペディア

線型写像

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/06/14 23:07 UTC 版)

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数学の特に線型代数学における線型変換（せんけいへんかん、英: linear transformation、一次変換）あるいは線型写像（せんけいしゃぞう、英: linear mapping）は、ベクトルの加法とスカラー倍を保つ特別の写像である。特に任意の（零写像でない）線型写像は「直線を直線に移す」。

概要

抽象代数学の言葉を用いれば、線型写像とは（体上の加群としての）ベクトル空間の構造を保つ準同型のことであり、また一つの固定された体上のベクトル空間の全体は線型写像を射とする圏を成す。

「線型変換」は線型写像とまったく同義と扱われる場合もあるが、始域と終域を同じくする線型写像（自己準同型）の意味で用いていることも少なくない。また函数解析学の分野では、（特に無限次元空間上の）線型写像のことを「線型作用素」（せんけいさようそ、英: linear operator）と呼ぶことも多い。スカラー値の線型写像はしばしば「線型汎函数」もしくは「一次形式」（いちじけいしき、英: linear form, one-form; 線型形式; 1-形式）とも呼ばれる^{[注釈 1]}。

線形等の用字・表記の揺れについては線型性を参照

定義

V と W とを同じ体 𝔽 の上のベクトル空間とする。V から W への写像 f が、任意のベクトル x, y ∈ V と任意のスカラー c ∈ 𝔽 に対し、

1. 加法性: f(x + y) = f(x) + f(y),
2. 斉一次性: f(cx) = cf (x)

をともに満たすとき^{[注釈 2]}、f を 𝔽 上の線型写像 または簡単に 𝔽-線型写像という。考えているベクトル空間および線型写像がどの体上のものであるかが明らかなときには、省略して単に「 f は V から W への線型写像である」などということもある^{[注釈 3]}。

上記の二性質を合わせて線型性と呼び、また有限個のスカラー λ_i とベクトル v_i に対して

線型性: ${\displaystyle f{\Big (}\sum _{i=1}^{r}\lambda _{i}v_{i}{\Bigr )}=\sum _{i=1}^{r}\lambda _{i}f(v_{i})}$

出典は列挙するだけでなく、脚注などを用いてどの記述の情報源であるかを明記してください。記事の信頼性向上にご協力をお願いいたします。（2016年2月）

• 齋藤正彦『線型代数入門』東京大学出版会〈基礎数学1〉、1966年。ISBN 978-4130620017。 
• 佐武一郎『線型代数学』裳華房〈数学選書1〉、1974年。ISBN 978-4785313012。 
• Halmos, Paul R. (1974), Finite-dimensional vector spaces, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90093-3 
• Lang, Serge (1987), Linear algebra, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-96412-6 

関連項目

• 反線型写像
• 半線型写像
• 半双線型写像
• 連続線型作用素

外部リンク

ウィキブックスに線型代数学/線形写像関連の解説書・教科書があります。

• Weisstein, Eric W. "Linear Transformation". mathworld.wolfram.com (英語).
• linear map in nLab
• linear transformation - PlanetMath.（英語）
• Definition:Linear Transformation at ProofWiki
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Linear transformation”, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Linear_transformation 

表 話 編 歴 線型代数学・行列解析
連立一次方程式	ガウスの消去法 クラメルの公式 ガウス＝ザイデル法 ヤコビ法
ベクトル	線型独立 線型結合 基底 双対基底
ベクトル空間	双対空間 核空間 固有空間 広義固有空間 線型包 行空間 列空間 次元
計量ベクトル空間	ドット積 コーシー＝シュワルツの不等式 直交 正規直交系 正規直交基底 グラム・シュミットの正規直交化法 直交補空間
行列・線型写像	演算・操作 乗法 転置 逆行列 サラスの方法 基本変形 対角化 分解 LU QR コレスキー シューア 特異値 固有値 不変量 行列式 跡 階数 固有値と固有ベクトル 固有多項式 最小多項式 単因子 階数標準形 スミス標準形 ジョルダン標準形 有理標準形 小行列式 クラス 正則 基本 対称 エルミート 正規 直交 回転 ユニタリ 冪零 射影 正定値 ユニモジュラー 置換 区分
行列式	余因子展開 余因子行列 ヴァンデルモンドの行列式 終結式 コーシー・ビネの公式
多重線型代数	外積 外積代数 対称代数 テンソル代数
数値線形代数	基本的な概念 浮動小数点 数値的安定性 疎行列 Z-行列 M行列 条件数 ゲルシュゴリンの定理 クリロフ部分空間 ソフトウェア MATLAB 数値解析ソフトの比較/一覧 ライブラリ Armadillo Basic Linear Algebra Subprograms (BLAS) INTLAB Intel oneAPI Math Kernel Library LAPACK NumPy OpenBLAS 線型代数学ライブラリの比較 反復法・技法 SOR法 共役勾配法 GMRES法 固有値問題の数値解法 ランチョス法 QR法 べき乗法 逆べき乗法 ヤコビ法 (固有値問題) シュトラッセンのアルゴリズム ハウスホルダー変換 ギブンス回転 人物 ジェームズ・H・ウィルキンソン クリーブ・モラー ニコラス・ハイアム ジーン・ゴラブ リチャード・バルガ
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